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专题 02 整式与因式分解
课标要求 考点 考向
考向一 单项式与多项式
1.会把具体数代入代数式进行计算。
考向二 同类项
2了解整数指数幂的意义和基本性质。
整式
3. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则。
考向三 整式的加减
4. 能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运
考向四 整式的乘除
算。
5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²，(a±b)²=a²±2ab+b²，了解公
考向五 整式的混合运算
式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
因式
6.能用提公因式法、公式法进行因式分解。 考向一 提公因式法因式分解
分解
考向二 公式法因式分解
考点一 整式
►考向一 单项式与多项式
1．（2024·吉林长春·中考真题）单项式 的次数是 ．
【答案】
【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系
数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】单项式 的次数是： ，
故答案为： ．
2．（2024·江西·中考真题）观察a， ， ， ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为
．
【答案】
【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可．
【详解】解：∵a， ， ， ，…，
∴第n个单项式的系数是1；
∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，
∴第n个式子是 ．∴第100个式子是 ．
故答案为： ．
3．（2024·重庆·中考真题）已知整式 ，其中 为自然数， 为正
整数，且 ．下列说法：
①满足条件的整式 中有5个单项式；
②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；
③满足条件的整式 共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得 ，再分类讨论得到答
案即可．
【详解】解：∵ 为自然数， 为正整数，且 ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ， ，
满足条件的整式有 ，
当 时，则 ，
∴ ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ，
当 时，则 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ， ， ；
当 时，则 ，
∴ ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ；
当 时， ，
满足条件的整式有： ；
∴满足条件的单项式有： ， ， ， ， ，故①符合题意；
不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式 共有 个．故③符合题意；
故选D►考向二 同类项
易错易混提醒
1. 判断同类项
标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。
注意事项：同类项与系数的大小无关，与它们所含的字母顺序无关，所有常数项都是同类项。
2. 合并同类项
要点：字母和字母的指数不变，只把系数相加减。
考查角度1 同类项的定义
4．（2024·河南·中考真题）请写出 的一个同类项： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．
【详解】解： 的一个同类项为 ，
故答案为：
考查角度2 合并同类项
5．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项
判断即可得出答案．
【详解】解：A、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故原选项计算正确，符合题意；
D、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌
握运算法则是解此题的关键．
►考向三 整式的加减
6．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上 ，结果是 ，则这个多项式为
．
【答案】
【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上 ，结果是 ”，进行
列出式子： ，再去括号合并同类项即可．【详解】解：依题意这个多项式为
．
故答案为：
7．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数 ，若满足 ，则称这
个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵ ，∴1278是“友谊数”．若 是一个“友谊数”，
且 ，则这个数为 ；若 是一个“友谊数”，设 ，且
是整数，则满足条件的 的最大值是 ．
【答案】 3456
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到 ，再由 可求出a、b、c、d
的值，进而可得答案；先求出 ，进而得到 ，根据
是整数，得到 是整数，即 是整数，则 是13的倍数，
求出 ，再按照a从大到小的范围讨论求解即可．
【详解】解：∵ 是一个“友谊数”，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个数为 ；
∵ 是一个“友谊数”，
∴，
∴ ，
∴
，
∵ 是整数，
∴ 是整数，即 是整数，
∴ 是13的倍数，
∵ 都是不为0的正整数，且 ，
∴ ，
∴当 时， ，此时不满足 是13的倍数，不符合题意；
当 时， ，此时不满足 是13的倍数，不符合题意；
当 时， ，此时可以满足 是13的倍数，即此时 ，则此时 ，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为 ；
故答案为：3456； ．
►考向四 整式的乘除
解题技巧/易错易混
1. 单项式与单项式相乘法则：将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂相乘，单独在一个单项式里的字母
连同它的指数作为积的一个因式。
2. 单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4. 单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。5. 多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
考查角度1 幂的运算
8．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的
关键．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足 ，则a与b的关系正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得： ，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
10．（2024·天津·中考真题）计算 的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
考查角度2 单项式乘单项式
11．（2024·湖北·中考真题） 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断．
【详解】解： ，
故选：D．
考查角度3 单项式乘多项式
12．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算： （ ）
A．a B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】解：
故选：D．
考查角度4 多项式乘多项式
13．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公
式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为： ．
考查角度5 平方差公式
14．（2024·上海·中考真题）计算 ．
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
考查角度5 完全平方公式15．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知 ，则 的值是 ．
【答案】3
【分析】根据 ，通过平方变形可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
►考向五 整式的混合运算
16．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
考点二 因式分解
►考向一 提公因式法因式分解
17．（2024·浙江·中考真题）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式 是解题的关键．
【详解】解： ．
故答案为： ．
18．（2024·江苏徐州·中考真题）若 ， ，则代数式 的值是 ．
【答案】2【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵ ， ，
，
故答案为：2．
►考向二 公式法因式分解
19．（2024·西藏·中考真题）分解因式： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
20．（2024·四川凉山·中考真题）已知 ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先把 的左边分解因式，再把 代入即可求出
的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
21．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，6
【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再
合并同类项，最后代入即可求解．
【详解】解：
；
当 ， 时，
原式 ．
22．（2024·福建·中考真题）已知实数 满足 ．
(1)求证： 为非负数；
(2)若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由．【答案】(1)证明见解析；
(2) 不可能都为整数，理由见解析．
【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意
识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出 ，进而计算 ，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已
知条件分析即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ．
则
．
因为 是实数，所以 ，
所以 为非负数．
（2） 不可能都为整数．
理由如下：若 都为整数，其可能情况有：① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当 都为奇数时，则 必为偶数．
又 ，所以 ．
因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾．
②当 为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 必为偶数．
又因为 ，所以 ．
因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾．
综上所述， 不可能都为整数．
23．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为 （ 均为
自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（ 为正整数）：
奇数 的倍数表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（ ） （ ） （ ） ；
（ ） ______；
(2)兴趣小组还猜测：像 这些形如 （ 为正整数）的正整数 不能表示为 （ 均
为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设 ，其中 均为自然数．
分下列三种情形分析：
若 均为偶数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为偶数．
若 均为奇数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 ______为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为奇数．
若 一个是奇数一个是偶数，则 为奇数．
而 是偶数，矛盾．故 不可能一个是奇数一个是偶数．
由 可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形 的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（ ） ， ；（ ） ；
(2)
【分析】（ ）（ ）根据规律即可求解；（ ）根据规律即可求解；（ ）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（ ）由规律可得， ，
故答案为： ， ；
（ ）由规律可得， ，
故答案为： ；
（2）解：假设 ，其中 均为自然数．
分下列三种情形分析：
若 均为偶数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为偶数．
若 均为奇数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为奇数．
若 一个是奇数一个是偶数，则 为奇数．
而 是偶数，矛盾．故 不可能一个是奇数一个是偶数．
由 可知，猜测正确．
故答案为： ．
一、选择题
1．（2024·广西·模拟预测）若 ，则括号中应填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“ ”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；
若括号前是“ ”，添括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可．
【详解】解： ，
故选：C．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）给出下列判断： 在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都互为相反数；多项式 是三次三项式； 任何正数都大于它的倒数； 变为
利用了等式的基本性质．其中正确的说法有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题主要考查相反数的概念、数轴的基本概念、等式的基本性质、单项式与多项式的基本概念以
及倒数的概念。
根据相反数，可判断 ，根据多项式的项、次数，可判断 ，根据有理数的大小比较，可判断 ，根据
等式的性质，可判断④．
【详解】解； 只有符号不同的两个数互为相反数，故 错误；
多项式 是四次三项式，故 错误；
小于 的正数小于它的倒数，故 错误；
变为 利用了等式的基本性质，故 正确；
故选：B．
3．（2024·河南·一模）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合 的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可．
【详解】A. 是分式，故A选项不符合题意；
B. 是多项式，故B选项符合题意；
C. 是无理式，故C选项不符合题意；
D 是单项式，故D选项不符合题意；
故选：B．
4．（2024·云南·模拟预测）观察下列按一定规律排列的n个数：x， ， ， ，……，按照上述规律，
第9个单项式是（ ）A． B． C．17 D．
【答案】B
【分析】本题考查单项式中的规律问题，观察已有单项式，得到第 个单项式为： ，进而求出第
9个单项式即可．
【详解】解：观察已有单项式可知：第 个单项式为： ，
∴第9个单项式是： ；
故选B．
5．（2024·云南·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
B．“水涨船高”是随机事件
C．单项式 的次数是2
D．一元二次方程 有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的判断定理，随机事件与必然事件，单项式的次数，根的判别式，运用相关知
识定理一一判断即可．
【详解】解：A、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，正确，符合题意；
B、“水涨船高”是随机事件，错误，“水涨船高”是必然事件，选项不符合题意；
C、单项式 的次数是2，错误，单项式 的次数是3，选项不符合题意；
D、一元二次方程 有两个不相等的实数根， ，错误，选项不符合题意；
故选：A．
6．（2024·河北唐山·三模）与 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案．
【详解】解： ，
故选：C．
7．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与 运算结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方，根据同底数幂相乘、幂的乘方、
合并同类项、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： ，
A、 ，故A符合题意；
B、 和 不是同类项，故不能直接相加，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：A．
8．（2024·浙江·模拟预测）小江去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题（如图），你选择
的办法是（ ）
A．先打折，再用券 B．先用券，再打折
C．都一样 D．无法确定，取决于商品价格高低
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用．设商品标价为 元，分别得到先打折，再用券以及先用
券，再打折需要支付的费用，再比较即可求解．
【详解】解：设商品标价为 元，
先打折，再用券需要支付 元，
先用券，再打折需要支付 元，
，
即先打折，再用券比先用券，再打折更省钱，
故选：A．
9．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数 、 都有 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
故选：B．
10．（2024·重庆·模拟预测）有n个依次排列的算式：第1项是 ，第2项是 ，用第2项减去第
1项，所得之差记为 ，将 加2记为 ，将第2项与 相加作为第3项，将 加2记为 ，将第3项与
相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论① ；②若第6
项与第5项之差为4057，则 ；③当 时， ；其中正确的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次
求出第1项，第2项，第3项，…，及 ， ， ，…，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，第1项为： ，
第2项为： ，
∴ ，
∴ ，
∴第3项为： ， ，
第4项为： ，
…，
以此类推，
第n项为： ， （n为正整数）．
当 时， ．故①正确．
第6项与第5项之差可表示为： ，
∴ ，
解得 ．故②正确．
当 时，．故③正确．
故选：D．
11．（2024·湖南·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，合并同类项
的法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，原选项计算正确，符合题意；
D、 不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
12．（2024·重庆·一模）在多项式 （其中 ）中，对每个字母及其左边的符号（不
包括括号外的符号）称为一个数，即： 为“数1”， 为“数2”， 为“数3”， 为“数4”，若将任意两个
数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式 的
“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到 ，将其化简
后结果为 ， ．下列说法：
①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”
后的运算结果；
②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等；
③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供
的运算，将所有存在的结果计算，即可解题．
【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算， ，故①
正确；
对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算， ，
对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算， 或
对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算， 或 对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算， ，
综上共4种结果，故③错误；
其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误．
故选：B．
二、填空题
13．（2024·甘肃·三模）如果 与 是同类项，那么 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据
此解答即可．
【详解】解：根据题意得： ，
，
故答案为：2．
14．（2024·福建厦门·二模）已知 ，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关
键．先根据 得出 ，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
．
15．（2024·湖北·一模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给
出了 展开式的系数规律．
当代数式 的值为8时，则 的值为 ．【答案】5
【分析】此题考查了多项式中乘法规律问题．观察题中的图表，表示出 ，根据已知代数式的值为
8，确定出 的值即可．
【详解】解：根据题意得： ，
，
，
开立方得： ，
解得： ．
故答案为：5．
16．（2024·湖南·模拟预测）某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同
学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现
有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为 本．
【答案】9
【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙
有图书 本，而甲、丙剩余图书之和为 ，再根据题意列式求解即可．
【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书，
由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为 本，
故答案为：9．
三、解答题
17．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（ ）．用7张图1中的小矩形纸片，
按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的 ．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是
解答的关键．
（1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论；
（2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得 ，进而可得阴影面积的值．
【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为 ，宽为 ，
∵大矩形的长是宽的 ，
∴ ，
化简，得 ；
（2）解：∵大矩形的面积为 ，大矩形的面积为18， ，
∴ ，
解得 ，
∴阴影部分的面积为 ．
18．（2024·吉林·三模）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ；
【分析】本题考查了整式的混合运算 化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先去括号，再合并同类项，然后把 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
19．（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成 （m、n均为正整数，且 ），则称
p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若 最大，则称m、n为p
的最佳平方差变形，此时 ．例如： ，因为 ，
所以7和5是24的最佳平方差变形，所以 ．
(1) = ；
(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y ，q为“平方差数”且 能被7整除，
求 的最小值．【答案】(1)130
(2)34
【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前
提．
（1） ，根据 的定义即可得到答案；
（2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据 的定义即可得到答案．
【详解】（1） ．
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）∵ 能被7整除， ，
∴ 或 ，
∴ 或 或 或 ，
当x=1， 时， ， ；
当x=2， 时， ， ；
当 ， 时， ，此时q不是平方差数，不符合题意；
当 ， 时， ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 的最小值为34．
20．（2024·广东·模拟预测）（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【答案】（1） ， ；（2） ，见解析，整数解是0，1，2
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等
式组的整数解：
（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算
即可．（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【详解】（1）解：原式
当 时，原式 ；
（2）解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
∴不等式组的解集是 ．
解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的整数解是0，1，2．
