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第 03 讲 分式
目 录
2
题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 2
题型02 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 3
题型03 约分与最简分式 4
题型04 最简公分母 5
题型05 利用分式的基本性质进行变形 6
题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 7
题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 9
题型08 分式的加减法 10
题型09 分式的乘除法 12
题型10 分式的混合运算 14
题型11 分式的化简求值 16
题型12 零指数幂 18
19
27
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题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围
1
1．（2023·广西·统考中考真题）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x+1
A．x≠−1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
【答案】A
【提示】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由题意得：x+1≠0，
∴x≠−1；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
1
2．（2021·湖南娄底·统考一模）若式子 有意义，则实数x的取值范围是 .
√x−1
【答案】x>1
【提示】根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可
求解．
【详解】由题意得：¿解得：x>1
故答案为：x>1
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．熟练的掌握分式分母不等于0以及
二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
1
3．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x 时，分式 无意义．
3−x
【答案】=3
【提示】根据分式无意义的条件进行计算即可．
1
【详解】解：∵分式 无意义，
3−x
∴3−x=0，
∴x=3，
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故答案为：=3．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式中的分母为0时，分式无意义是解题的关键．
2−x
4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于分式 ，下列说法错误的是（ ）
2x−6
A．当x=2时，分式的值为0 B．当x=3时，分式无意义
8
C．当x>2时，分式的值为正数 D．当x= 时，分式的值为1
3
【答案】C
【提示】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．
2−x
【详解】解：A．当x=2时，2−x=0，2x−6=−2≠0，分式 的值为0，故此项选项不符合题意；
2x−6
2−x
B．当x=3时，2x−6=0，分式 无意义，故此选项不符合题意；
2x−6
2−x
C 当x>2时，当x=3时，2x−6=0，分式 无意义，故此选项符合题意；
2x−6
8 2
2− −
8 2−x 3 3
D．当x= 时， = = =1，故此选项不符合题意．
3 2x−6 8 2
2× −6 −
3 3
故选：C．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相
关知识进行解答．
题型02 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围
x+5
1．（2020·浙江金华·统考中考真题）分式 的值是零，则x的值为（ ）
x−2
A．5 B．−5 C．−2 D．2
【答案】B
【提示】利用分式值为零的条件可得x+5=0，且x−2≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x+5=0，且x−2≠0，
解得：x=−5，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
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注意：“分母不为零”这个条件不能少．
x2−4
2．（2023·陕西西安·统考模拟预测）使得分式值 为零的x的值是 ；
x+2
【答案】2
【提示】根据分式的性质，要使分式有意义，则必须分母不能为0，要使分式为零，则只有分子为0，因此
计算即可.
【详解】解：要使分式有意义则x+2≠0 ，即x≠−2
要使分式为零，则x2−4=0 ，即x=±2
综上可得x=2
故答案为2.
【点睛】本题主要考查分式的性质，关键在于分式的分母不能为0.
x2
3．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
x+3
【答案】x<−3
x2
【提示】根据题意可得x2≥0，要使分式 的值为负数，即分母x+3<0且x≠0，然后解不等式即可．
x+3
【详解】解：∵x2≥0，
x2
∴分式 的值为负数，即分母x+3<0且x≠0，解得：x<−3．
x+3
故答案为：x<−3．
【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
题型03 约分与最简分式
3m3
1．（2023·甘肃武威·统考三模）计算： = ．
6m2
m
【答案】
2
【提示】直接约分即可．
3m3 3m2 ⋅m m
【详解】 = = ，
6m2 3m2×2 2
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m
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了约分，找准公因式是解题的关键．
a2−2a+1
2．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简： ＝ ．
1−a2
1−a
【答案】
1+a
【提示】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
(1−a) 2
【详解】解：原式=
(1+a)(1−a)
1−a
= ，
1+a
1−a
故答案为： ．
1+a
【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解
因式．
3．下列分式中，是最简分式的是（ ）
x 15 4ab a2−b2
A． B． C． D．
x+ y 10x 3a2 a+b
【答案】A
【提示】分式的分子分母若没有公因式，这样的分式叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可．
【详解】A选项是最简分式，故正确；
B选项分子分母有公因式5，不是最简分式，故不正确；
C选项分子分母有公因式a，不是最简分式，故不正确；
D选项分子分母有公因式a+b，不是最简分式，故不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式的概念，当分式的分子分母是多项式时，要分别分解因式，再判断有无公因
式．
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题型04 最简公分母
x+ y 3 y xy
1．（2021·广东广州·广州市第十六中学校考二模）分式 ， ， 的最简分母是（ ）
3xy 2x2 6x y2
A．3x B．x C．6x2 D．6x2y2
【答案】D
【提示】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的
指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
x+ y 3 y xy
【详解】解： ， ， 的分母分别是3xy、2x2、6x y2，故最简公分母为6x2y2．
3xy 2x2 6x y2
故选：D．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，
确定最简公分母的方法一定要掌握．
m 3n
2．分式 和 的最简公分母为 ．
2m−2n m−n
【答案】2（m﹣n）
m 3n
【提示】利用最简公分母的定义求解，分式 和 的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n），故最
2m−2n m−n
简公分母是2（m﹣n）即是本题答案．
m 3n
【详解】解：∵分式 和 的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）．
2m−2n m−n
∴它们的最简公分母是2（m﹣n）．
故答案为：2（m﹣n）．
【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键．
题型05 利用分式的基本性质进行变形
1．（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
a a+2 −a+2 a+2 a a2 a a+2a
A． = B． =− C． = D． =
b b+2 b b b b2 b b+2b
【答案】D
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【提示】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意；
−a+2 a−2
B． =− ，故原选项错误，不符合题意；
b b
a ab
C． = ，故原选项错误，不符合题意；
b b2
a+2a 3a a
D． = = ，故原选项正确，符合题意．
b+2b 3b b
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题．
2．（2023·浙江温州·统考一模）下列式子一定成立的是（ ）
a b+2 a a−1 a a2 a 3a
A． = B． = C． = D． =
b a+2 b b−1 b b2 b 3b
【答案】D
【提示】根据分式的基本性质进行判断．
a a b+2
【详解】解：A、分式 的分子、分母同时加2，分式的值发生改变，则 = 不成立；
b b a+2
a a a−1
B、分式 的分子、分母同时减1，分式的值发生改变，故 = 不成立；
b b b−1
a a a2
C、分式 的分子、分母同时平方，分式是值有可能改变，则 = 不一定成立；
b b b2
a a 3a
D、分式 的分子、分母乘以3，分式是值不变，则 = 成立；
b b 3b
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以一个不等于0的分数
（或分式），分式的值不变．灵活运用性质是解题的关键．
3．（2022易县二模）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
a+3 a a ac a a3 ab 1
A． = B． = C． = D． =
b+3 b b bc b b3 3ab 3
【答案】D
【提示】根据分式的基本性质变形判断即可；
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a+3 a
【详解】A． = 中不符合分式的基本性质，故错误；
b+3 b
a ac
B． = 中没有说明c不为0，故错误；
b bc
a a3
C． = 不符合分式的基本性质，故错误；
b b3
ab 1
D． = 中运用了分式的约分，正确；
3ab 3
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质应用，准确理解是解题的关键．
题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化
4m−a
1．（2022·河北邯郸·统考一模）只把分式 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
5n
则此时a的值可以是下列中的（ ）
m
A．2 B．mn C． D．m2
3
【答案】C
【提示】根据分式的性质，分子分母的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则a为含m或
n的一次单项式，据此判断即可．
4m−a
【详解】解：∵ 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
5n
∴a为含m或n的一次单项式，故只有C符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
xy
2．（2022·湖南永州·统考二模）如果分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（ ）
x+ y
1
A．不变 B．缩小为原来的
2
C．扩大为原来的2倍 D．不确定
【答案】C
【提示】直接利用分式的基本性质化简得出答案．
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xy
【详解】解：把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，
x+ y
2x⋅2y xy
则原式可变为： ＝2× ，
2x+2y x+ y
故分式的值扩大为原来的2倍．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质．解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
0.02x+0.5 y
3．（2022·河北保定·统考一模）不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数化为整数，
x+0.004 y
其结果为（ ）
20x+500 y 20x+500 y 2x+50 y 2x+5 y
A． B． C． D．
1000x+4 y 100x+4 y 1000x+4 y x+4 y
【答案】A
【提示】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
0.02x+0.5 y
【详解】解：
x+0.004 y
1000×(0.02x+0.5 y)
＝
1000×(x+0.004 y)
20x+500 y
＝ ，
1000x+4 y
故选：A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的
值不变．
4．（2021·河北邢台·统考一模）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是
（ ）
(x+ y) 2 xy x+2 x−2
A． B． C． D．
x2 x+ y y+2 y−2
【答案】A
【提示】根据分式的基本性质即可求出答案．
(2x+2y) 2 (x+ y) 2
【详解】解：A、 = ，故A的值保持不变．
4x2 x2
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4xy 2xy
B、 = ，故B的值不能保持不变．
2x+2y x+ y
2x+2 x+1
C、 = ，故C的值不能保持不变．
2y+2 y+1
2x−2 x−1
D、 = ，故D的值不能保持不变．
2y−2 y−1
故选：A．
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形
2
1．（2022无锡市三模）分式 可变形为（ ）
2−x
2 2 2 2
A． B．− C． D．−
2+x 2+x x−2 x−2
【答案】D
【详解】试题提示：根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案：
2 2
分式 的分子分母都乘以﹣1，得− .
2−x x−2
故选D．
−x+ y
2．（2022秦皇岛模拟）下列分式中与 的值相等的分式是（ ）
−x−y
x+ y x−y x+ y x−y
A． B． C．- D．-
x−y x+ y x−y x+ y
【答案】B
【提示】根据分式的基本性质即可得出结论．
−x+ y (−1)(−x+ y) (−1)(−x+ y) x−y
【详解】解： = = =
−x−y (−1)(−x−y) (−1)(−x−y) x+ y
故选B．
【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
a
3．（2022铜仁市三模）分式− 可变形为（ ）
2−3a
a a a a
A．− B． C． D．−
3a−2 3a−2 3a+2 3a+2
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【答案】B
【提示】根据分式的基本性质即可得．
a a a
【详解】解：− =− = ，
2−3a −(3a−2) 3a−2
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
题型08 分式的加减法
a2+b2 2ab
1．（2020·山东淄博·统考中考真题）化简 + 的结果是（ ）
a−b b−a
(a+b) 2 (a−b) 2
A．a+b B．a﹣b C． D．
a−b a+b
【答案】B
【提示】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
a2+b2 2ab
【详解】解：原式= −
a−b a−b
a2+b2−2ab
=
a−b
(a−b) 2
=
a−b
=a−b．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是熟记运算法则．
4
2．（2022·四川眉山·中考真题）化简 +a−2的结果是（ ）
a+2
a2 a2 a
A．1 B． C． D．
a+2 a2−4 a+2
【答案】B
【提示】根据分式的混合运算法则计算即可．
4
【详解】解： +a−2
a+2
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4 a2−4
= +
a+2 a+2
a2
= ．
a+2
故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
2 8
3．（2021·四川自贡·统考中考真题）化简： − = ．
a−2 a2−4
2
【答案】
a+2
【提示】利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解．
2 8
【详解】解： −
a−2 a2−4
2 8
= −
a−2 (a+2)(a−2)
2(a+2) 8
= −
(a+2)(a−2) (a+2)(a−2)
2(a−2)
=
(a+2)(a−2)
2
= ，
a+2
2
故答案为： ．
a+2
【点睛】本题考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来
每天节约用水 吨．
3m
【答案】
a2+3a
【提示】首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可．
m
【详解】解：原来每天用水量： 吨，
a
m
改用喷灌方式后的每天用水量： 吨，
a+3
m m 3m
则现在比原来每天节约用水 − = 吨．
a a+3 a(a+3)
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3m
故答案是： ．
a(a+3)
【点睛】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．
5．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种
植基地是边长为am(a>1)的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉
花实验种植基他是边长为(a−1)m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500kg．请说明哪种茉
莉花的单位面积产量更高？
【答案】“飘香2号”小麦的单位面积产量高，理由见解析
【提示】根据题意分别表示出飘香1号和2号的单位面积产量，比较即可．
500
【详解】解：“飘香1号”小麦的试验田面积是(a2−1)m2，单位面积产量是 kg/m2 ；
a2−1
500
“飘香2号”小麦的试验田面积是(a−1) 2m2，单位面积产量是 kg/m2 ，
(a−1) 2
∵a>1，即a−1>0，
∴(a−1) 2−(a2−1)=a2−2a+1−a2+1=−2a+2=−2(a−1)<0，
∴(a−1) 2<(a2−1)，
又由a>1可得(a−1) 2>0，a2−1>0，
500 500
<
∴ ，
a2−1 (a−1) 2
∴“飘香2号”小麦的单位面积产量高．
【点睛】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．
题型09 分式的乘除法
x2 x
1．（2023·山东济南·统考一模）化简： ÷ =（ ）
x2−4 x−2
x x
A．1 B．x C． D．
x−2 x+2
【答案】D
【提示】将分式的分母分解因式，除法化为乘法，再计算乘法化简即可．
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x2 x
【详解】解： ÷
x2−4 x−2
x2 x−2
= ⋅
(x+2)(x−2) x
x
= ，
x+2
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法计算法则是解题的关键．
( b) 3 1
2．（2023·江西·模拟预测）计算 − ÷ 的结果为（ ）
a a2
b3 b3 b3 b3
A．− B． C．− D．
a a a5 a5
【答案】A
【提示】先计算乘方，再计算除法即可求解．
( b) 3 1
【详解】解： − ÷
a a2
b3 1
=− ÷
a3 a2
b3
=− ⋅a2
a3
b3
=− ．
a
故选：A．
【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键．
a2−1 1−a
3．（2023·山西大同·校联考三模）计算 ⋅ 的结果为（ ）
a2−2a+1 a2+a
1 1 2 3
A．− B． C． D．
a a a a
【答案】A
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【提示】根据分式的乘法法则计算即可得出答案．
a2−1 1−a
【详解】 ⋅
a2−2a+1 a2+a
(a+1)(a−1) 1−a
= ⋅
(a−1) 2 a(a+1)
1
=−
a
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算性质是解题的关键．
x2+xy y2
4．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）计算： ⋅ = ．
xy x+ y
【答案】y
【提示】通过提公因式法，约分化简即可．
x(x+ y) y2
【详解】解：原式= ⋅ = y
xy x+ y
故答案为：y．
【点睛】本题主要考查的是分式化简，掌握提公因式法是解题的关键．
x−1 x2−1
5．（2023·广东汕头·校联考二模）把式子 ÷ 化到最简其结果为 ．
x−3 x2−6x+9
x−3
【答案】
x+1
【提示】第二个分式的分子和分母先分解因式，再化除法为乘法，然后约分即可．
x−1 x2−1
【详解】解： ÷
x−3 x2−6x+9
x−1 (x−1)(x+1)
= ÷
x−3 (x−3) 2
x−1 (x−3) 2
= ×
x−3 (x−1)(x+1)
x−3
= ；
x+1
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x−3
故答案为： ．
x+1
【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
题型10 分式的混合运算
( 1 ) x2−1
1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）化简： 1− ⋅ = ．
x+1 x
【答案】x−1/−1+x
【提示】根据分式的混合运算可直接进行求解．
x (x+1)(x−1)
【详解】解：原式= ⋅ =x−1；
x+1 x
故答案为x−1．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键．
(a+1 ) 2a
2．（2022·陕西·统考中考真题）化简： +1 ÷ ．
a−1 a2−1
【答案】a+1
【提示】分式计算先通分，再计算乘除即可．
a+1+a−1 a2−1
【详解】解：原式= ⋅
a−1 2a
2a (a+1)(a−1)
= ⋅
a−1 2a
=a+1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键．
a2+2a a 2
3．（2022·西藏·统考中考真题）计算： ⋅ − ．
a a2−4 a−2
【答案】1
【提示】首先对各项进行因式分解，然后约分，最后得到的两个分式相减即可得到答案．
a2+2a a 2
【详解】 · −
a a2−4 a−2
a(a+2) a 2
= · −
a (a+2)(a−2) a−2
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a 2
= −
a−2 a−2
=1
【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计
算是本题的解题关键．
4．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）计算：
(1)(x+ y) 2−x(2y−x)；
( 4a ) 2a2−2
(2) a−1+ ÷ ．
a−1 a2−2a+1
【答案】(1)2x2+ y2
a+1
(2)
2
【提示】（1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据分式的加减进行计算，同时将除法转化为乘法，根据分式的混合运算进行化简即可求解．
【详解】（1）解：(x+ y) 2−x(2y−x)
=x2+2xy+ y2−2xy+x2
=2x2+ y2；
( 4a ) 2a2−2
（2）解： a−1+ ÷
a−1 a2−2a+1
(a−1) 2+4a (a−1) 2
= ×
a−1 2(a2−1)
(a+1) 2 (a−1) 2
= ×
a−1 2(a−1)(a+1)
a+1
= ．
2
【点睛】本题考查了整式的化简，分式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则以及分式的运算法则是解题
的关键．
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题型11 分式的化简求值
x 1 x2
1．已知 = ，则 = ．
x2−x+1 7 x4−x2+1
1
【答案】
61
【提示】先将已知的式子化为倒数形式 ，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到
最终结果．
x 1
=
【详解】∵ ，
x2−x+1 7
x2−x+1
∴ =7，
x
1
∴x−1+ =7，
x
1
∴x+ =8，
x
( 1) 2
∴ x+ =64，
x
1
∴x2+ =62，
x2
x4−x2+1 1
∴ =x2−1+ =61，
x2 x2
x2 1
∴ = .
x4−x2+1 61
1
故答案为： ．
61
【点睛】考查分式值的计算，有一定灵活性，解题的关键是先求倒数．
( 4 ) x−4
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）化简： x−2− ÷ ，并给出x的值，使得该式的值为0．
x−2 x2−4
【答案】x2+2x；x=0
【提示】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母
的值代入求解．
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[(x−2) 2 4 ] (x+2)(x−2)
【详解】解：原式＝= − ⋅
x−2 x−2 x−4
x2−4x+4−4 (x+2)(x−2)
= ⋅
x−2 x−4
x(x−4) (x+2)(x−2)
= ⋅
x−2 x−4
=x(x+2)
=x2+2x
∵x≠−2，
∴当x=0时，原式=0
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
( 1) a2−1
3．（2022·福建·统考模拟预测）先化简，再求值： 1+ ÷ ，其中a=√2+1．
a a
1 √2
【答案】 ， ．
a−1 2
【提示】根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．
a+1 (a+1)(a−1)
【详解】解：原式= ÷
a a
a+1 a
= ⋅
a (a+1)(a−1)
1
= ．
a−1
1 √2
当a=√2+1时，原式= = ．
√2+1−1 2
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
(m2−m−4 ) m+1
4. 如果m2−4m−6=0，那么代数式 +1 ÷ 的值．
m+3 m2−9
【答案】m2−4m+3，9
【提示】根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后根据m2−4m−6=0可以得到m2−4m=6，
然后整体代入化简后的式子即可解答本题．
(m2−m−4 ) m+1
【详解】解： +1 ÷
m+3 m2−9
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m2−m−4+m+3 (m+3)(m−3)
= ⋅ ，
m+3 m+1
(m+1)(m−1) (m+3)(m−3)
= ⋅ ，
m+3 m+1
=(m−1)⋅(m−3)，
=m2−4m+3，
∵m2−4m−6=0，
∴m2−4m=6，
∴原式=m2−4m+3=6+3=9．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握整体思想的应用．
5．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）先化简，再求值：
a2−6ab+9b2 ( 5b2 ) 1
÷ −a−2b − ，其中a,b满足¿．
a2−2ab a−2b a
2 2
【答案】− ，−
a+3b 9
【提示】先将所有分式的分子与分母因式分解，同时计算括号内的减法，再计算乘法，最后计算加减法化
简，再解方程组求出a，b的值代入计算即可．
(a−3b) 2 5b2−(a+2b)(a−2b) 1
【详解】解：原式= ÷ −
a(a−2b) a−2b a
(a−3b) 2 a−2b 1
= ⋅ −
a(a−2b) (3b+a)(3b−a) a
a−3b 1
=− −
a(3b+a) a
2
=− ，
a+3b
∵¿，
∴¿，
2 2 2
∴原式=− =− =− ．
a+3b 3+3×2 9
【点睛】此题考查了分式的混合运算及化简求值，解二元一次方程组，正确掌握各运算法则是解题的关键．
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题型12 零指数幂
1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）√3−8−(−1)0= ．
【答案】−3
【提示】根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．
【详解】解：原式=−2−1=−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．
2．（2023·重庆江北·校考一模）计算：cos60°+(π−3.14) 0= ．
3
【答案】
2
【提示】直接利用三角函数值及非零数的零次方进行计算即可．
1 3 3
【详解】cos60°+(π−3.14) 0= +1= ，故答案为
2 2 2
【点睛】本题考查特殊角三角函数值及非零数的零次方，正确的计算是解题的关键．
x
1．（2023·江苏·统考中考真题）若代数式 的值是0，则实数x的值是（ ）
x2−1
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【提示】由x=0,x2−1≠0即可求解．
【详解】解：由分母不为零得：x2−1≠0,x≠±1
x
∵代数式 的值是0
x2−1
∴x=0
综上：x=0
故选：B
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【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零．掌握分式有意义的条件是关键．
a+1 1
2．（2023·贵州·统考中考真题）化简 − 结果正确的是（ ）
a a
1 1
A．1 B．a C． D．−
a a
【答案】A
【提示】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
a+1 1 a+1−1
【详解】解： − = =1，故A正确．
a a a
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．
4
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简 +x−2的结果是（ ）
x+2
x2 x x2
A．1 B． C． D．
x2−4 x+2 x+2
【答案】D
【提示】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
4
【详解】解： +x−2
x+2
4+(x+2)(x−2)
=
x+2
x2
= ．
x+2
故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
m2−n2 2m
4．（2022·山东济南·统考中考真题）若m－n＝2，则代数式 ⋅ 的值是（ ）
m m+n
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】D
【提示】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
（m+n）（m−n） 2m
【详解】解：原式= •
m m+n
＝2（m-n），
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当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
2
5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x−8
【答案】x≠8
【提示】根据分母不能为0求出自变量x的取值范围．
【详解】∵分式中分母不能为0，
∴x−8≠0，
∴x≠8，
故答案为：x≠8．
【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
1 2 ab−a
6．（2023·福建·统考中考真题）已知 + =1，且a≠−b，则 的值为 ．
a b a+b
【答案】1
1 2 ab−a
【提示】根据 + =1可得b+2a=ab，即ab−a=b+a，然后将ab−a=b+a整体代入 计算即可．
a b a+b
1 2
【详解】解：∵ + =1
a b
b+2a
∴ =1，
ab
∴b+2a=ab，即ab−a=b+a．
ab−a a+b
∴ = =1．
a+b a+b
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到ab−a=b+a是解答本题的关键．
( x+2 x−1 ) x−4
7．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简： − ÷ = ．
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
1 1
【答案】 /
x−2 −2+x
【提示】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
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( x+2 x−1 ) x−4
【详解】解： − ÷
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
(x+2)(x−2)−x(x−1) x(x−2)
= ×
x(x−2) 2 x−4
x2−4−x2+x x(x−2)
= ×
x(x−2) 2 x−4
1
= ；
x−2
1
故答案为： ．
x−2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
( 4a−4) a2
8．（2022·山东菏泽·统考中考真题）若a2−2a−15=0，则代数式 a− ⋅ 的值是 ．
a a−2
【答案】15
【提示】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
( 4a−4) a2
【详解】解： a− ⋅
a a−2
(a−2) 2 a2
= ⋅
a a−2
=a(a-2)
=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,
∴a2-2a=15，
∴原式=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
201
故答案为： ．
182
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
9．（2022·江苏苏州·统考中考真题）计算：|−3|+22−(√3−1) 0．
【答案】6
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【提示】先化简各式，然后再进行计算即可；
【详解】解：原式=3+4−1
=6
【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值、平方，准确化简式子是解题的关键．
10．（2022·内蒙古·中考真题）计算： ( − 1) −1 +2cos30°+(3−π) 0−√3−8．
2
【答案】√3+1
【提示】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运
算即可．
1 √3
= +2× +1−(−2)
【详解】原式 1 2
−
2
=−2+√3+1+2
=√3+1．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基
础．
x3−4x2
11．（2021·广西梧州·统考中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+ ．
x2
【答案】−2x
【提示】首先将原式第三项约分，再把前两项括号展开，最后合并同类项即可得到结果．
x3−4x2
【详解】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+
x2
=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+x−4
=x2−4x+4−x2+x+x−4
=−2x．
【点睛】此题主要考查了乘法公式和分式的约分，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
1−x
12.（2023·山东临沂·统考中考真题）（1）解不等式5−2x< ，并在数轴上表示解集．
2
a2
（2）下面是某同学计算 −a−1的解题过程：
a−1
a2
解： −a−1
a−1
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a2 (a−1) 2
= − ①
a−1 a−1
a2−(a−1) 2
= ②
a−1
a2−a2+a−1
= ③
a−1
a−1
= =1 ④
a−1
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
【答案】（1）x>3（2）从第①步开始出错，过程见解析
【提示】（1）根据解不等式的步骤，解不等式即可；
（2）根据分式的运算法则，进行计算即可．
1−x
【详解】解：（1）5−2x< ，
2
去分母，得：10−4x<1−x，
移项，合并，得：−3x<−9，
系数化1，得：x>3；
（2）从第①步开始出错，正确的解题过程如下：
a2 a2 (a+1)(a−1)
−a−1= −
a−1 a−1 a−1
a2 a2−1
= −
a−1 a−1
1
= ．
a−1
【点睛】本题考查解一元一次不等式，分式的加减运算．熟练掌握解不等式的步骤，分式的运算法则，是
解题的关键．
a−b ( 2ab−b2 )
13．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式 ÷ a− 的部分运算过程：
a a
a−b a−b 2ab−b2
解：原式= ÷a− + …………
a a a
第一步
a−b 1 a−b a
= ⋅ − ⋅ …………第二步
a a a 2ab−b2
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a−b a−b
= =
…………第三步
a2 2ab−b2
……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【提示】（1）根据解答过程逐步提示即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
a−b ( 2ab−b2 )
【详解】（1）解： ÷ a−
a a
a−b (a2 2ab−b2 )
= ÷ −
a a a
a−b (a2−2ab+b2 )
= ÷
a a
故第一步错误．
故答案为：一．
a−b ( 2ab−b2 )
（2）解： ÷ a−
a a
a−b (a2 2ab−b2 )
= ÷ −
a a a
a−b a2−2ab+b2
= ÷
a a
a−b (a−b) 2
= ÷
a a
a−b a
= ×
a (a−b) 2
1
= ．
a−b
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
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( 3 ) x2−4
14．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简 x−1− ÷ ，然后从−1，1，2这三个数
x+1 x2+2x+1
中选一个合适的数代入求值．
【答案】x+1，2
【提示】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
[(x−1)(x+1) 3 ] (x+1) 2
【详解】解：原式= − ⋅
x+1 x+1 x2−4
x2−4 (x+1) 2
= ⋅
x+1 x2−4
=x+1，
x≠−1,x≠2，
∵当x=1时
原式=1+1=2．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
(
5+2a) a2+4a+4
15．（2022·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值： a+1− ÷ ，其中
a+1 a+1
(1) −1
a=√9+|−2|− ．
2
a−2 1
【答案】 ， ．
a+2 5
【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值．
(
5+2a) a2+4a+4
【详解】解： a+1− ÷
a+1 a+1
(a+1) 2−5−2a (a+2) 2
= ÷
a+1 a+1
a2−4 a+1
= ⋅
a+1 (a+2) 2
(a+2)(a−2) a+1
= ⋅
a+1 (a+2) 2
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a−2
= ，
a+2
(1) −1
当a=√9+|−2|− =3+2−2=3时，
2
3−2 1
原式= = ．
3+2 5
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算
术平方根、绝对值、负整数指数幂．
( x2−1 1 ) 3
16．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）先化简，再求值： − ÷ ，其中
x2−2x+1 x−1 x−1
x=
(1) −1
+(−3) 0 ．
2
x
【答案】 ，1
3
【提示】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则
和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．
( x2−1 1 ) 3
【详解】解： − ÷
x2−2x+1 x−1 x−1
[(x+1)(x−1) x−1 ] x−1
= − ×
(x−1) 2 (x−1) 2 3
x(x−1) x−1
= ×
(x−1) 2 3
x
= ，
3
∵x=
(1) −1
+(−3) 0=2+1=3，
2
x 3
∴原式= = =1．
3 3
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负
整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．
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( a 1 ) 1
17．（2023·青海西宁·统考中考真题）先化简，再求值： − ÷ ，其中a，b是方程
a2−b2 a+b a2−ab
x2+x−6=0的两个根．
ab
【答案】 ，6
a+b
【提示】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出a+b=−1
ab=−6，代入化简结果，即可求解．
[ a 1 ] 1
【详解】解：原式 = − ÷
(a+b)(a−b) a+b a2−ab
b
= ⋅a(a−b)
(a+b)(a−b)
ab
=
a+b
∵a，b是方程x2+x−6=0的两个根
∴a+b=−1 ab=−6
ab −6
∴原式= = =6.
a+b −1
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二
次方程根与系数的关系是解题的关键．
18．（2021·内蒙古通辽·统考中考真题）先化简，再求值：
2x+1 x+2
( +x−1)÷ ，其中x满足x2−x−2=0．
x+1 x2+2x+1
【答案】x（x+1）；6
【提示】先求出方程x2−x−2=0的解，然后化简分式，最后选择合适的x代入计算即可．
【详解】解：∵x2−x−2=0
∴x=2或x=-1
2x+1 x+2
∴( +x−1)÷
x+1 x2+2x+1
2x+1 x2−1 x+2
=( + )÷
x+1 x+1 (x+1) 2
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2x+x2 x+2
=( )÷
x+1 (x+1) 2
x(x+2) (x+1) 2
= ×
x+1 x+2
=x（x+1）
∵x=-1分式无意义，∴x=2
当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是
解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点．
3 5 7
1．（2022·湖南·统考中考真题）有一组数据：a = ，a = ，a = ，…，
1 1×2×3 2 2×3×4 3 3×4×5
2n+1
a = ．记S =a +a +a +…+a ，则S = ．
n n(n+1)(n+2) n 1 2 3 n 12
201
【答案】
182
【提示】通过探索数字变化的规律进行提示计算．
3 1 1 1 3 1
【详解】解：a = = = ×1+ − × ；
1 1×2×3 2 2 2 2 1+2
5 5 1 1 1 3 1
a = = = × + − × ；
2 2×3×4 24 2 2 2 2 2+2
7 7 1 1 1 3 1
a = = = × + − × ；
3 3×4×5 60 2 3 2 2 3+2
…，
2n+1 1 1 1 3 1
a = = × + − × ，
n n(n+1)(n+2) 2 n n+1 2 n+2
当n=12时，
1( 1 1 1 ) (1 1 1 ) 3 (1 1 1 )
原式= 1+ + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅ − × + +⋅⋅⋅+
2 2 3 12 2 3 13 2 3 4 14
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201
= ，
182
2．（2023·广东广州·统考中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)2(a+2)(a−2)
(2)见解析
【提示】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：A=2a2−8=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)；
（2）解：①当选择A、B时：
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a
= = = ，
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a−4
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a−4
= = = ；
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a
②当选择A、C时：
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−2a
= = = ，
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a+4
A 2a2−8 2(a+2)(a−2) 2a+4
= = = ；
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−2a
③当选择B、C时：
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−4a+4
= = = ，
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a+6
B 3a2+6a 3a(a+2) 3a+6
= = = ．
C a3−4a2+4a a(a−2) 2 a2−4a+4
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化
简的方法．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式： = + ， = + ， = + ，……
2 3 6 3 4 12 4 5 20
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(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
1 1 1
【答案】(1) = +
n n+1 n(n+1)
(2)见解析
【提示】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个
式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘
1 1 1
积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为 = + ．
n n+1 n(n+1)
1 1 1
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为 = + ，用分式的加法计算式子右边即可证明．
n n+1 n(n+1)
1 1 1 1 1
【详解】（1）解：∵第一个式子 = + = + ，
2 3 6 2+1 2(2+1)
1 1 1 1 1
= + = +
第二个式子 ，
3 4 12 3+1 3(3+1)
1 1 1 1 1
= + = +
第三个式子 ，
4 5 20 4+1 4(4+1)
……
1 1 1
∴第（n+1）个式子 = + ；
n n+1 n(n+1)
1 1 n 1 n+1 1
（2）解：∵右边= + = + = = =左边，
n+1 n(n+1) n(n+1) n(n+1) n(n+1) n
1 1 1
∴ = + ．
n n+1 n(n+1)
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，提示、归纳发现其中各分母的
变化规律．
4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x ，x 和系数a，b，c有如下关系：
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴m+n=1,mn=−1．
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则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x ，x ，则x +x =___________，x x =
1 2 1 2 1 2
___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
1 1
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0且s≠t，求 − 的值．
s t
3 1
【答案】(1)− ，−
2 2
13
(2)
4
1 1
(3) − 的值为√17或−√17．
s t
【提示】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
3 1
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=− ，mn=− ，再根据m2+n2=(m+n) 2−2mn，
2 2
最后代入求值即可；
3 1
（3）由题意可将s、t可以看作方程2x2+3x−1=0的两个根，即得出s+t=− ，st=− ，从而由
2 2
√17 √17
(t−s) 2=(t+s) 2−4st，求得t−s= 或t−s=− ，最后分类讨论分别代入求值即可．
2 2
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两个根为x ，x ，
1 2
b 3 c 1
∴x +x =− =− ，x ⋅x = =− ．
1 2 a 2 1 2 a 2
3 1
故答案为：− ，− ；
2 2
（2）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为m、n，
b 3 c 1
∴m+n=− =− ，mn= =− ，
a 2 a 2
∴m2+n2=(m+n) 2−2mn
( 3) 2 ( 1)
= − −2× −
2 2
9
= +1
4
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13
= ；
4
（3）解：∵实数s、t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，
∴s、t可以看作方程2x2+3x−1=0的两个根，
b 3 c 1
∴s+t=− =− ，st= =− ，
a 2 a 2
∵(t−s) 2=(t+s) 2−4st
( 3) 2 ( 1)
= − −4× −
2 2
17
= ，
4
√17 √17
∴t−s= 或t−s=− ，
2 2
√17
当t−s= 时，
2
√17
1 1 t−s 2
− = = =−√17，
s t st 1
−
2
√17
当t−s=− 时，
2
√17
−
1 1 t−s 2
− = = =√17，
s t st 1
−
2
1 1
综上提示可知， − 的值为√17或−√17．
s t
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，
b c
掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：x +x =− 和x ⋅x = 是解题关键．
1 2 a 1 2 a
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