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难点与解题模型 13 特殊相似三角形五大热考模型
题型一：8字模型
题型二：A字模型
题型三：8字与A字模型综合
题型四：旋转(手拉手)模型
题型五：一线三等角模型
题型一：8 字模型
8字——平行型
条件：CD∥AB,
结论：ΔPAB ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;
∼
四边形ABCD为一般梯形.
条件：CD∥AB,PD=PC.
结论：ΔPAB ΔPCD ΔPDC(上下相似)
ΔPAD≅ΔPBC左右全等；
∼ ∼
四边形ABCD为等腰梯形；
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8字——不平行型
条件：∠CDP=∠BAP.
结论：ΔAPB ΔDPC(上下相似);
ΔAPD ΔBPC(左右相似);
∼
∼
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，以 的顶点 为圆心， 长为半径画弧，交 于
点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，画射线 ，交 于点 ，
交 的延长线于点 ．
(1)由以上作图可知， 与 的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若 ， ， ，求 的面积．
【典例1-2】（2024·宁夏·中考真题）如图，在 中，点 在 边上， ，连接 并
延长交 的延长线于点 ，连接 并延长交CD的延长线于点F．求证： ．小丽的思考过程如
下：
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参考小丽的思考过程，完成推理．
【典例1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形 中， 、 分别是 ，
的平分线，且E、F分别在边 ， 上．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落在边
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AD上，点C落在点N处， 与CD交于点 ，折痕分别与边AB，CD交于点 ， ，连接BM．若
，则 的值是 ．
【变式1-2】（2023·江苏南通·一模）正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点，
将 沿 翻折得到 ，直线 交射线 于点 ．
(1)当 时，求 的度数 用含 的式子表示 ；
(2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值 若变化，请说明理由；
(3)若 ，求 的值．
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【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 ， 在
轴上， 在 轴上， ， 的长是方程 的两个根 ．请解答下列问题：
(1)求点 的坐标；
(2)若直线 分别交 轴、 轴、 于点 ， ， ，且 是 的中点，直线 交 延长线
于点 ， ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，在直线 上是否存在点 （不与点 重合），使 与 相似？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二：A 字模型
A字模型
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如图一
如图二
如图三
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为 的 边上一点，
，过 作 交 于点 ， 、 两点纵坐标分别为1、3，则 点的纵坐标为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例2-2】（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点O，记
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的面积为 ， 的面积为 ．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若 与 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在 上取一点E，使 ，过点E作 交 于点F，点H为
的中点， 交 于点G，且 ，若 ，求 值．
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【典例2-3】（母子型）（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在 中，点D在边
上．若 ，则 ，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在 中， ，点D为边 的中点， ，点E在 上，
连接 ， ．若 ，求 的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形 中， ，点E，F分别在边 ， 上， ，
延长 ， 相交于点G．若 ， ，求 的长．
【典例2-4】（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相
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似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在 中， ，垂足为 ．
（1）兴趣小组的同学得出 ．理由如下：
②______
①______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2， 为线段 上一点，连接 并延长至点 ，连接 ，当 时，请判断
的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3， 是直角三角形， ，平面内一点 ，满足 ，连接
并延长至点 ，且 ，当线段 的长度取得最小值时，求线段 的长．
【典例2-5】（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
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【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在 的边 、 上， ，仅用一把无刻度的直尺作 、
的中点．
操作：如图2，连接 、 交于点P，连接 交 于点M，延长 交 于点N，则M、N分别为
、 的中点．
理由：由 可得 及 ，所以 ， ．所以，
．同理，由 及 ，可得 ， ．所以
．所以 ，则 ， ，即M、N分别为 、 的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3， ，点E、F在直线 上．
①作线段 的中点；
②在①中作图的基础上，在直线 上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得 ；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整
数）的线段．如图4， ，已知点 、 在 上，他利用上述方法作出了 ．点E、F在
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直线 上，请在图4中作出线段 的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5， 是 的中位线．请在线段 上作出一点Q，使得 （要求用两种方法）．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段AB，CD相交于点 ， ， ，
．求 ．
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【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知： 中， 为 边上的一点．
(1)如图①，过点 作 交 边于点 ，若 ， ， ，求 的长；
(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在 边上作点 ，使 ；（保留作图痕迹，不要求写作
法）
(3)如图③，点 在 边上，连接 、 ，若 ， 的面积等于 ，以 为半
径作 ，试判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】
（1）如图1，在 中， 是 边上的中线， ，求 的取值范围．
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小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：在 中，已知两边 和 的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范
围．而要想求中线 的取值范围，只有将中线 转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．
如图2，可以延长 到点E，使 ，连接 ，这样就构造了 ，将求 的取值范围，转化
为求 的边 的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作
交 延长线于点F，于是得到 ．进而将求 的取值范围，转化为求 的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在 中，D是 边的中点，点E在 边上， ，求 的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形 中，O为对角线 的中点， ，点G在 边上，E为平面内一点且
，以 为斜边，在 的右侧作等腰直角三角形 ，连接，求 的取值范围．
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【变式2-4】（2023·江苏淮安·二模）我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边
的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在 中， 、 分别是 、 的中点．
求证： ， ．
证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法
的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在 中，过点 作 ，与 的延长线交于点 ．可证 ______，
根据全等三角形对应边相等可得 ，然后判断出四边形 是______，根据图形性质可证得
， ．
(2)【方法迁移】如图2，在四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 、
分别为 、 边上的点，若 ， ， ，求 的长．
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(3)【定理应用】如图3，在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ，
延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ，直接写出 的值（用含 的式子表示）．
【变式2-5】（母子模型）（2024·安徽·模拟预测）如图 ，在四边形 中， ，点 在
边 上，且 ，点 在边 上，且 ，连接 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图 ，若 ，求证： ；
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(3)如图 ，若延长 恰好经过点 ，求 的值．
题型三：8 字与 A 字模型综合
如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，形象地说图①为“A”字形，图②为“8”字形，它们都是平行线型的
基本图形．
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在 中，F是 上一点， 交 于点E， 的
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延长线交 的延长线于点G， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【典例3-2】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形 中，对角线 ， 相交与点
，点 在 延长线上， 与 相交与点 ．若 ， ，则菱形 的面积
为 ．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ， 是 的三等分点且靠近点 ，
是 的中点，过点 作 交 延长线于点 ．
(1)求 的值；
(2)连接 ，若 ， ，求 的值．
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【变式3-2】（2023·江苏泰州·一模）如图 ，在菱形 中， ， ， 为对角线 上
一点， 在 上运动，连接 并延长交 的延长线于点 ，交 于点 ．
(1)求菱形 的面积；
(2)如图 ，若点 是 的中点；
当 时，求 的长；
若 的面积为 ，求 的长；
(3)记 ，是否存在一个 的值，使得点 在 上运动时， 为定值，若存在，请求出这个定
值，并直接写出 的长的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型四：旋转(手拉手)模型
模型展示：
将图①中的△ADE 绕点 A 旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形，即
△ABC∽△ADE.
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【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在 中， ， ， ，D是
上一点，且 ，过点D作 交 于E，将 绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图
2中 的值为 ．
【典例4-2】（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
直接写出 的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连
接BD，CE．
①求 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
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【典例4-3】（2023·四川巴中·中考真题）综合与实践．
(1)提出问题．如图1，在 和 中， ，且 ， ，连接 ，
连接 交 的延长线于点O．
① 的度数是___________．
② __________．
(2)类比探究．如图2，在 和 中， ，且 ，连接
并延长交于点O．
① 的度数是___________．
② ___________．
(3)问题解决．如图3，在等边 中， 于点D，点E在线段 上（不与A重合），以 为
边在 的左侧构造等边 ，将 绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为 的
中点，N为 的中点．
①试说明 为等腰三角形．
②求 的度数．
【典例4-4】（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，
固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和
中， ， ， ．
【初步感知】
（1）如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长
交 于点 ，求 的长．
【拓展延伸】
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（3）在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有
直角三角形 的面积；若不能，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2022·广西钦州·模拟预测）【问题发现】 和 可以绕点 旋转且均为等边三角形，
班长在探究发现，当点 ， ， 在同一条直线上如图1所示，则有：① ；② ．他的
理由如下：
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
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∴ ，
∴ ， ，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上，可得 ； ．
(1)【类比探究】 和 可以绕点 旋转且均为等腰直角三角形，其中 ，
， ．当点 ， ， 在同一条直线上如图2所示，请你类比以上（1）【问题发现】先
判断线段 ， 之间的数量关系及 的度数，然后写出你的理由．
(2)【拓展应用】如图3， 和 可以绕点 旋转且均为直角三角形，其中 ，
， ， ．现将 绕点 旋转，当 所在直线经过点B时， 的长是多少？
（直接写出答案）
【变式4-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展
数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究．
【观察猜想】如图①， 和 均为等边三角形，当点E、D分别在 边上，易证：
， ．
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【实践发现】如图②，将图①中的 绕着点B逆时针旋转，连接 、 ，线段 与线段 的数
量关系为 ，直线 与直线 相交，所夹锐角为 °；
【类比探究】 和 均为直角三角形， ．
（1）观察感知：如图③，当 且点E、D分别在 边上，易证： ；
（2）问题呈现：如图④，将图③中的 绕着点B逆时针旋转，连接 、 ．直线 与直线
交于点M．线段 与线段 的数量关系为 ， °；
（3）探究证明：如图⑤，当 时，线段 与线段 的数量关系是什么？请说明理由，
此时， °；
（4）拓展应用：在（3）的条件下，若 ， ，将 绕点B逆时针旋转一周，在整个旋
转过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线 的距离．
【变式4-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践
“手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股
定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用．
某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究：
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如图①，已知 和 均是等腰直角三角形， ，且 ， ，易证：
， ．
深入探究：
（1）如图②，将图①中 绕点A逆时针旋转 ，连接 、 ，并延长 分别与 、
相交于点 、 ，求证： ， ．
解决问题：
（2）如图③，将图①中 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，其他条件不变，若 ，
，则 _______， _______．
拓展应用：
（3）如图④，将图①中 绕点 逆时针旋转 ，连接 、 ，若 ，
， ，则 ______， ______．（提示：求 时，可过点 作 于点 ）
【变式4-4】（2024·陕西西安·模拟预测）【计算与推理】
（1）如图1， ， 与 交于点 ， 为 的中点， ， ，则 的长为_______；
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（2）数学课上张老师拿了一块大三角板 和一块小三角板 ，其中 ，按如图2
所示位置放置，使两个三角板的 角的顶点 重合．连接 、 ，当 绕点 顺时针旋转时，试
判断 ， 的值是否变化？如果不变，请求出 ， 的值，如果变化，请说明是如何变化并加以证
明：
【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（
）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含 角的直角三角板 和 按如图3所示位置放置，其中
，含有 角的顶点 重合，分别延长 交于点 ，连接 ，得到 ；
第二步：取 的中点 ，分别连接 ， ，得到 ．
请问，按上述操作，裁得的 部件是否符合要求？请说明理由．
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题型五：一线三等角模型
模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称
为“一线三等角”型相似．
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2023·山东东营·统考中考真题）如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ，
上， ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了
如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕 ，如图②．
根据以上的操作，若 ， ，则线段 的长是（ ）
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A．3 B． C．2 D．1
【典例5-3】（2024·湖北·中考真题）如图，矩形 中， 分别在 上，将四边形 沿
翻折，使 的对称点 落在 上， 的对称点为 交 于 ．
(1)求证： ．(2)若 为 中点，且 ，求 长．
(3)连接 ，若 为 中点， 为 中点，探究 与 大小关系并说明理由．
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【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在 中， ，将边 绕点C
顺时针旋转 得到线段 ，在射线 上取点D，使得 ，线段 与 的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若 ，作 ，且 ，其他条件不变，写出变化后线段
与 的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形 的边长为6，点E是边 上一点，且 ，把线段 逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ，直接写出线段 的长．
【变式5-2】（2024·广东佛山·模拟预测）综合探究
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点， 的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，
，直线 分别与x轴、y轴、线段 、直线 交于点E、F、P、Q．
(1)当 时，求证： ．
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(2)探究线段 、 之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得 ，且以点M、P、Q为顶点的三角形与 相似，若存在，
请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（1）问题
如图1，在四边形 中，点P为 上一点，当 时，求证： ．
（2）探究
若将 角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D在 上，点E在
上，点F在 上，且 ，若 ，求 的长．
【变式5-4】．如图，在 中， ， ，点D，E分别是 ， 上的点，且
，求证： .
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【变式5-5】（1）如图1， ，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，
， ， ，求CF的长度为 ．
（2）如图2，在矩形 中， ， ，点E、F、M分别在 上， ，
，当 时，求四边形 的面积．
（3）如图3，在 中， ， ， ，点E、F分别在边 上，
且 ，若 ，求 的长度．
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【变式5-6】（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究
(1)如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 上，且 ，则线段 与 的之间的数量
关系为_____________；
(2)【类比探究】如图2，在矩形 中， ，点E，F分别在边 ， 上，且 ，
请写出线段 与 的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在 中， ，D为 上一点，且 ，连接
，过点B作 于点F，交 于点E，求 的长．
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【变式5-7】（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1， 中， ，
，直线 过点 ，过点 、 分别作 于点 ， 于点 ，则 （不用证
明）．
(1)【类比探究】如图2，在 中， ，且 ，上述结论是否成立？若
成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在 中， ，且 ，猜想线段 、 、
之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1的 中， ， ，并将直线 绕点 旋转一定角度后与斜边 相交，分
别过点 、 作直线 的垂线，垂足分别为点 和点 ，请在备用图上画出图形，并直接写出线段 、
、 之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．
【变式5-8】（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P是 内部一点，在射线 上取点D、
E，使得 ．求证： ；
【尝试应用】如图2，在 中， ， ，D是 上一点，连接BD，在BD上取点
E、F，连接 ，使得 ．若 ，求CE的长；
【拓展提高】如图3，在 中， ， ，D是 上一点，连接BD，在BD上取
点E，连接CE．若 ， ，求 的正切值．
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