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专题 02 整式和因式分解综合过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•湖州）计算a3•a的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
【答案】C
【解析】解：a3•a＝a3+1＝a4，
故选：C．
2．（2023•恩施州）下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7
【答案】C
【解析】解：由题意，对于A选项，（m﹣1）2＝m2﹣2m+1≠m2﹣1，
∴A选项错误，不符合题意．
对于B选项，（2m）3＝8m3≠6m3，
∴B选项错误，不符合题意．
对于C选项，m7÷m3＝m4，
∴C选项正确，符合题意．
对于D选项，m2与m5不是同类项不能合并，
∴D选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．（2023•衡阳）计算（ x3）2的结果正确的是（ ）
A．x6 B． x6 C． x5 D．x9
【答案】B
【解析】解：原式＝ ＝ ×x3×2＝ x6．
故选：B．
4．（2023•攀枝花）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价10%进行销售．“六•一”儿
童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价 10%销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为
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（ ）
A．160元 B．162元 C．172元 D．180元
【答案】B
【解析】解：200×（1﹣0.1）2＝162（元），
故选：B．
5．（2022•荆州）化简a﹣2a的结果是（ ）
A．﹣a B．a C．3a D．0
【答案】A
【解析】解：a﹣2a＝（1﹣2）a＝﹣a．
故选：A．
6．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【答案】C
【解析】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．
故答案为：C．
7．（2023•河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【解析】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
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8．（2023•巴中）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了
（a+b）n展开式的系数规律．
当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．2或4 D．2或﹣4
【答案】C
【解析】解：根据题意得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴x4﹣12x3+54x2﹣108x+81
＝x4+4x3•（﹣3）+6x2•（﹣3）2+4x•（﹣3）3+（﹣3）4
＝（x﹣3）4，
∴（x﹣3）4＝1，
开四次方得：x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，
解得：x＝2或4．
故选：C．
9．（2023•南充）关于x，y的方程组 的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【解析】解：∵方程组 ，
∴①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，
∴x+y＝ ，
∵x+y＝1，
∴ ＝1，
∴2m﹣n＝3，
∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．
故选：D．
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10．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（ ）
A．13 B．8 C．﹣3 D．5
【答案】A
【解析】解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，
x2﹣4﹣2x＝1，
x2﹣2x＝5，
所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，
故选：A．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）
11．（2023•淮安）若a+2b﹣1＝0，则3a+6b的值是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：∵a+2b﹣1＝0，
∴a+2b＝1，
∴原式＝3（a+2b）
＝3×1
＝3．
故答案为：3．
12．（2023•辽宁）分解因式：2m2﹣18＝ 2 （ m + 3 ）（ m ﹣ 3 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
13．（2023•江西）单项式﹣5ab的系数为 ﹣ 5 ．
【答案】﹣5．
【解析】解：﹣5ab的系数为：﹣5，
故答案为：﹣5．
14．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝
﹣ 101 2 ．
【答案】﹣1012．
【解析】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，
[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
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1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），
（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，
故答案为：﹣1012．
15．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝
4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 2 5 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
【答案】（1）25；
（2） ．
【解析】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；
（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴ （m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝ ，
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∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣ ，
整理得：2mn＝ ，
即mn＝ ，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为： ＝ m， ＝ n，
故阴影部分的面积为： × m× n＝mn＝ ，
故答案为：
16．（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 74 4 ．
【答案】744．
【解析】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
•••••••
第n行有n个数．
∴前n行共有 个数．
∴前27行共有378个数，
∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
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∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2＝744．
故答案为：744．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（8分）（2023•无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣ +|﹣4|；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
【答案】（1）8；
（2）﹣4y2+xy．
【解析】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；
（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．
18．（6分）（2023•凉山州）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（
）2023，y＝22022．
【答案】2xy，1．
【解析】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2
＝2xy，
当x＝（ ）2023，y＝22022时，
原式＝2×（ ）2023×22022
＝2× ×（ ）2022×22022
＝2× ×（ ×2）2022
＝2× ×12022
＝2×
＝1．
19．（8分）（2023•新华区校级模拟）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费 300元，当研学人数
超过50人时，旅行社给出两种优惠方案：
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方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元；
方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的90%）
（1）用代数式表示，当参加研学的总人数是x（x＞50）人时，
用方案一共收费 （ 1500+24 0 x ） 元；
用方案二共收费 （ 27 0 x ﹣ 135 0 ） 元；
（2）当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）方案一的收费为：（1500+240x）元，方案二收费为：300×0.9（x﹣5）＝270（x﹣
5）＝（270x﹣1350）元；
（2）把x＝80代入1500+240x＝1500+240×80＝20700（元），
把x＝80代入270x﹣1350＝270×80﹣1350＝20250（元），
∵20250＜20700，
∴方案二省钱；
故答案为：（1）（1500+240x）；（270x﹣1350）．
20．（8分）（2023•镜湖区校级二模）研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1＝4＝22
2×4+1＝9＝32
3×5+1＝16＝42
4×6+1＝25＝52
…
（1）请你找出规律并计算7×9+1＝ 6 4 ＝（ 8 ）2
（2）用含有n的式子表示上面的规律： n （ n + 2 ） + 1 ＝（ n + 1 ） 2 ．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算： ＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）7×9+1＝64＝82；
（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．
（3）原式＝ ＝ ．
故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2； ．
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21．（8分）（2023•张家口四模）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路
程（记向东为正）记录如下（9＜x＜26，单位：km）
第一次 第二次 第三次 第四次
x x﹣5 2（9﹣x）
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）解：第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西．
（2）解：x+（﹣ x）+（x﹣5）+2（9﹣x）＝13﹣ x，
∵9＜x＜26，
∴13﹣ x＞0，
∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东（13﹣ x）km．
（3）解：|x|+|﹣ x|+|x﹣5|+|2（9﹣x）|＝ x﹣23，
答：这辆出租车一共行驶了（ x﹣23）km的路程．
22.（10分）（2023•微山县一模）阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对
数，记作：x＝log N．比如指数式24＝16可以转化为4＝log 16，对数式2＝log 25可以转化为52＝25．
a 2 5
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞
a a a
0）；理由如下：设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得
a a
m+n＝log （M•N）．又∵m+n＝log M+log N，∴log （M•N）＝log M+log N．
a a a a a a
解决问题：（1）将指数43＝64转化为对数式 3 ＝ lo g 64 ；
4
（2）证明 ；
拓展运用：（3）计算：log 2+log 6﹣log 4．
3 3 3
【答案】（1）3＝log 64；（2）见解析；（3）1．
4
【解析】解：（1）根据题意，得3＝log 64，
4
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故答案为：3＝log 64．
4
（2）设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，
a a
∴ ，由对数的定义得 ．
又∵m﹣n＝log M﹣log N，
a a
∴ ．
（3）log 2+log 6﹣log 4
3 3 3
＝log （2×6）﹣log 4
3 3
＝log 12﹣log 4
3 3
＝log33
＝1．
23．（10分）（2023•舟山模拟）如图，将一个边长为a的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个
长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种方法表示该图形阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）：
①方法一： （ a ﹣ b ） 2 ；方法二： a 2 ﹣ 2 a b + b 2 ；
（2）若图中a、b满足a2+b2＝31，ab＝3，求阴影部分正方形的边长；
（3）若（2021﹣y）（2023﹣y）＝1010，求（2021﹣y）2+（2023﹣y）2的值．
【答案】（1）（a﹣b）2；a2﹣2ab+b2；
（2）阴影部分正方形的边长是5；
（3）（2021﹣y）2+（2023﹣y）2＝2024．
【解析】解：（1）①该图形阴影部分的面积为（a﹣b）2；②该图形阴影部分的面积为a2﹣2ab+b2
故答案为：（a﹣b）2；a2﹣2ab+b2
（2）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝31﹣6
＝25，
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∴a﹣b＝5（负值舍去）
答：阴影部分正方形的边长是5；
（3）设2021﹣y＝m，2023﹣y＝n，
则mn＝1010，m﹣n＝﹣2，
∴m2+n2＝（m﹣n）2+2mn，
＝（﹣2）2+2×1010
＝4+2020
＝2024．
∴（2﹣21﹣y）2+（2023﹣y）2＝2024．
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