文档内容
第八周
[周一]
1．(2022·汕头模拟)在①C＝2B；②△ABC的面积为；③sin(B＋C)＝这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，请说明
理由．
问题：是否存在△ABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2，________？
解 若选①，则A＝π－3B，且A1，
此时三角形不存在．
[周二]
2.(2022·深圳模拟)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面
ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l∥平面PAC；
(2)若PC＝AB＝2，点C是AB的中点，求二面角E－l－C的正弦值．
(1)证明 因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC,
又因为AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
所以EF∥平面ABC，
又EF⊂平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，所以EF∥l,
而l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.
(2)解 如图，因为AB是圆O的直径，点C是AB的中点，AB＝2，所以CA⊥CB，CA＝CB＝，
因为直线PC⊥平面ABC，
所以PC⊥CA，PC⊥CB，
以C为原点，直线CA，CB，CP分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则F(0,0,1)，B(0，，0)，E，
所以BF＝(0，－，1)，
BE＝，
设平面EFB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则x＝0，z＝，得n＝(0,1，)，
因为直线PC⊥平面ABC，
所以CF＝(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，
所以cos〈CF，n〉＝＝＝，
所以二面角E－l－C的正弦值为.
[周三]
3．(2022·苏州四校联考)已知数列{a}满足a＝1，a ＝，n∈N*.
n 1 n＋1
(1)设b＝－n，n∈N*，求数列{b}的通项公式；
n n
(2)设c＝求数列{c}的前100项和S .
n n 100
解 (1)因为数列{a}满足
n
a ＝，n∈N*，
n＋1
所以＝＋1－n，n∈N*，
所以－(n＋1)＝2，n∈N*，
即b ＝2b，
n＋1 n
因为a＝1，所以b＝－1＝0，
1 1
所以数列{b}的通项公式为b＝0.
n n
(2)由(1)知＝n，n∈N*，
所以c＝
n
因为c＝c＝c＝c ＝c ＝c ＝0，
2 4 8 16 32 64
所以数列{c}的前100项和为
n
S ＝－＝4 924，
100
所以S ＝4 924.
100[周四]
4．(2022·聊城模拟)某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了 100位市民进行调查，
结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人
数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占.
(1)请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析能
否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关系？
满意 不满意 合计
上班族
非上班族
合计
(2)为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽
样的次数不超过n(n∈N*)，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的
市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束．
①若n＝5，写出X 的分布列和均值；
5
②请写出X 的均值的表达式(不需证明)，根据你的理解说明X 的均值的实际意义．
n n
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由题意可知
满意 不满意 合计
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合计 50 50 100
零假设为H：市民对交通的满意度与是否上班无关，因为χ2＝＝
0
≈25.253>10.828＝x ；
0.001
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为市民对交通的满意度与
0
是否上班有关．
(2)①当n＝5时，X 的取值为1,2,3,4,5，
5
由(1)可知市民的满意度和不满意度均为，所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
5 5
P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，
5 5 5
所以X 的分布列为
5
X 1 2 3 4 5
5
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
5
②E(X)＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·＝2－，
n
当n趋向于正无穷大时，E(X)趋向于2，此时E(X)恰好为不满意度的倒数；
n n
也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民．
[周五]
5．(2022·梅州模拟)已知动点P到点F(0,1)和直线l：y＝－1的距离相等．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为曲线C，点Q在直线l上，过Q的两条直线QA，QB与曲线C相切，切
点分别为A，B，以AB为直径作圆M，判断直线l和圆M的位置关系，并证明你的结论．
解 (1)由抛物线定义可知点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线l：y＝－1为准线的抛物线，
所以动点P的轨迹方程为x2＝4y.
(2)直线l与圆M相切，理由如下：
依题可设Q(x，－1)，A，B，
0
M，由x2＝4y，即y＝x2，
求导得y′＝，
所以切线QA，QB的斜率分别是k＝，k＝，所以QA的方程是y－＝(x－x)，
1 2 1
将点Q(x，－1)的坐标代入QA的方程，
0
得－1－＝(x－x)，
0 1
即x－2xx－4＝0，
0 1
同理可得x－2xx－4＝0，
0 2
于是x，x 是方程x2－2xx－4＝0的两根，
1 2 0
所以x＋x＝2x，xx＝－4，
1 2 0 1 2
由x＋x＝2x，得＝x，即MQ⊥l，
1 2 0 0
由xx＝－4，kk＝·＝－1，
1 2 1 2所以QA⊥QB，即点Q在圆M上，
所以直线l和圆M相切．
[周六]
6．(2022·许昌模拟)已知函数f(x)＝mxln x＋x2，m≠0.
(1)若m＝－2，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＝f(x)＝0，且x≠x，证明：ln x＋ln x>2.
1 2 1 2 1 2
(1)解 依题意f(x)＝－2xln x＋x2，
f′(x)＝－2ln x－2＋2x＝2(x－ln x－1)．
令g(x)＝x－ln x－1，
则g′(x)＝1－＝(x>0)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故函数g(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
则g(x)≥g(1)＝0，即f′(x)≥0，
故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)证明 要证ln x＋ln x>2，即证ln(xx)>2.
1 2 1 2
依题意，x，x 是方程mxln x＋x2＝0的两个不相等的实数根，不妨令x>x，
1 2 1 2
因为x>0，故
两式相加可得m(ln x＋ln x)＋(x＋x)＝0，
1 2 1 2
两式相减可得m(ln x－ln x)＋(x－x)＝0，
1 2 1 2
消去m，整理得＝，
故ln(xx)＝ln ·＝ln ·，
1 2
令＝t>1，故只需证明ln t·>2，
即证明ln t>，设h(t)＝ln t－，
故h′(t)＝－＝>0，
故h(t)在(1，＋∞)上单调递增，
从而h(t)>h(1)＝0，
因此ln t>.故原不等式得证．
