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专题 19 导数综合
目录一览
2023真题展现
考向一 利用导数研究函数的极值
考向二 利用导数研究函数的单调性
真题考查解读
近年真题对比
考向一 利用导数研究函数的单调性
考向二 利用导数研究函数的最值
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 利用导数研究函数的极值
1．（2023•新高考Ⅱ•第22题）（1）证明：当0＜x＜1时，x﹣x2＜sinx＜x；
（2）已知函数f（x）＝cosax﹣ln（1﹣x2），若x＝0为f（x）的极大值点，求a的取值范围．
考向二 利用导数研究函数的单调性
2．（2023•新高考Ⅰ•第19题）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）讨论f（x）的单调性；
3
（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+ ．
2
【命题意图】
考查导数的应用．考查求导公式，导数几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，函数零
点等问题．体会数形结合思想，分类讨论思想，化归和转化思想．
【考查要点】
导数是必考内容，难度、广度和深度较大．常规基础考查求导公式与几何意义．中等难度考查求单调
区间、极值、最值等．压轴题考查零点、不等式证明、恒成立或者存在问题、分类讨论求参数等，和数列、
不等式、函数等知识结合．
【得分要点】
1、导数和函数的单调性的关系
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与
定义域的交集的对应区间为增区间．
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与
定义域的交集的对应区间为减区间．
2．求函数f（x）的极值的步骤
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）．
（2）求方程f′（x）＝0的根．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f
（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
3．用导数求函数的最值步骤：
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值．
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出f（x）在[a，b]上的最值．
4．利用导数研究曲线上某点切线方程
（1）确定切点．
（2）求斜率，即求曲线上该点的导数．
（3）利用点斜式求出直线方程．
5．函数恒成立问题
恒成立问题最后都转化为求最值问题，常用的方法是分离参变量和求导．
考向一 利用导数研究函数的单调性
3．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝xeax﹣ex．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；
（3）设n N*，证明： + +…+ ＞ln（n+1）．
∈
4．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜ + ＜e．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点．
① ＜a≤ ，b＞2a；
②0＜a＜ ，b≤2a．
考向二 利用导数研究函数的最值
6．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右
的三个交点的横坐标成等差数列．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】导数是必考内容，难度、广度和深度较大．常规基础考查求导公式与几何意义．中等难度考查求单调
区间、极值、最值等．压轴题考查零点、不等式证明、恒成立或者存在问题、分类讨论求参数等，和数列、
不等式、函数等知识结合．
一．利用导数研究函数的单调性（共17小题）
1．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知函数f（x）＝xex+ ax2+ax﹣1．
（1）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的值；
（2）若函数F（x）＝2f（x）﹣ax2﹣（4a+1）x﹣2lnx恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
2．（2023•沈河区校级模拟）已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x ＜x ，且f（x ）＝f（x ）＝a，证明：ae+1＜x ﹣x ＜a+1．
1 2 1 2 2 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023•天津一模）已知函数f（x）＝x•lnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意 ，都有f（x）≤ax﹣1，求实数a的取值范围．
4．（2023•忻州一模）已知函数 ，f′（x）为其导函数．
（1）若a＝﹣2，求f′（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）＝ex有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．
5．（2023•沈阳模拟）已知f（x）＝（x2﹣2x）lnx+（a﹣ ）x2+2（1﹣a）x，a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023•淄博二模）已知函数 ，a R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
∈
（2）若x ，x 是函数 的两个极值点，且x ＜x ，求证：f（x ）﹣f（x ）＜0．
1 2 1 2 1 2
7．（2023•禅城区校级一模）已知函数 ．
（1）若函数y＝f（x）为增函数，求k的取值范围；
（2）已知0＜x ＜x ，
1 2
（i）证明： ；
（ii）若 ，证明：|f（x ）﹣f（x ）|＜1．
1 2
8．（2023•五华区校级模拟）设a，b，c R，a≠0，6a+b＝0，函数f（x）＝ax3+bx2+cx，f（1）＝4a．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
∈
（2）若0≤x≤3时，函数y＝f（x）﹣xe﹣x有三个零点x ，x ，x ，其中x ＜x ＜x ，试比较x +x +x 与
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2的大小关系，并说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．（2023•泉州模拟）已知函数f（x）＝ex[x2﹣（a+2）x+a+3]．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（0，2）有两个极值点x ，x ，求证： ．
1 2
10．（2023•张家口三模）已知函数f（x）＝x2+2cosx，f′（x）为函数f（x）的导函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知函数g（x）＝f′（x）﹣5x+5alnx，存在g（x ）＝g（x ）（x ≠x ），证明x +x ＞2a．
1 2 1 2 1 2
11．（2023•天津三模）已知定义域均为R的两个函数g（x）＝ex，h（x）＝（x﹣a）2．
（Ⅰ）若函数f（x）＝g（x）h（x），且f（x）在x＝﹣1处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）若函数m（x）＝ ，讨论函数m（x）的单调性和极值；
（Ⅲ）设a，b是两个不相等的正数，且a+lnb＝b+lna，证明：a+b+ln（ab）＞2．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．（2023•黄浦区校级三模）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．
（1）设a＝b＝4，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件；
（3）设a＝0， ，c＝﹣1，证明：函数f（x）恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列
{a }，使得 ．
n
13．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数 ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＝1时，若f（x ）+f（x ）＝0，求证：x +x ≥2；
1 2 1 2
（3）求证：对于任意n N*都有 ．
∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（2023•平江县模拟）已知函数f（x）＝axlnx+ex﹣1．
（1）若f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，若f（x）存在唯一零点x ，极值点为x ，证明：2x ＜x ．
1 2 2 1
15．（2023•承德模拟）已知函数f（x）＝ax﹣4lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．（2023•深圳一模）已知函数 ，其中a R且a≠0．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
∈
（2）若存在实数x ，使得f（x ）＝x ，则称x 为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”
0 0 0 0
的个数；
（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．
17．（2023•河北区二模）已知a＞0，函数f（x）＝xlna﹣alnx+（x﹣e）2，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求证：函数f（x）存在极值点，并求极值点x 的最小值．
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二．利用导数研究函数的极值（共12小题）
18．（2023•青岛二模）已知函数 ，a＞0．
（1）讨论f（x）极值点的个数；
（2）若f（x）恰有三个零点t ，t ，t （t ＜t ＜t ）和两个极值点x ，x （x ＜x ）．
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2
（ⅰ）证明：f（x ）+f（x ）＝0；
1 2
（ⅱ）若m＜n，且mlnm＝nlnn，证明： ．
19．（2023•新乡模拟）已知函数f（x）＝ax﹣alnx﹣ ．
（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数y＝f（x）有三个不同的极值点x ，x ，x ，且f（x ）+f（x ）+f（x ）≤3e2﹣e，求实数a
1 2 3 1 2 3
的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023•湖北模拟）设函数f（x）＝ex+bsinx，x （﹣ ，+∞）．
（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率为2．
∈ π
①求实数b的值；
②求证：f（x）存在唯一极小值点x 且f（x ）＞﹣1．
0 0
（2）当b＞0时，若f（x）在x （﹣ ，+∞）上存在零点，求实数b的取值范围．
∈ π
21．（2023•南京三模）已知函数f（x）＝xlnx﹣ ax2，g（x）＝﹣x+a（a R）．
（1）若y＝x与f（x）的图象恰好相切，求实数a的值；
∈
（2）设函数F（x）＝f（x）+g（x）的两个不同极值点分别为x ，x （x ＜x ）．
1 2 1 2
（i）求实数a的取值范围：
（ii）若不等式e +1＜x •x 恒成立，求正数 的取值范围（e＝2.71828…为自然对数的底数）．
1 2
λ λ
λ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】22．（2023•罗定市校级模拟）已知函数 ，k R．
（1）若f（x）在x＝1处取极值，求k的值；
∈
（2）若f（x）＝ax有两个零点x ，x ，求证： ．
1 2
23．（2023•红桥区二模）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣ （a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x [1，e]，使得f（x ）＜g（x ）成立，求a的取值范围．
0 0 0
∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2023•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝eax（x﹣1）2．
（1）若a＝1，求f（x）在（0，f（0））处切线方程；
（2）求f（x）的极大值与极小值；
（3）证明：存在实数M，当a＞0时，函数y＝f（x）﹣M有三个零点．
25．（2023•曲靖模拟）已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx+1（a R），f'（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数y＝f'（x）的极值；
∈
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x ，x ，证明：x x ＞2e2．
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】26．（2023•思明区校级模拟）已知函数f（x）＝ x3﹣mx2+m2x（m R）的导函数为f′（x）．
（1）若函数g（x）＝f（x）﹣f′（x）存在极值，求m的取值范围；
∈
（2）设函数h（x）＝f′（ex）+f′（lnx）（其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不
等式h（x）≥m2+k2在（0，+∞）上恒成立，求正整数k的取值集合．
∈
27．（2023•天津一模）已知函数f（x）＝aex﹣sinx﹣a．（注：e＝2.718281…是自然对数的底数）．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞0时，函数f（x）在区间 内有唯一的极值点x ．
1
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：f（x）在区间（0， ）内有唯一的零点x ，且x ＜2x ．
0 0 1
π
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】28．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）＝sinx+sin2x，x [0， ]．
（1）函数F（x）＝f（x）cosx+x在x＝x 处取得极大值，求f（x ）的值；
0 ∈ π 0
（2）若 ，证明：f（x）≥3xcosax．
29．（2023•永州三模）已知函数f（x）＝xe﹣x⋅lna，g（x）＝sinx．
（1）若x＝0是函数h（x）＝f（x）+ag（x）的极小值点，讨论h（x）在区间（﹣∞， ）上的零点个
数．
π
（ 2 ） 英 国 数 学 家 泰 勒 发 现 了 如 下 公 式 ： cosx ＝
这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性．
现 已 知
，
利用上述知识，试求 的值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三．利用导数研究函数的最值（共29小题）
30．（2023•蕉城区校级模拟）已知函数 ．
（1）讨论函数f（x）的零点的个数；
（2）当m＝0时，若对任意x＞0，恒有 ，求实数a的取值范围．
31．（2023•贺兰县校级四模）已知函数f（x）＝kx﹣ln（1+x）（k＞0）．
（1）当k＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）如果存在x （0，+∞），使得当x （0，x ）时，恒有f（x）＜x2成立，求k的取值范围．
0 0
∈ ∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】32．（2023•叶城县校级模拟）已知函数 ．
（1）求出函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）＝x2f（x），求g（x）的最小值．
33．（2023•南关区校级模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当x≥2时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】34．（2023•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣asinx（a R）．
（1）若曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x，求实数a的值；
∈
（2）当a＝2时，求f（x）在[0， ]上的最大值；
（3）若对任意的x [0， ]，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．
π
∈ π
35．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知函数f（x）＝sin2x+2sin2x．
（1）若f（x）≥2ax在 上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】36．（2023•杭州模拟）已知x ，x 是方程ex﹣ax＝ln（ax）﹣x的两个实根，且x ＜x ．
1 2 1 2
（1）求实数a的取值范围；
（2）已知f（x）＝ax，g（x）＝ln（1+x）﹣cosx+2，若存在正实数x ，使得f（x ）＝g（x ）成立，证
3 1 3
明：x ＜x ．
1 3
37．（2023•郴州模拟）已知函数f（x）＝x2﹣ax+1，g（x）＝lnx+a（a R）．
（1）若a＝1，f（x）＞g（x）在区间（0，t）上恒成立，求实数t的取值范围；
∈
（2）若函数f（x）和g（x）有公切线，求实数a的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】38．（2023•让胡路区校级模拟）已知函数 ．
（1）若f（x）在定义域上具有唯一单调性，求k的取值范围；
（2）当x （1，2）时，证明： ．
∈
39．（2023•西城区二模）已知函数f（x）＝x2+ln（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）在区间 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若（ex+acosx）f（x）≥0恒成立，求实数a的值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】40．（2023•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝kx﹣ln（1+x）（k＞0）．
（1）当k＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上有最小值，求k的取值范围；
（3）如果存在x （0，+∞），使得当x （0，x ）时，恒有f（x）＜x2成立，求k的取值范围．
0 0
∈ ∈
41．（2023春•鼓楼区期中）设x＝﹣3是函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x+c的一个极值点，曲线y＝f（x）在x＝
1处的切线斜率为8．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在闭区间[﹣1，1]上的最大值为10，求c的值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】42．（2023•浙江模拟）已知 为正实数，函数f（x）＝ln（ x+1）﹣ x+ （x＞0）．
（1）若f（x）＞0恒成立，求 的取值范围；
λ λ λ
λ
（2）求证：2ln（n+1）﹣ ＜ （ ﹣ ）＜2ln（n+1）（i＝1，2，3，…）．
43．（2023•贺兰县校级模拟）已知函数f（x）＝（x+2）ln（1+x）﹣ax．
（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）如果当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当a＞2时，函数f（x）恰有3个零点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】44．（2023•保定一模）已知函数f（x）＝sinx﹣aln（x+1）．
（1）当a＝1时，证明：当x [0，1]时，f（x）≥0；
（2）当x [0， ]时，f（x）≤2ex﹣2恒成立，求a的取值范围．
∈
∈ π
45．（2023•葫芦岛一模）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣1．
（1）h（x）＝（x+1）f（x）﹣2g（x），x [1，+∞），求h（x）的最小值；
（2）设 （x）＝x2f（x）
∈
①证明：
φ
（x）≥g（x）；
φ
②若方程 （x）＝m（m R）有两个不同的实数解x ，x 证明： ．
1 2
φ ∈
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】46．（2023•谷城县校级模拟）已知a＞0，设函数f（x）＝（2x﹣a）lnx+x，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若a＝2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，+∞）上存在两个不同的零点x ，x （x ＜x ）．
1 2 1 2
①求实数a的取值范围；
②证明： ．
47．（2023•松江区校级模拟）已知函数f（x）＝alnx+ ，a R．
（1）若a＝2，且直线y＝x+m是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m的值；
∈
（2）若不等式f（x）＞1对任意x （1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
∈
（3）若函数h（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x ，x （x ＜x ），且h（x ）﹣h（x ）≤ ，求a的取值
1 2 1 2 2 1
范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】48．（2023•沙坪坝区校级模拟）对于定义在D上的函数F（x），若存在x D，使得F（x ）＝x ，则称
0 0 0
x
0
为F（x）的一个不动点．设函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣alnx+x，已知x
0
（ ∈x
0
≠1）为函数f（x）的不动
点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若k Z，且kx ＜a对任意满足条件的x 成立，求整数k的最大值．
0 0
∈
（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.1， ，e2≈7.39， ）
49．（2023•思明区校级四模）函数f（x）＝sinx﹣ax+1．
（1） ，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥cosx在x [0， ]上恒成立，求实数a的取值范围；
∈ π
（3）令函数g（x）＝f（x）+ax﹣1，求证： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】50．（2023•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝（1+x）a，g（x）＝1+ax，（a R）；
（1）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
∈
（2）若正数a使得f（x）≥g（x）对x [0，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）设函数G（x）＝g（x）﹣eg（x）+2∈ ，x [0，+∞），讨论其在定义域内的零点个数．
∈
51．（2023•绍兴模拟）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx﹣1，a R．
∈
（1）求证： ；
（2）若函数f（x）有三个不同的零点x ，x ，x （x ＜x ＜x ）．
1 2 3 1 2 3
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）求证：x +x ＞2a﹣2．
1 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】52．（2023•万州区模拟）已知函数f（x）＝ ．
（1）讨论f（x）的极值；
（2）当a＝1时，关于x的不等式 ≥1+mx﹣ln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范
围．
53．（2023•潍坊模拟）已知函数f（x）＝ax+ +2﹣2a（a＞0）的图像在点（1，f（1））处的切线与直线
x+2y+1＝0垂直．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】54．（2023•云南模拟）已知函数
（1）求y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若af（x）﹣g（x）≥0，求实数a的取值范围．
55．（2023•朝阳区校级模拟）已知a R，函数f（x）＝（x﹣a﹣1）ex﹣1．
（1）讨论f（x）在（﹣∞，b）上的单调性；
∈
（2）已知点P（m，m）．
（i）若过点P可以作两条直线与曲线y＝ex﹣1+1（﹣1＜x＜3）相切，求m的取值范围；
（ii）设函数 ，若曲线y＝h（x）上恰有三个点T（i＝1，
i
2，3）使得直线PT与该曲线相切于点T，写出m的取值范围（无需证明）．
i i
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】56．（2023•乌鲁木齐模拟）已知f（x）＝xex﹣a（x+lnx）．
（1）当a＝e时，求f（x）的最小值；
（2）当a＝1时，有f（x）≥（b﹣2）x+1恒成立，求b的取值范围．
57．（2023•嘉兴二模）已知f（x）＝ex，g（x）＝lnx．
（1）若存在实数a，使得不等式f（x）﹣g（x）≥f（a）﹣g（a）对任意x （0，+∞）恒成立，求f
（a）•g（a）的值；
∈
（2）若1＜x ＜x ，设 ，证明：
1 2
①存在x （x ，x ），使得 成立；
0 1 2
∈
② ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】58．（2023•福建模拟）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b（a，b R），若曲线y＝g
（x）在x＝1处的切线方程y＝2x+1+f′（0）．
∈
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥kg（x）﹣2k+2对任意x R恒成立，求k的取值范围；
∈
（3）设 ， ， ，…， （0， ），其中n N*，n≥2，求证：f（sin ）f（cos ）+f（sin ）f
1 2 3 n 1 n 2
（cos n﹣θ1 ）+θ…+f（θ sin n﹣1θ）∈f（cos 2 ）+f（sin n ）f∈（cos 1 ）＞6n． θ θ θ
θ θ θ θ θ
四．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）
59．（2023•浦东新区二模）设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y＝f（x）的图像．若过点P恰
能作曲线Γ的k条切线（k N），则称P是函数y＝f（x）的“k度点”．
（1）判断点O（0，0）与点A（2，0）是否为函数y＝lnx的1度点，不需要说明理由；
∈
（2）已知0＜m＜ ，g（x）＝sinx．证明：点B（0， ）是y＝g（x）（0＜x＜m）的0度点；
（3）求函数y＝x3﹣x的全体2度点构成的集合．
π π
60．（2023•抚松县校级模拟）已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝x2+bx+1（b为常数），h（x）＝f
（x）﹣g（x）．
（1）若存在过原点的直线与函数f（x）、g（x）的图象相切，求实数b的值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）当b＝﹣2时， x 、x [0，1]使得h（x ）﹣h（x ）≥M成立，求M的最大值；
1 2 1 2
（3）若函数h（x）
∃
的图象与
∈
x轴有两个不同的交点A（x
1
，0）、B（x
2
，0），且0＜x
1
＜x
2
，求证：
h′（ ）＜0．
1.利用导数判断函数单调性：设函数 在某个区间内可导，
① 该区间内为增函数；
② 该区间内为减函数；
注意：当 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， 在这个区间上仍是递增
（或递减）的。
③ 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
④ 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；
2.利用导数求极值：
（1）定义：设函数 在点 附近有定义，如果对 附近所有的点，都有 ，就说是
函数 的一个极大值。记作 ＝ ，如果对 附近所有的点，都有 ，就
说是 函数 的一个极小值。记作 ＝ 。极大值和极小值统称为极值。
（2）求函数 在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数 ；（ii）求方程 的
根 ；（iii）检查 在方程 的根 的左右的符号：“左正右负” 在 处取极
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】大值；“左负右正” 在 处取极小值。
特别提醒：
① 是极值点的充要条件是 点两侧导数异号，而不仅是 ＝0， ＝0是 为极值点的
必要而不充分条件。
②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑 ，又要考虑检验“左正右负”(“左负右
正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
3.利用导数求最值：比较端点值和极值
（1）定义：函数 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；
函数 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
（2）求函数 在[ ]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数 在（ ）内的极值（极大值或极小值）；
②将 的各极值与 ， 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
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