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专题 19 数列大题训练
题型一、等差、等比数列的应用
1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知 是各项均为正数的等比数列，
.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和.
2．已知等差数列 中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列的 前n项和 .
3．记数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)证明数列 为等差数列，并求通项公式 ；
(2)记 ，求 .
4．（2023年云南省模拟考试数学试题）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)试求出所有的正整数 ，使得对任意正整数 ，均有 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15．记等差数列 的前n项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
6．（2023年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列 前 项和为 ，______， ．请从
条件① ， ；条件② ，且 ， ， 成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的
横线上，并完成下面的两个问题．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
{a }
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设
n
是等差数列，其前n项和为
S
n
(n∈N¿ )；{b
n
}是等比数列，公比大于0，其前n项和为 T
n
(n∈N¿ )．已知b
1
=1， b
3
=b
2
+2 ，
b =a +a
，
b =a +2a
．
4 3 5 5 4 6
S T
（Ⅰ）求 和 ；
n n
（Ⅱ）若
S
n
+（T
1
+T
2
+…+T
n
）=a
n
+4b
n
，求正整数n的值．
8．已知数列 的前n项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前100项的和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2题型二、分组求和法
1．（2023届新高考Ⅰ卷调研模拟考试数学试题）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证：数列 为等比数列：
(2)若 ，求满足条件的最大整数 .
2．（2023届河北省一模数学试题）设数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
3．已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时，求数列 的前n项和为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34．（2023届安徽省联盟二模数学试题）已知首项为3的数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
5．已知数列 的前 项和为 ，且对任意的 有 .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
6．已知等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4题型三、错位相减法
1．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）记数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 ， ，求m的最小值．
2．（2023年安徽省模拟数学试题）已知数列 满足
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 ，求 的前 项和
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知 为等差数列，前n项和为
， 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54．（2023年渝琼辽（新高考2卷）名校仿真模拟联考数学试题）已知数列 的前n项和为 ，
，且 ． ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
{a } {b }
5．已知数列 为等差数列， ， ，数列 的前n项和为 ，且满足 ．
n n
{a } {b }
(1)求 和 的通项公式；
n n
(2)若 ，数列{c }的前n项和为 ，且 对 恒成立，求实数m的取值范围．
n
6．（2023届广西摸底测试数学（理）试题）设数列 的前 项和为 ，且满足
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6题型四、裂项相消法
1．已知数列 的前 项和为 ，且有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，证明： ．
2．设数列 的前n项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
3．（2023届山西省联考数学试题）已知等差数列 满足 ， ，公比不为 的等比数列
满足 ， .
(1)求 与 通项公式；
(2)设 ，求 的前n项和 .
4．（2023届广东省二模数学试题）已知数列 满足 ， .
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和 ，求证： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 75．已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ，
(1)求
(2)求
6．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） S 为数列{a }的前 项和.已知 ＞
n n
0， = .
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
1
b =
（Ⅱ）设 n a a ,求数列 {b } 的前 项和.
n n+1 n
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设 是等比数列，公比大于0，其前
项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， .
（I）求 和 的通项公式；
（II）设数列 的前 项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8题型五、并项求和法
1．（2020年天津市高考数学试题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
2．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设 是等差数列， 是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
3．（2023年河南省模拟数学（文科）试题）已知数列 满足 ，数列 为等比数列且公比
，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，若 ，记数列 满足 求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 94．（2023届河南三模理数试题）在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
5．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前20项和.
6．（2023年山东省模拟数学试题）已知数列 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，数列
的前n项和为 ，且 ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前12项和 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10题型六、倒序相加法
1．（2023届广东省模拟数学试题）已知函数 满足 ，若数列 满足：
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， （ ），数列 的前n项和为 ，若 对一切 恒
成立，求实数 的取值范围.
2．已知 为等比数列，且 ，若 ，求 的值．
3．已知函数 对任意的 ，都有 ，数列 满足 …
.求数列 的通项公式.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 114．设函数 ，设 ， ．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
5．已知函数 ， ，正项等比数列 满足 ，则
值是多少？.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12题型七、数列中的结构不良问题
1．（2023年安徽省教学质量抽测数学试题）已知数列 是首项为2的等差数列，数列 是公比为2的
等比数列，且数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设__________，求数列 的前 项和为 ．
① ，② ，③ ．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
2．（2023年江西省模拟考试数学试题）从① ；②前 项和 满足
， ；③ 中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列
中， ，且_____.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，证明： .
(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
3．（2023年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列 前 项和为 ，______， ．请从
条件① ， ；条件② ，且 ， ， 成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的
横线上，并完成下面的两个问题．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 134．（2023年安徽省调研测试数学试题）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
5．（2023届海南模拟数学试题）已知数列 的各项均为正数且均不相等，记 为 的前 项和，从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等比数列；② ；③ 是等比数列．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列
是等差数列，证明： 是等差数列.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14题型八、强化训练第一问
1．（2023届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题）已知数列 满足
.
求 的通项公式；
2．已知数列 的首项 ，且满足 ．
证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
3．（2023届云南省教学质量检测数学试题）已知数列 的前 项和为 ， ，且满足
设 ，证明： 是等比数列
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知 是递增的等差数列， ，
是方程x2 −5x+6=0的根.
求 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 155．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））数列 满足 ，
， .
证明：数列 是等差数列；
6．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知数列 和 满足，
求 与 ；
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知等比数列{a }的公比q>1，且
n
a +a +a =28 ，a +2是 a ， a 的等差中项．
3 4 5 4 3 5
求q的值；
8．设数列 满足 .
求 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 169．等比数列 的各项均为正数，且 .
求数列 的通项公式；
10．（2021年天津高考数学试题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0
的等比数列， ．
求 和 的通项公式；
11．（2023年上海市模拟数学试题）在数列 中， ， ．
证明数列 是等比数列；
12．（2023年陕西省模拟（理科）数学试题）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，且
.
求数列 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1713．（2023年江苏省模拟数学试题）已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，满足
是 与 的等差中项.
求数列 的通项公式；
14．设数列 的首项 n=1，2，3，
⋯
判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；
15．（2023年广东省模拟数学试题）已知数列 满足 ， .
记 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
16．数列 满足： ， ．
求数列 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1817．（2023年全国名校大联考数学试题）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有
.
证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
18．（2023届福建省模拟考试数学试题）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足
证明：数列 为等差数列;
19．设数列 满足
求数列 的通项公式.
20．（2024届重庆市适应性月考数学试题）已知数列 满足 ，
记 ，求证： 为等比数列；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1921．（2023年安徽省阶段性测试数学试题）已知数列 的前 项和 ．求 ；
22．（2023年江西省模拟数学试题）在数列 中， ， ，且 .设
为满足 的 的个数.
求 ， 的值；
取值范围.
23．（2023年浙江省名校联盟联考数学试题） ， ，递增数列 前 项和为 ．
(1)证明： 为等比数列并求 ；
(2)记 ， 为使 成立的最小正整数，求 ．
24．（2023年福建省模拟考试数学试题）数列 满足 ， ，λ为常数
是否存在实数λ，使得数列 成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说
明理由；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2025．（2023年广东省联考数学试题）正数数列 满足 ，且 成等差数列，
成等比数列．
求 的通项公式；
26．（2023年山西省模拟数学试题）若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列".已知数
列 中， ，点 在函数 的图象上，其中n为正整数，
(1)证明:数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列;
27．（2024届湖北省新起点摸底考试数学试题）已知 是数列 的前 项和， ， ．
求数列 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21
