解密09 解三角形
【考点解密】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
(2)a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 (1)＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(3)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin B ，c＝ 2 R sin C ；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (7)cos A＝；
变形 (5)a∶b∶c＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ； cos B＝；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin cos C＝
A
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·h(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的有关几个术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)
仰角与俯角 所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰
角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向
方位角 线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是
0° ≤ θ <360°
例：(1)北偏东α：
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
方向角
通常表达为北(南)偏东(西)α (2)南偏西α：坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡
坡角与坡比 面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i
＝＝tan θ
方法技巧
图形
关系式 a<bsin A bsin A<a<b a＝bsin A或a≥b
解的个数 无解 两解 一解
【核心题型】
题型一：正余弦定理
1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在 中，角 的对边分别为 ，且
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【详解】解：因为 ，
所以，由正弦定理与余弦定理得 ，化简得 .
故选：A
2．（2023·四川内江·统考一模） 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 ， ，
，则 （ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理角化边，可求得c的值，再由余弦定理即可求得答案.
【详解】解：因为 ，所以 ，即 .
又 ，所以 ，
由余弦定理得 ,
从而 .
故选：B
3．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 的面积为 ，
且 ， 的中点为D，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得 ，进而得 ，根据三角形面积公式可得
，结合余弦定理和基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知， ，
由正弦定理，得 ，
即 ，
，
，得 或 ，
解得 或 (舍去)，
所以 ；
又 ，所以 .
由余弦定理，
得 ，
当且仅当 即 时等号成立，
由 ，解得 ，
所以AD的最小值为 .
故选：A.
题型二：边角互化
4．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，若 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变换公式，把已知条件转化为各边的关系式，即可得出答案．
【详解】 ，化简得 ．
由正弦定理、余弦定理，得 ，化简得 ，
由 ，展开整理得 ，
则 ，即 ，
所以 ，
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已
知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为： ，其中 ， ， 是 的内
角 ， ， 的对边．已知 中， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，得到 ，即 ，再由
，利用余弦定理得到 ，代入 ，转化为二次函数求解.
【详解】解： 中，因为 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
又 ，
则 ，
即 ，则 ，
所以 ，
当 时， 面积取得最大值为 ，
故选：A
6．（2022·山西吕梁·统考二模）锐角 是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由 ，利用余弦定理得到 ，再利用正弦定理结合
两角和与差的三角函数得到 ，结合外接圆半径得到 ，进而得到
，利用正切函数的性质求解.
【详解】由 ，
得 ，
由余弦定理，可得 ，
又由正弦定理，可得 ，
所以 ，
得 ，又 ，
所以 ，所以 .
又 ，
所以 ，所以 .
又 ，且 ，故 ，
所以 .
又 ，所以 ，得 ，
所以 ，
故选：C.
题型三：三角形面积公式巧用
7．（2023·广西柳州·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，点 为 的中点， ， ，且 的面积为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】在 中由余弦定理得 ，由 ，得 ，即可解决.
【详解】由题知，在 中，点D为 的中点， ， ，且 的面积为 ，
所以在 中由余弦定理得 ，即 ，
因为 ，即 ，代入 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
8．（2023·广西柳州·统考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若角A的内角平分线 的长为3，则 的最小值为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．36
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，由余弦定理求出角A，再利用三角形面积定理结合均值不等式求解
作答.
【详解】在 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，由余弦定理得 ，而 ，则 ，因角A的内角平分线 的长为3，由 得：
，
即 ，因此 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值27.
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）设 ，在锐角 中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c．若 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先用三角恒等变换得到 ，从而根据 求出 ，再结合余弦定理基本不等式求
出 ，根据面积公式求出最大值.
【详解】 ，
则 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，
由余弦定理得： ，所以 ，
由基本不等式得： ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
故选：C
题型四：解三角形的实际应用
10．（2023·四川凉山·统考一模）我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有
望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛
峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，
领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛 的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆 ， （
， ， 共面，均垂直于地面），使目测点 与 ， 共线，目测点 与 ， 共线，测出 ， ，
，即可求出岛高 和 的距离（如图）．若 ， ， ， ，则海岛的高
（ ）
A．18 B．16 C．12 D．21
【答案】A
【分析】由题可得 ， ，结合条件即得.
【详解】由题可知 ， ，
所以 ， ，又 ， ， ， ，
所以 ， ，
解得 ， .
故选：A.
11．（2022·四川南充·统考一模）某工厂的烟囱如图所示，底部为 ，顶部为 ，相距为 的点 ， 与点 在同
一水平线上，用高为 的测角工具在 ， 位置测得烟囱顶部 在 和 处的仰角分别为 ， .其中 ， 和在同一条水平线上， 在 上，则烟囱的高 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】在 中利用正弦定理可得 ，再根据 可得 ，进而求得 即可
【详解】如下图，在 中， ，由正弦定理可得 ，
所以 ，
从而 ，
故 ，故选：D.
12．（2022·江西·江西师大附中校考三模）地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼､黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是
中国古代四大名楼之一､“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落霞与孤鹜
齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动
描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的
仰角为45°，若 ，则楼高AB约为（ ）
A．58米 B．68米 C．78米 D．88米
【答案】A
【分析】设 ，得到 ，列出方程 ，求得 的值，即
可求得楼高，得到答案.
【详解】设 ，则由题意可得 ，
所以 ，
解得 ，
所以楼高 .
故选: A.题型五：解三角形的综合应用
13．（2023·全国·校联考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为边 的中点，且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得 ，再结合正弦和角公式得 ，进而可得答
案；
（2）根据余弦定理，结合 得 ，进而根据余弦定理得 ，再计算面积
即可.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解：如图，因为 为边 的中点，且 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，即 ，整理得 ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以， 的面积为 ．
14．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在锐角三角形 中,角 的对边分别为 ,向量
, ,且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 的面积为 ,求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标形式,得到 中边和角之间的等式关系,根据正弦定理将角化为边,解得边之
间关系,再根据余弦定理即可求得角 ;
（2）由于 为锐角三角形,画出图形找到临界条件,再根据 ,求出边与边之间的不等式关系,根据
可得 ,将等式代入不等式中,即可得边长的范围,将 代入 中,构造新函数求导求单调性,求
出范围即可.
【详解】（1）解:由题知 , , ,
所以有: ①,
在 中,由正弦定理可得: ,
代入①中有: ,展开移项后可得: ,
即 ,
因为 是 的三边,
所以上式可化为: ,
在 中,由余弦定理可得:
,
因为 ,所以 ;
（2）在 中,过点 向 作垂线,垂足为 ,
过点 作 的垂线,交 延长线于点 ,如图所示:
因为 为锐角三角形,
所以点 在线段 上（不含端点）,
即 ,
由（1）可得 ,且 ,
所以 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,即 ,
由 ,所以 ,解得: ,
所以 ,
令 , ,由对勾函数的性质可得 在 上单调递减,
故 ,
即 .
15．（2023·全国·高三专题练习）如图， 为 内的一点， 记为 ， 记为 ，且 ， 在
中的对边分别记为m，n， ， ， .
(1)求 ；
(2)若 ， ， ，记 ，求线段 的长和 面积的最大值.
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由已知可推出 ，整理得到 .根据 的范围可得
，进而即可得出 ；
（2）由已知可得 ，进而根据 即可得出 ，根据 ，
即可得出三角形面积的最大值.
【详解】（1）已知 ，由正弦定理可得
，由 ，所以 ，即 ，
所以 .
因为 ， ， ，
所以 ，则 ，所以 .
（2）在 中，由余弦定理得知：
，
即 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
， .
因为， ，
所以，当 ，即 时， 面积有最大值 .
【高考必刷】
一、单选题
16．（2023·四川内江·统考一模） 的内角A、B、C所对的边分别为 ，已知 ， ，
，则 （ ）A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过正弦定理得 ，则可求出 ，再利用余弦定理求 即可.
【详解】因为 ， 由正弦定理得 ，
又 ，
由余弦定理 ，
则
故选：B.
17．（2022·安徽黄山·统考一模）在 中, ,O是 的外心,则 的最大
值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】取 中点为 ,将 写为 ,展开后,将 作为一组基底,将其他向量写为 的形式,再将
三角形的边和角代入,用余弦定理将边角之间关系代入上式,再用正弦定理求出变量范围,求出最大值即可.
【详解】解:由题知,记 的三边为 ,
因为O是 的外心,
记 中点为 ,
则有 ,
所以
且 ,
所以①,
在 中,由余弦定理得:
,
即 ,
即 ,
代入①中可得:
,
在 中,由正弦定理得:
,
所以 ,
所以 ,
当 时取等,
故 的最大值为3.
故选:C
18．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长
度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直
的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一
天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地
冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线
与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注： ）（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，
【详解】设表高为 ，则 ， ，
而 ，得 ， ，
故 ，
得 ，
故选：D
19．（2022·浙江杭州·模拟预测）在 中 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角为边，代入后即可得答案.
【解答】解：因为 ， ， ，
则故选：B.
20．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，且
外接圆的周长为 ，则 的周长为（ ）
A．20 B． C．27 D．
【答案】D
【分析】利用三角形的外接圆周长求出外接圆半径，根据同角三角函数关系求出 ，从而得到 的长，
结合 及正弦定理得到 ，从而得到三角形周长.
【详解】设 的外接圆半径为 ，则 ，解得： ，
因为 ，由 ， ，
可得 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
由正弦定理可得： ，
所以 的周长为 .
故选：D.
21．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考期末）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
， ， ，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题通过正弦定理得到 ，再通过余弦定理得到 ，对向量式整理得 ，
通过平方，将向量关系转化为数量关系即 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：由 及正弦定理，得 ，即 ，
由余弦定理得， ，∵ ，∴ ．
由 ， ，
两边平方，得
即
，
当且仅当 ，即 时取等号，即 ，
∴线段CD长度的最小值为 ．
故选：D．
22．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则
面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得 ，进而得到 ；利用余弦定理和基本不等式可求得
，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】由正弦定理得： ，
，
， ， ， ， ，
，解得： ；由余弦定理得： ，
（当且仅当 时取等号）， ，
.
故选：B.
23．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆 ）的焦点为 ， ， 是椭圆上一
点，且 ，若 的内切圆的半径 满足 ，则 （其中 为椭圆
的离心率）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知即向量数量积定义可得 ，应用余弦定理求得 ，根据等面积法可得
，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设 ，故 ，
又 ，则 ，
由余弦定理知：
，
所以 ，而 ，
因为 的内切圆的半径 ，故 ，
所以 ，则 ，由 ，即 ，
所以 ，整理得 且 ，
所以 ，
，当且仅当 时等号成立，
所以目标式最小值为 .
故选：B
二、多选题
24．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到 ，结合 的范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知 ，代入 ，可得
，即 ，
因为 ，所以 或 ，
故选：BD.
25．（2022·湖北·荆门市龙泉中学校联考一模） 中， ，BC边上的中线 ，则下列说法正确的有
（ ）A． 为定值 B．
C． D． 的最大值为30°
【答案】AD
【分析】由 计算判断A，由 平方计算判断B，由数量积定义结合基
本不等式判断C，利用 在以 为圆心，4为半径的圆上（除去直线 与圆的交点），得出 ，然后由
余弦定理求得 ，结合基本不等式，余弦函数性质判断D．
【详解】 是定值，A正确；
由 得 ，所以 ，B错；
，
， 时等号成立，C错，
，BC边上的中线 ， 在以 为圆心，4为半径的圆上（除去直线 与圆的交点），
，所以 ，即 ，记 ，即 ，
，当且仅当 ，即 时
等号成立，所以 的最小值是 ，即 的最大值是 ，D正确．
故选：AD．
26．（2022·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．
B． 面积的取值范围为
C．已知M是边BC的中点，则 的取值范围为
D．当 时， 的周长为【答案】ABD
【分析】利用正弦定理化边为角，结合三角形内角关系及两角和的正弦公式即可判断A；以BC的中点为坐标原点，
BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 ， ，设 ，求出点 的轨迹方程，从而可判
断BC；由 ，可得 ，结合正弦定理及 ，可得 ，从而可求出 ，从而可求
出 ，求出 ，即可判断D.
【详解】解：对于A选项，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，所以 ，
∴ ，故选项A正确；
对于选项B，以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 ， ，设
，
因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以点A在以 为圆心， 为半径的圆上运动，（B、C除外）
所以点A到BC边的最大距离为 ，
所以 面积的最大值为 ，
∴ 面积的取值范围为 ，故选项B正确；
对于C选项，因为点A在以 为圆心， 为半径的圆上运动，设 ，则 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，故选项C错误；
对于D选项，由 ，可得 ，
由A选项，得 ，
由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以化简得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ， ， ， 为直角三角形，
所以 ， ，所以 的周长为 ，所以选项D正确.
故选：ABD．
27．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 、 、 所对的边为 、 、 ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为C． D．角 的最小值为
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A选项的正误；利用基本不等式结合三角形的面积公式可判
断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】对于A，由余弦定理可得 ，得 ，
故 ，A对；
对于B，由基本不等式可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
由余弦定理可得 ，
则 ，B对；
对于C， ，则 ，
由余弦定理可得 ， ，
所以， ，整理可得 ，
则 ，C对；
对于D，由余弦定理可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为 且函数 在 上单调递减，故 ，D错.
故选：ABC.
三、填空题
28．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）在 中，内角 的对边长分别为 ，且， ，则b的值为______．
【答案】
【分析】由 可得 ，即而得 ，利用正余弦定
理化简可得 ，结合条件 ，即可求得答案.
【详解】由 ，可得 ，
即 ，即有 ，
即 ，
故 ，化简得 ，结合 ，
可得 ，解得 或0（舍），
故答案为：4．
29．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了
已知三角形三边长求三角形面积的公式.在 中，设 分别为 的内角 的对边，S表示 的
面积，其公式为 .若 ， ， ，则 ______.
【答案】1或
【分析】由正弦定理结合题设推得 ，利用条件解方程可得答案.
【详解】在 中，由正弦定理得 ,
而 ，故 ，结合 可得 ,
即有 ，
由 ， 可得 ，
整理得 ，解得 或 ，故 或 ，符合题意，
故答案为：1或
30．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，则 的值为______.
【答案】
【分析】根据正弦定理和余弦定理得到 ，解得答案.
【详解】根据余弦定理和正弦定理得到： ，
即 ，故 ， ，故 .
故答案为：
31．（2023·安徽·校联考模拟预测）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB长度为2a，动点 满足
，那么 的轨迹称为双纽线．已知曲线 为双纽线，若 为曲线
上的动点，A，B的坐标为 和 ，则 面积的最大值为______．
【答案】2
【分析】根据给定条件，设 ，利用三角形面积定理结合双纽线的定义求解作答.
【详解】因为 为曲线 ： 上的动点，而 ， ，因此 ，
在 中，设 ，于是得 ，当且仅当 时取等号，
当 时，点P在以线段AB为直径的圆 上，与曲线C的方程联立解得 或 ，即点P
存在，
所以 面积的最大值为2.
故答案为：2四、解答题
32．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合
，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成 ，然
后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
33．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：① ；② ；③
.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 中，角 ， ，
所对的边分别是 ， ， ，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三角恒等变换公式化简即可求
解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求解；
(2)根据正弦定理可得 ， ，从而 ，再根据 ，即可得到
，利用三角函数的性质即可求取值范围.【详解】（1）选择条件① ：
，
所以 ，于是 ，又 ，所以 .
选择条件② ：
因为 ，
解得 ，又 ，所以 .
选择条件③ ：
则 ，
由正弦定理得： ，
即 ，
整理得： ，
由 得： ，又 ，所以 .
（2）由（1）知， ， 为锐角三角形，所以 ，
由正弦定理 ，得 ， ，
于是，化简得， ，
因为 ,所以 ，所以 ，
，
故 的取值范围为 .
34．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个
正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求得 ，再
由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，则 ，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
35．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）如图，在梯形 中， ， ．
(1)若 ，求 周长的最大值；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)9
(2) ．
【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；
（2）设 ，在 和 中使用正弦定理，联立得到 ，由正弦和角公式得到
，从而得到 ，求出 的值.
【详解】（1）在 中，
，
即 ，解得： ，当且仅当 时取等号．
故 周长的最大值是9．
（2）设 ，则 ， ．
在 中， ，在 中， ，两式相除得， ，
因为 ，
∴ ，故 ．
