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解密10讲：导数在函数中的应用
【考点解密】
1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称y＝f(x)在x＝x 处可导，
0
并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x 处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x)或 ，
0 0
即f′(x)＝lim＝lim.
0
(2)当x＝x 时，f′(x)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简
0 0
称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝lim.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的切线的斜率，
0 0 0
相应的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x(a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x f′(x)＝
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数
y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y对u
x u x
的导数与u对x的导数的乘积．
6．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减
间(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
7．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数
y＝f(x)在定义域内的单调性．
8．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧
f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧
f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
9．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【方法技巧】
1．(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线
上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．
2．根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，
f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
3．函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f′(x)．
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 左右两侧值的符号．
0
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
【核心题型】
题型一：由函数的单调区间求参数
1．（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知函数 ， ，若 在 单调递
增，a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．（2020·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 ，若对于 且 都
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·四川达州·统考一模）若 是 上的减函数，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
题型二：由函数在区间上单调性求参数
4．（2022·宁夏吴忠·吴忠中学校考三模）若函数 ，在定义域内任取两个不相等的实数 ，
不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）已知函数 ，若当 时，
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数 ，若 为 上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三：含参数的分类讨论问题
7．（2023·全国·高三专题练习）若 是函数 的极大值点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数 ，若
有四个不同的零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·全国·高三专题练习）已知不等式ex﹣x﹣1＞m[x﹣ln（x+1）]对一切正数x都成立，则实数m的取值范
围是（ ）
A． B． C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，e]
题型四：根据极值（点）求参数问题
10．（2021秋·四川泸州·高三四川省泸县第二中学校考阶段练习）已知函数 与函数 的
图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数 存在极大
值点和极小值点，则实数 可以取的一个值为（ ）A． B． C． D．
12．（2022·陕西西安·西安中学校考二模）已知函数 有两个极值点 ，若 ，
则关于 的方程 的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型五：由导数求函数的最值问题
13．（2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式 对 恒成立，则实数a的最
小值为（ ）
A． B． C． D．1
14．（2022秋·湖南郴州·高三校考阶段练习）已知函数 若方程 恰
有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知函数 ，对任意 ，
不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六：由函数最值求参数问题
16．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，当 时，若 恒成立，
则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
17．（2022·辽宁丹东·统考一模）设 ，若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
18．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）设函数 ，若 ，且
的最小值为 ，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
题型七：函数的单调性 极值和最值问题综合
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的最值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
20．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数 ，其中 为常数， 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 在区间 上的最大值为 ，求 的值.
21．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在 上的函数 .(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【高考必刷】
一、单选题
22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数 ，则满足不等式 的实数
x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当 时，
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数 的极值点为 ，函数 的最大值为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数 存在唯一的极值点，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·全国·模拟预测）函数 恰有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．27．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数 （ ， ）在区间 上总存在零
点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2022秋·新疆·高三校联考阶段练习）已知函数 对 均满足 ，其
中 是 的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大
依次为 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
30．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 存在两个极小值点,则 的取值
可以是（ ）
A． B． C． D．31．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 在 处有极值，且极值
为8，则（ ）
A． 有三个零点
B．
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．函数 为奇函数
32．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，函数 的图象在点 处的切线的斜率为
B．当m＝l时，函数 在 上单调递减
C．当m＝l时，函数 的最小值为1
D．若 对 恒成立，则
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
三、填空题35．（2023·全国·模拟预测）已知 ，函数 在 上的最小值为2，则实数 __________.
36．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知 和 是函数 的两个极值点，且
，则 的取值范围是______．
37．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 是函数 的一个零点，且 ，则 的最小
值为__________．
38．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测） 的两个极值点 满足
，则 的最小值为________.
四、解答题
39．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
40．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 恒成立，求实数a的取值范围．
41．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ．(1)求 的最小值；
(2)已知 ，证明： ；
(3)若 恒成立，求 的取值范围．
42．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知 ，记 的导函数为 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点 ，且 ，证明： ．
