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专题 04 二次根式综合过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•盐城一模）使式子 有意义，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＝1 C．x≥1 D．x≤1
【答案】C
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：C．
2．（2023•长沙县二模）下列根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
D、 ＝ ＝2 ，与 是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
3．（2023•钟楼区校级模拟）已知ab＜0，则 化简后为（ ）
A．﹣a B．﹣a C．a D．a
【答案】D
【解答】解：∵ab＜0，﹣a2b≥0，
∴a＞0，
∴b＜0
∴原式＝|a| ，
＝a ，
故选：D．
4．（2023•平罗县一模）计算 的结果为（ ）
A．﹣11 B．11 C．±11 D．121
【答案】B
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【解答】解：∵
∴
故选：B．
5．（2023•襄阳模拟）下列各数中与3互为相反数的是（ ）
A．|﹣3| B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、3和3的绝对值是同一个数，故A错误，不符合题意．
B、3和 ，是互为倒数，故B错误，不符合题意．
C、 ＝﹣3，故C正确；符合题意；
D、 ＝3，不是相反数，故D错误．
故选：C．
6．（2023•德兴市一模）下列各等式中，正确的是（ ）
A． ＝﹣3 B．± ＝3
C．﹣ ＝﹣3 D． ＝±3
【答案】C
【解答】解：A、 没有意义，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：C．
7．（2023•未央区校级三模）按如图所示的程序计算，若开始输入的 n值为 ，则最后输出的结果是（
）
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A．14 B． C．16 D．
【答案】B
【解答】解：∵n＝ 时，n（n+1）＝ ×（ +1）＝2+ ，且2+ ＜15，
∴将n＝2+ 再次输入，
n（n+1）
＝（2+ ）（2+ +1）
＝（2+ ）（3+ ）
＝6+5 +2
＝8+5 ，
∵8+5 ＞15，
∴输出结果是8+5 ，
故选：B．
8．（2023•邢台二模）有甲、乙两个算式：
甲： ；乙： ．
说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对
C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【答案】D
【解答】解：∵ ＝ ＝ ≠2 ，2 +3 ≠5 ，
∴甲、乙均不对．
故选：D．
9．（2023•大同模拟）从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体
受到的重力加速度有关，若物体从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间t（单
位：s）与h的关系式为t＝ （k为常数）表示，并且当h＝80时，t＝4，则从高度为100m的空中自
由下落的物体，其落到地面所需的时间为（ ）
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A． s B． s C． s D． s
【答案】D
【解答】解：由题意得 ＝4，
解得k＝5，
∴当h＝100时，
t＝ ＝ ＝2 （s），
∴从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为2 s，
故选：D．
10．（2023•蚌山区模拟）如果 f（x）＝ 并且 f（ ）表示当 x＝ 时的值，即 f（ ）＝
＝ ，f（ ）表示当x＝ 时的值，即f（ ）＝ ，那么f（ ）+f（
）+f（ ）+f（ ）+ 的值是（ ）
A．n B．n C．n D．n+
【答案】A
【解答】解：代入计算可得，f（ ）+f（ ）＝1，f（ ）+f（ ）＝1，…，f（ ）+f（
）＝1，
所以，原式＝ +（n﹣1）＝n﹣ ．
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故选：A．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）
11．（2024•辽宁模拟）计算： ＝ ．
【答案】 ．
【解答】解： ＝ ，
故答案为： ．
12．（2023•遵义模拟）计算 的结果是 2 ．
【答案】2 ．
【解答】解：原式＝2 ．
故答案为：2 ．
13．（2023•榕城区二模）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：由题意得，0＜a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴ ，
故答案为：1．
14．（2023•道外区二模）计算 ﹣3 的结果是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝4 ﹣3×
＝4 ﹣
＝3 ．
故答案为：3 ．
15．（2023•南通二模）如图，从一个大正方形中恰好可以裁去面积为 2cm2和8cm2的两个小正方形，余下
两个全等的矩形（图中阴影部分），则大正方形的边长为 3 cm．
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【答案】3 ．
【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为2cm2和8cm2的两个小正方形，
则大正方形的边长是 + ＝ +2 ＝3 （cm）．
故答案为：3 ．
16．（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积
的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么三角
形的面积为 ．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，
c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为 ．
【答案】6 ．
【解答】解：∵a＝5，b＝6，c＝7，
∴p＝ ＝9，
则S＝ ＝ ＝6 ．
故答案为：6 ．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（8分）（2023•天山区校级模拟）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）
＝
＝
＝ ；
（2）
＝
＝5﹣3
＝2．
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18．（6分）（2023•临渭区二模）计算： ．
【答案】3+ ．
【解答】解：
＝4﹣2 +3 +（﹣1）
＝3+ ．
19.（8分）（2023•博山区一模）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝
﹣ ，b＝ + ．
【答案】6ab，6．
【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2
＝6ab，
∵a＝ ﹣ ，b＝ + ，
∴原式＝6ab
＝6×（ ﹣ ）（ + ）
＝6．
20．（8分）（2023•临川区校级一模）已知实数 a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|﹣ +
．
【答案】﹣b﹣c．
【解答】解：由数轴得：c＜a＜0，b＞0，
∴c﹣a＜0，
∴|a|﹣ +
＝﹣a﹣b+a﹣c
＝﹣b﹣c．
21．（6分）（2023•龙游县校级一模）已知若x，y为实数，且y＝ ，求x+y的值．
【答案】见试题解答内容
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【解答】解：由题意，x2﹣9≥0，9﹣x2≥0
∴x2＝9，
∴x＝±3
又∵x+3≠0，
∴x≠﹣3，
∴x＝3，y＝0+0+4＝4，
∴x+y＝7
22．（10分）（2023•桑植县模拟）我们以前学过完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，现在，又学习了二
次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3＝（ ）2，5＝（ ）2，下面我们观察：
（ ﹣1）2＝（ ）2﹣2×1× +12＝2﹣2 +1＝3﹣2 ．
反之，3﹣2 ＝2﹣2 +1＝（ ﹣1）2
∵3﹣2 ＝（ ﹣1）2
∴ ＝ ﹣1．
仿上例，求：
（1） ；
（2）计算： + + +……+ ；
（3）若a＝ ，则求4a3﹣9a2﹣2a+1的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣1；
（2） + + +……+
＝ + + +……+
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＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +……+ ﹣
＝﹣1+ ；
（3）∵a＝ ＝ +1，
∴a2＝3+2 ，
∴原式＝4a3﹣10a2+a2﹣2a+1
＝2a2（2a﹣5）+（a﹣1）2
＝2（3+2 ）（2 +2﹣5）+（ ）2
＝0．
23．（12分）（2023•舟山二模）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2 ＝（1+ ）
2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b ＝（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2 mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
a＝ m 2 + 3 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 7 + 4 ＝（ 2 + 1 ）
2；
（3）若a+6 ＝（m+n ）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（m+n ）2＝m2+3n2+2 mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
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∴7+4 ＝（2+ ）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
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