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第 24 讲 特殊四边形-菱形
目 录
题型01 利用菱形的性质求角度
题型02 利用菱形的性质求线段长
题型03 利用菱形的性质求周长
题型04 利用矩形的性质求面积
题型05 利用矩形的性质求坐标
题型06 利用矩形的性质证明
题型07 添加一个条件证明四边形是菱形
题型08 证明四边形是菱形
题型09 根据菱形的性质与判定求角度
题型10 根据菱形的性质与判定求线段长
题型11 根据菱形的性质与判定求面积
题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
题型13 与菱形有关的新定义问题
题型14 与菱形有关的规律探究问题
题型15 与菱形有关的动点问题
题型16 菱形与反比例函数综合
题型17 菱形与一次函数、反比例函数综合
题型18 菱形与二次函数综合
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题型 01 利用菱形的性质求角度
1．（2021·河北唐山·统考一模）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以
调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB=20cm，则∠DAB的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
2．（2021·广东深圳·统考一模）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．4: 1 B．5: 1 C．6: 1 D．7: 1
1
3．（2021·河北·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于 AB的长为半径，分别以点A，
2
B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则
∠EBD的度数为 ．
4．（2021·浙江温州·统考一模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
(1)求证：BE＝DF．
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(2)当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
题型 02 利用菱形的性质求线段长
5．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延
长线于点E，则线段DE的长为（ ）
12 18 24
A． B． C．4 D．
5 5 5
6．（2021·黑龙江大庆·统考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB
于点H，连接OH，若OA=6，S =48，则OH的长为（ ）
菱 形ABCD
A．4 B．8 C．√13 D．6
7．（2021·广东中山·校联考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接
AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 ．
8．（2021·湖北荆州·统考一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝
2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ．
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题型 03 利用菱形的性质求周长
9．（2021·湖北黄石·统考模拟预测）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0
的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
10．（2021·辽宁大连·统考一模）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．32
11．（2021·湖南长沙·长沙市北雅中学校考二模）若菱形一条对角线长为8，其边长是方程
x2−10x+24=0的一个根，则菱形的周长为
12．（2021·广东湛江·统考三模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF
＝3，那么菱形ABCD的周长是 ．
题型 04 利用矩形的性质求面积
13．（2021·广西百色·统考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝
2，则菱形ABCD的面积为 ．
14．（2021·湖南长沙·二模）如图，在 ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E是边AB的中点．
分别以点B，D为圆心，以BE的长为半△径画弧，两弧交于点C，连接CB，CD，则四边形BCDE的面积为
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．
15．（2021·新疆乌鲁木齐·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥DC，
CE∥DA．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)连接DE，若AC=2√3，BC＝2，求菱形ADCE的面积．
16．（2021·广东汕头·统考一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于
H，连接OH，
（1）求证：∠DHO=∠DCO．
（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积．
题型 05 利用矩形的性质求坐标
17．（2021·河南洛阳·统考三模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为（9，3），分别以点
1
B、C为圆心，以大于 BC的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐
2
标是（ ）
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A．（7.5，0） B．（6.5，0） C．（7，0） D．（8，0）
18．（2021·山东淄博·统考二模）如图，在直角坐标系中，点P为菱形OACB的对角线AB、OC的交点，
k
其中点B、P在双曲线y＝ （x＞0）上．若点P的坐标为（1，2），则点A的坐标为（ ）
x
10 7 13 14 18
A．（﹣1， ） B．（﹣2， ） C．（﹣ ， ） D．（﹣3， ）
3 2 9 9 5
19．（2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点
k
A的坐标为(−10,0)，对角线AC，BD相交于点D，双曲线y= (x<0)经过点D，交边AB于点E，且
x
AC+BO=12√5，则E的坐标为（ ）
( 4) ( 16) ( 8) ( 4)
A． −24, B． −10, C． −12, D． −12,
3 5 3 3
20．（2021·河北保定·校考一模）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1.5，0），（﹣1，
0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
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21．（2021·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐标为
（2，0），∠AOC＝60°，直线y＝﹣3x＋b与菱形OABC有交点，则b的取值范围是 ．
题型 06 利用矩形的性质证明
22．（2021·广东东莞·一模）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连
接BF．FD，DE，EB．
求证：四边形DEBF是菱形．
23．（2021·陕西·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于
点N，BM，BN分别交AC于E、F两点．
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求证：AE=CF．
24．（2021·云南楚雄·统考二模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连
接EF并延长，与CB的延长线交于点G，连接BD．
(1)求证：四边形EGBD是平行四边形；
(2)连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
25．（2021·辽宁鞍山·统考一模）在如图菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E,F是AP上
的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF．
（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）求证：DE=BF＋EF．
题型 07 添加一个条件证明四边形是菱形
26．（2021·山西·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列选
项中不能判定平行四边形ABCD是菱形的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC＝BD
27．（2021·山东·统考一模）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形
OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）．
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A．AD=BD B．OD=CD
C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB．
28．（2021·山东潍坊·校考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E,F分别是AB,AC边的中点，
若要使得四边形AEDF是菱形，则需添加的一个条件是 （不添加辅助线，写出一个答案即可）．
29．（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在BC、AD上，
AM=MC．若添加一个条件： ，则四边形AMCN是菱形．
题型 08 证明四边形是菱形
30．（2021·广东河源·校考二模）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，
F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．
31．（2021·广东深圳·统考一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在
AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
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（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=6,AD=10，求四边形CEFG的面积．
32．（2021·全国·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，D为AB的中点，AE//CD，CE//AB，连接
DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B=60゜，BC=6，求菱形ADCE的高．
33．（2021·山东烟台·校考一模）如图，ΔABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，
FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.
（1）求证：ΔECG≅ΔGHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
（3）若∠B=30∘，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.
题型 09 根据菱形的性质与判定求角度
34．（2020·重庆·重庆市育才中学校考二模）如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于
E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为( )
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A．23° B．28° C．62° D．67°
35．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶
点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
1 1 √3 √3
A． B． C． D．
3 2 3 2
36．（2021·河北·校联考二模）如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，用∠ADB的度
数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
37．（2019·河北唐山·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC=70°，E是线段
AO上一点，则∠BEC的度数可能是（ ）
A．100° B．70° C．50° D．20°
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题型 10 根据菱形的性质与判定求线段长
38．（2023·湖南株洲·模拟预测）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连
接OE，∠ABC=60°，BD=4√3，则OE=（ ）
A．4 B．2√3 C．2 D．√3
39．（2022·广东佛山·统考二模）如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF=
2，则四边形AECF的周长等于（ ）
A．20 B．20√2 C．30 D．4√34
40．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动
成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋
AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：√3≈1.732）．
41．（2023·广东广州·一模）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．
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(1)求证：AC⊥BD；
3
(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF= ，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
2
题型 11 根据菱形的性质与判定求面积
42．（2022·北京海淀·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，
且DE=DF．
(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)若AD=BC=6，AE=BE，求菱形BECF的面积．
43．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB
的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F．
（1）若∠BAD=60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE=4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
44．（2021·宁夏石嘴山·统考一模）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝√3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
45．（2022·云南昆明·统考二模）如图所示，在平行四边形ABCD中，邻边AD,CD上的高相等，即
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BE=BF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若DB=10,AB=13，求平行四边形ABCD的面积．
题型 12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
46．（2023·山东泰安·东平县实验中学统考三模）如图所示，在菱形ABCD中，AB=AC，点E，F分别
为边AB，BC上的点，且AE=BF，连接CE，AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①
△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③∠AEH=∠DAH；④AE·AD=AH·AF．其中正确结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
47．（2023·山东泰安·统考二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD
交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接
MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是√3；③当MN最小时
1
S = S ；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．正确的是（ ）
△CMN 8 菱形ABCD
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
48．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，点E在边AD上，连
接BE．作点A关于BE的对称点F，连接EF、BF、DF．现给出以下4个结论：①BE平分∠ABF；②菱
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形ABCD的面积等于√3；③△≝¿周长的最小值为2√3；④当EF⊥AD时，AE=√3−1，其中正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
49．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点
M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM．①△AMN是等边三角形；
1
②MN的最小值是√3；③当MN最小时，S = S ；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．其
△CMN 4 菱形ABCD
中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）
50．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延
长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得
MC=MD=AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB=MO；
④∠ADM=120°．其中正确的结论是 （填序号）．
题型 13 与菱形有关的新定义问题
51．（2020·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线
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长度的2倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”．
（1）如图①，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=√5,AC=2，试判断菱形ABCD是否
为“倍垂四边形”，并说明理由；
（2）如图②，在△ABC中，AB=3√2,BC=7,AC=5，作AO⊥BC于点O，问在射线AO上是否存在
着一点D，使得四边形ABDC是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段OD的长；若不存在，请说明
理由；
（3）如图③，在Rt△ABC中，AB=4,AC=5，且∠ABC=90°，分别以Rt△ABC的斜边AC和直角边
AB为边向外作Rt△ACD和Rt△ABE，且∠CAD=∠BAE=90°，连接DE，当四边形BCDE是“倍垂
四边形”时，求DE的长．
k
52．（2021·江苏泰州·校考二模）设A（a，n）为双曲线y= （k>0，x>0）上一点，过点A作AB⊥x轴于
x
B点，AB的垂直平分线交y轴于点C，交双曲线于点P．定义：P为A点的中垂点；特别的，当△ABP为
等腰直角三角形时，又称P为A点的完美中垂点．
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（1）若k=8，且A点存在完美中垂点， 则A的坐标是________
（2）四边形ACBP一定为 ． （填字母）
A． 平行四边形 B． 菱形 C． 矩形 D．正方形
（3）若△AOP的面积为6时，则k= ．
（4）设P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，且△APQ是等腰三角形，试求k关于a的函数表达式．
题型 14 与菱形有关的规律探究问题
53．（2021·黑龙江鹤岗·统考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A ，
1
使DA =CD，以A C为一边，在BC的延长线上作菱形A CC D ，连接A A ，得到ΔAD A ；再延长
1 1 1 1 1 1 1
C D 至A ，使D A =C D ，以A C 为一边，在CC 的延长线上作菱形A C C D ，连接A A ，得到
1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2
ΔA D A ……按此规律，得到ΔA D A ，记ΔAD A 的面积为S ，ΔA D A 的面积为S ……
1 1 2 2020 2020 2021 1 1 1 1 2 2
ΔA D A 的面积为S ，则S = ．
2020 2020 2021 2021 2021
54．（2021·辽宁丹东·校考模拟预测）如图，一次函数y=2x+2的图象为直线l，菱形AOBA ，
1
A O B A ，A O B A ，…按图中所示的方式放置，顶点A，A ，A ，A ，…均在直线l上，顶点O，
1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 3
O ，O ，…均在x轴上，则点B 的坐标是 ．
1 2 n
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√3
55．（2020·浙江·校联考模拟预测）如图，直线l 的解析式是y＝ x，直线l 的解析式是y＝√3x，点A
1 3 2 1
3
在l 上，A 的横坐标为 ，作AB ⊥l 交l 于点B ，点B 在l 上，以B A、B B 为邻边在直线l、l 间作菱
1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2
形AB B C ，延长B C 交l 于点A，点B 在l 上，以B A、B B 为邻边在l、l 间作菱形
1 1 2 1 2 1 1 2 3 2 2 2 2 3 1 2
AB B C ，………按照此规律继续作下去，则线段A B 长为（ ）
2 2 3 2 2020 2020
3 3 √3
A．22019 B．（ ）2019 C．（ ）2020 D．（ ）2020
2 2 2
56．（2020·广东茂名·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠ADC=120°，以AC为边作菱形
ACC D，且∠ADC =120°；再以AC 为边作菱形AC C D，且∠ADC =120°；……按此规律，菱形
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
AC C D 的面积为 ．
2019 2020 2020
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题型 15 与菱形有关的动点问题
57．（2022·安徽合肥·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠A=60°，点E为BC的中点，动点
P以2cm/s的速度沿A→B→E运动，动点Q以1cm/s的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时
出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为xs，△BPQ的面积为ycm2，
则y与x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
A． B． C． D
58．（2023·河南信阳·校考三模）如图，菱形ABCD，∠ADC=120°，边长为4，点E在AB上，且
BE=1，F为对角线AC上一动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．√11 B．√13 C．√14 D．4
59．（2021·四川成都·统考二模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°，
点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到
直线CD的距离的最大值为 ．
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60．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，AB是平面内一条线段，分别以点A和点B为圆心，大于
1
AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，连接EF交线段AB于点G，点D是射线GE（不与G点重
2
合）上一个动点，过点D，点B分别作EF，AB的垂线交于点C，连接CG．
(1)求证：四边形AGCD是平行四边形；
(2)四边形AGCD能否为菱形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
61．（2023·山东烟台·统考二模）已知AE∥BF，AB=6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），
△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．
(1)如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，连接BD交AC
于点M，BG=10，AC=5．
①求证：△BDG为直角三角形；
②求DG的长．
62．（2023·黑龙江·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA，OB的
长是方程x2−6x+8=0的两个根(OA0)的图象经过点C，交AB于点D，若sinB= ，S =6，则k值为 ．
x 3 △OCD
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65．（2023·浙江衢州·三模）如图，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，菱形OABC的边OA落在x轴
k
上，点C的坐标为(3,4)，反比例函数y= (k>0,x>0)经过OB、AC的交点E，则k的值是 ．
x
66．（2023·山东济南·统考三模）如图1，菱形ABCD的边AB在平面直角坐标系中的x轴上，A(−1,0)，
k
菱形对角线交于点M(0,2)，过点C的反比例函数y= (x>0)与菱形的边BC交于点E．
x
k
(1)求点C的坐标和反比例函数y= (x>0)的表达式；
x
(2)如图2，连接OC，OE求出△COE的面积；
k
(3)点P为y= (x>0)图像上的一动点，过点P做PH⊥x轴于点H，若点P使得△AOM和△BPH相似，请
x
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直接写出点P的横坐标．
题型 17 菱形与一次函数、反比例函数综合
k
67．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图，反比例函数y= (k≠0)的图象经过菱形的顶
x
点A，B两点，若AD∥x轴，菱形ABCD的面积为12，点A的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．2√2 B．−2√2 C．6 D．−6
68．（2023·河北·统考模拟预测）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1，0)，点
k 2
D(4，4)在反比例函数y= (x>0)的图象上，直线y= x+b经过点C，与y轴交于点E，连接
x 3
AC，AE．
(1)求C点坐标；
(2)求k,b的值；
(3)求△ACE的面积．
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2 m
69．（2023·湖北恩施·统考一模）如图1，直线y= x+2与y轴交于点B，与反比例函数y= 的图象交于
3 x
一象限内的点A，△AOB的面积等于3，
(1)求m的值；
m
(2)如图2，点E(4，a)在反比例函数y= 的图象上，过点E作EC⊥x轴垂足为C，以EC为对角线的菱
x
形CDEF的顶点D在y轴上，试说明点F也在反比例函数的图象上．
4 k
70．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，已知正比例函数y = x的图象与反比例函数y = 的图象相交于
1 3 2 x
点A(3,n)和点B.
(1)求n和k的值；
4 k
(2)请结合函数图象，直接写出不等式 x− <0的解集；
3 x
(3)如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点F，连接
AE、OE，求△AOE的面积.
k
71．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知一次函数y=mx−3与反比例函数y= 的图象相交于点
x
A(8,n)，与x轴相交于点B(4,0)．以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限．
求点D的坐标．
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72．（2020·江苏苏州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两条对角线相交于点
n
P(1,2),AB⊥x轴，垂足为点E,正比例函数y=mx(m≠0)的图像与反比例函数y= (n≠0)的图像相交于
x
A,P两点.
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标.
题型 18 菱形与二次函数综合
73．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=−2x−1与y
1
轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数y= x+b的图象上．
2
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(1)求b的值；
(2)若一次函数y=−2x−1与一次函数y=−x交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三
点对应的二次函数表达式；
(3)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t(−1
