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专题 02 整式与因式分解
课标要求 考点 考向
考向一 单项式与多项式
1.会把具体数代入代数式进行计算。
考向二 同类项
2了解整数指数幂的意义和基本性质。
整式
3. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则。
考向三 整式的加减
4. 能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运
考向四 整式的乘除
算。
5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²，(a±b)²=a²±2ab+b²，了解公
考向五 整式的混合运算
式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。
因式
6.能用提公因式法、公式法进行因式分解。 考向一 提公因式法因式分解
分解
考向二 公式法因式分解
考点一 整式
►考向一 单项式与多项式
1．（2024·吉林长春·中考真题）单项式 的次数是 ．
2．（2024·江西·中考真题）观察a， ， ， ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为
．
3．（2024·重庆·中考真题）已知整式 ，其中 为自然数， 为正
整数，且 ．下列说法：
①满足条件的整式 中有5个单项式；
②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；
③满足条件的整式 共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
►考向二 同类项
易错易混提醒
1. 判断同类项
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标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。
注意事项：同类项与系数的大小无关，与它们所含的字母顺序无关，所有常数项都是同类项。
2. 合并同类项
要点：字母和字母的指数不变，只把系数相加减。
考查角度1 同类项的定义
4．（2024·河南·中考真题）请写出 的一个同类项： ．
考查角度2 合并同类项
5．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
►考向三 整式的加减
6．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上 ，结果是 ，则这个多项式为
．
7．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数 ，若满足 ，则称这
个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵ ，∴1278是“友谊数”．若 是一个“友谊数”，
且 ，则这个数为 ；若 是一个“友谊数”，设 ，且
是整数，则满足条件的 的最大值是 ．
►考向四 整式的乘除
解题技巧/易错易混
1. 单项式与单项式相乘法则：将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂相乘，单独在一个单项式里的字母
连同它的指数作为积的一个因式。
2. 单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4. 单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
5. 多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
考查角度1 幂的运算
8．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足 ，则a与b的关系正
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确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·天津·中考真题）计算 的结果为 ．
考查角度2 单项式乘单项式
11．（2024·湖北·中考真题） 的值是（ ）
A． B． C． D．
考查角度3 单项式乘多项式
12．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算： （ ）
A．a B． C． D．
考查角度4 多项式乘多项式
13．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ．
考查角度5 平方差公式
14．（2024·上海·中考真题）计算 ．
考查角度5 完全平方公式
15．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知 ，则 的值是 ．
►考向五 整式的混合运算
16．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
考点二 因式分解
►考向一 提公因式法因式分解
17．（2024·浙江·中考真题）因式分解：
18．（2024·江苏徐州·中考真题）若 ， ，则代数式 的值是 ．
►考向二 公式法因式分解
19．（2024·西藏·中考真题）分解因式： ．
20．（2024·四川凉山·中考真题）已知 ，且 ，则 ．
21．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ， ．
22．（2024·福建·中考真题）已知实数 满足 ．
(1)求证： 为非负数；
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(2)若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由．
23．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为 （ 均为
自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（ 为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（ ） （ ） （ ） ；
（ ） ______；
(2)兴趣小组还猜测：像 这些形如 （ 为正整数）的正整数 不能表示为 （ 均
为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设 ，其中 均为自然数．
分下列三种情形分析：
若 均为偶数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为偶数．
若 均为奇数，设 ， ，其中 均为自然数，
则 ______为 的倍数．
而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为奇数．
若 一个是奇数一个是偶数，则 为奇数．
而 是偶数，矛盾．故 不可能一个是奇数一个是偶数．
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由 可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形 的横线上填写所缺内容．
一、选择题
1．（2024·广西·模拟预测）若 ，则括号中应填入（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）给出下列判断： 在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都互为相反数；
多项式 是三次三项式； 任何正数都大于它的倒数； 变为
利用了等式的基本性质．其中正确的说法有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（2024·河南·一模）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合 的
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南·模拟预测）观察下列按一定规律排列的n个数：x， ， ， ，……，按照上述规律，
第9个单项式是（ ）
A． B． C．17 D．
5．（2024·云南·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
B．“水涨船高”是随机事件
C．单项式 的次数是2
D．一元二次方程 有两个不相等的实数根
6．（2024·河北唐山·三模）与 相等的是（ ）
A． B．
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C． D．
7．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与 运算结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·模拟预测）小江去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题（如图），你选择
的办法是（ ）
A．先打折，再用券 B．先用券，再打折
C．都一样 D．无法确定，取决于商品价格高低
9．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数 、 都有 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2024·重庆·模拟预测）有n个依次排列的算式：第1项是 ，第2项是 ，用第2项减去第
1项，所得之差记为 ，将 加2记为 ，将第2项与 相加作为第3项，将 加2记为 ，将第3项与
相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论① ；②若第6
项与第5项之差为4057，则 ；③当 时， ；其中正确的个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2024·湖南·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·重庆·一模）在多项式 （其中 ）中，对每个字母及其左边的符号（不
包括括号外的符号）称为一个数，即： 为“数1”， 为“数2”， 为“数3”， 为“数4”，若将任意两个
数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式 的
“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到 ，将其化简
后结果为 ， ．下列说法：
①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”
后的运算结果；
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②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等；
③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．（2024·甘肃·三模）如果 与 是同类项，那么 ．
14．（2024·福建厦门·二模）已知 ，则 的值为 ．
15．（2024·湖北·一模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给
出了 展开式的系数规律．
当代数式 的值为8时，则 的值为 ．
16．（2024·湖南·模拟预测）某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同
学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现
有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为 本．
三、解答题
17．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（ ）．用7张图1中的小矩形纸片，
按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的 ．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
18．（2024·吉林·三模）先化简，再求值： ，其中
19．（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成 （m、n均为正整数，且 ），则称
p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若 最大，则称m、n为p
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的最佳平方差变形，此时 ．例如： ，因为 ，
所以7和5是24的最佳平方差变形，所以 ．
(1) = ；
(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y ，q为“平方差数”且 能被7整除，
求 的最小值．
20．（2024·广东·模拟预测）（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
8
