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专题 04 二次根式的核心知识点精讲
1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．
2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．
3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运
算．
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【题型1：二次根式有意义的条件】
【典例1】（2023•济宁）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2
1．（2023•金华）要使 有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
2．（2023•通辽）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023•湘西州）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【题型2：二次根式的性质】
【典例2】（2023•泰州）计算 等于（ ）
A．±2 B．2 C．4 D．
1．（2021•苏州）计算（ ）2的结果是（ ）
A． B．3 C．2 D．9
2.（2023•青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则 + 等于（ ）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
4．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝ 2 ．
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【题型3：二次根式的运算】
【典例3】（2023•金昌）计算： ÷ ×2 ﹣6 ．
1．（2023•聊城）计算：（ ﹣3 ）÷ ＝ ．
2．（2023•山西）计算： 的结果为 ．
3．（2023•兰州）计算： ．
4．（2023•陕西）计算： ．
1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋•泉州期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
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5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则 的结果是（ ）
A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a
6．（2023春•河东区期中）把x 根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．（2023春•铁岭县期末）计算： 的结果是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣
8．（2023春•抚顺月考）二次根式 的计算结果是（ ）
A． B． C．± D．
9．（2023春•西丰县期中）已知a＝ +2，b＝ ﹣2，则a﹣b的值是（ ）
A．2 B．4 C．2 +4 D．2 ﹣4
10．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
11．（2023春•武昌区校级期中）若 是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ．
12．（2023春•固镇县月考）计算 ＝ ．
13．（2023春•高安市期中）化简计算： ＝ ．
14．（2023秋•高新区校级期中）计算：
（1） × ； （2） ．
15．（2023秋•秦都区校级期中）计算： ﹣ × ．
1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 结果
为（ ）
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A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
2．（2023春•新郑市校级期末）若 ＝ 在实数范围内成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4
3．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（ ）
A．0 B．4 C．2 D．不能确定
4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古
希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，则其面积
，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若 p＝5，c＝2，则此三角形面积
的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
5．（2023秋•闵行区期中）计算： ＝ ．
6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：
第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1，
1
第2个等式：a ＝ ＝ ，
2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ，
3
第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2，
4
…
按上述规律，计算a +a +a +…+a ＝ ．
1 2 3 n
7．（2023春•中江县月考）已知 的值是 ．
8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了
一个大长方形，已知小长方形的长为 ，宽为 ，则这个大长方形的周长为 ．
9．（2023春•宿豫区期末）计算 的结果为 ．
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10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：
＝ ＝ ﹣1；
＝ ＝ ﹣ ；
＝ ＝ ﹣2．
（1）求 的值；
（2）计算： + + +…+ + ．
12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出： 该如何化简？
建立模型：形如 的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（ ）2+（
）2＝m， • ＝ ．
那么便有： （a＞b），
问题解决：化简： ，
解：首先把 化为 ，这里 m＝7，n＝12，由于 4+3＝7，4×3＝12，即
， ．
∴ ，
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1） ；
（2） ．
模型应用2：
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（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣ ，AC＝ ，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，
结果化成最简）．
1．（2022•桂林）化简 的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
2．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 +1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
3．（2022•河北）下列正确的是（ ）
A． ＝2+3 B． ＝2×3 C． ＝32 D． ＝0.7
4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022•青岛）计算（ ﹣ ）× 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
6．（2022•安顺）估计（ + ）× 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．（2023•绵阳）若式子 在实数范围内有意义，则x的最小值为 ．
8．（2023•丹东）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
9.（2022•武汉）计算 的结果是 ．
10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ＝ ．
11．（2022•荆州）若3﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+ a）•b的值是 ．
12．（2022•泰安）计算： • ﹣3 ＝ ．
13．（2022•济宁）已知a＝2+ ，b＝2﹣ ，求代数式a2b+ab2的值．
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