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专题 12 二次函数
课标要求 考点 考向
1. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函 考向一 二次函数的图象和性质
数的性质；用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 考向二 二次函数的图象与系数
y＝a(x－h)²＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶 的关系
二次函
点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能
考向三 二次函数的最值
数
解决简单实际问题；
考向四 待定系数法求二次函数
2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．结合
的解析式
具体情况体会二次函数的意义，能根据已知条件确定二次
函数的表达式；会利用待定系数法确定二次函数的表达 考向五 二次函数图象的平移
式．
考向一 二次函数与一元二次方
3. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用配
程
二次函
方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y＝a(x－h)²＋k
数的应 考向二 二次函数与不等式
的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图
用
象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题．
考向三 实际问题与二次函数
4.能运用二次函数的知识解决综合型问题.
考点一 二次函数
►考向一 二次函数的图象和性质
解题技巧/易错易混
1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不
等于零．
2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．
3.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与
抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
4.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与
抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
1．（2024·广东·中考真题）若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
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2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于点 ，
，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m， 均成立
④若点 ， 在抛物线上，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·四川·中考真题）二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；②
；③当 时， ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2024·福建·中考真题）已知二次函数 的图象经过 ， 两点，则
下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数 ，使得 B．无论实数 取什么值，都有
C．可以找到一个实数 ，使得 D．无论实数 取什么值，都有
5．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛
物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 ．当 的值最小时，点C的坐标为
．
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6．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使得
，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为
．
7．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶
点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
（ⅰ）若 ，且 ， ，求h的值；
（ⅱ）若 ，求h的最大值．
►考向二 二次函数的图象与系数的关系
解题技巧/易错易混
二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号 图象的特征
a>0 开口向上
a
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y轴
b ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0 经过原点
c c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
8．（2024·湖北·中考真题）抛物线 的顶点为 ，抛物线与 轴的交点位于 轴上方．
以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
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9．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当 时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
10．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线 过点 与x轴交点的横坐标分别
为 ， ，且 ， ，则下列结论：
① ；
②方程 有两个不相等的实数根；
③ ；
④ ；
⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
►考向三 二次函数的最值
11．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象
经过点 ，对称轴为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式
分解为 ；④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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12．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算： ，例如 ，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；
当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·四川·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．
同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据 ， ，…， ，如果a
与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测
量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位： ），则这株青稞穗长的最佳近似值为 ．
15．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 的最值
问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜
想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
►考向四 待定系数法求二次函数的解析式
16．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，
顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
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A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
17．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点 ， ，
点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
18．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
19．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点B，
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与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点， ，求点M的横坐标；
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，
的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与 内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，
且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
20．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图
（1）所示，输入x的值为 时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，
输出y的值为6．
(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程 （t为实数），在 时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为 ．小明对P，Q
之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接
写出m的取值范围．
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►考向五 二次函数图象的平移
21．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为
（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线 （a、b、c是常数， ）的顶点为 ．
小烨同学得出以下结论：① ；②当 时， 随 的增大而减小；③若 的一个根为
3，则 ；④抛物线 是由抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得
到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
24．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
(1)若 ，则 _________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；
(2)已知点 在抛物线上，其中 ．若 且 ，比较 与 的大小关系，并
说明理由；
(3)若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于A，B两点，直线与y轴交于
点C，点E为 中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接 ， ．求证： ．
25．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 后得到的新抛物线经过
和 ．
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(1)求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线 （ ）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果 小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为 ，如果四边形 有一组对边平行，求点P的坐标．
26．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图
像上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次
函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值范围．
考点二 二次函数的应用
►考向一 二次函数与一元二次方程
解题技巧/易错易混
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
27．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（ ）
二次函数 的图象经过 两点，m，n是关于x的元二次方程
① 的两个实数根，且 ，则 恒成立．
在半径为r的 中，弦 互相垂直于点P，当 时，则 ．
② 为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
③
点C是反比例函数 的图象上一点，则 ．
已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长
④值与面积值相等，则矩形的对角线长是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对
称轴是直线 ，图象与 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① ；②方程 一定有
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一个根在 和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，正确结
论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B
两点， ，与y轴交点C的纵坐标在 ～ 之间，根据图象判断以下结论：① ；②
；③若 且 ，则 ；④直线 与抛物线
的一个交点 ，则 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
30．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线 （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范围是
．
►考向二 二次函数与不等式
31．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ，
，其中 ．结合图象给出下列结论：
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① ；② ；
③当x>1时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
►考向三 实际问题与二次函数
32．（2024·山东济南·中考真题）如图1， 是等边三角形，点 在边 上， ，动点 以每秒
1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点 后停止，连接 ．设点 的运动时
间为 ， 为 ．当动点 沿 匀速运动到点 时， 与 的函数图象如图2所示．有以下四个结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
33．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时间
（单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
小球从抛出到落地需要 ；
①小球运动中的高度可以是 ；
②小球运动 时的高度小于运动 时的高度．
③其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
34．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心
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球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则
．
35．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2
是棚顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足函数关系
的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作
长 ，高 的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
36．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实
验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，
与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位： )．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
37．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 ，从点O处抛出一个小球，落
到点 处．小球在空中所经过的路线是抛物线 的一部分．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
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38．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额
居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5
万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该
果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
39．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片 放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点
，点 在第一象限，且 ．
(1)填空：如图①，点 的坐标为______，点 的坐标为______；
(2)若 为 轴的正半轴上一动点，过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点 落
在 轴的正半轴上，点 的对应点为 ．设 ．
①如图②，若直线 与边 相交于点 ，当折叠后四边形 与 重叠部分为五边形时，
与 相交于点 ．试用含有 的式子表示线段 的长，并直接写出 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
40．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价
… 12 14 16 18 20 …
x/元
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日
销售获得的最大利润为392元，求m的值．
41．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ，其
中 是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖
直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时
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间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
42．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，
销售额 （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为 ；成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象
是如图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点．
(1)求出成本 关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额 成本）
43．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线
型，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所在直线
为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ，
，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索 所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．
44．（2024·山西·中考真题）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一
个蔬菜大棚，图 是其横截面的示意图，其中 ， 为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距
离为 米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面 米的墙体 处，另
一端固定在墙体 处，骨架最高点 到墙体 的水平距离为 米，且点 离地面的高度为 米．
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数学建模
（1）在图 中，以 为原点，水平直线 为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶
部骨架上某处离地面的高度为 （米），该处离墙体 的水平距离为 （米），求 与 之间的函数关系
式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是
由线段 ， 组成，其中点 ， 在顶棚抛物线形骨架上， 于点 ．为不影响耕作，将点E
到地面的距离定为 米．
点 的坐标为______， 的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到 米．参考数据：
）
45．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)① ______， ______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
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(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 ．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
一、单选题
1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点
C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上
2．（2024·广东·模拟预测）关于二次函数 ，以下说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．有最小值 D．与y轴交点为
3．（2024·河南·三模）如图所示，在边长为1的正方形 中，点P是 边上不与端点重合的一动点，
连接 、过点P作 交正方形外角的平分线 于点Q，则有关 面积的说法正确的为
（ ）．
A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为
4．（2024·上海·模拟预测）新定义： 与 被称为“同族二次函数”，
若 和 是同族二次函数，则二次函数 的开口方向
和最值为（ ）
A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018
C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019
5．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 ，对称轴为直
线x=2．则下列结论正确的有（ ）
① ；② ；③方程 的两个根为 ；④抛物线上有两点P(x ,y )
1 1
和Q(x ,y )，若 且 ，则
2 2
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2024·湖北·模拟预测）已知关于 的二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小．
且当 时， 有最大值2．则 的值为（ ）
A． B．1 C．−1 D．
7．（2024·浙江·模拟预测）如图是抛物线 的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点(0,3)，
与x轴的一个交点为A，连接 ， ．以下结论：①抛物线经过点(−2,3)；② ；③ ；④
当 时， ．其中正确的是（ ）（填序号）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
8．（2024·天津·模拟预测）利用长为 的墙和 长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边
长不小于 ，有下列结论：
（1）垂直于墙的一边长可以为15；
（2）矩形苗圃园的最小面积是 ，最大面积是 ；
（3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为 ．
其中正确的个数有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2024·山西·模拟预测）已知 ，若关于 的方程 的解为 ，关于 的
方程 的解为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·辽宁·模拟预测）如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（ ）
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A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半
轴
12．（2024·山西·模拟预测）实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意
图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻 不变，
绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的
一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W．
13．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 的图象如图所示．有下列结论．①
；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中，正确结论的是
．
14．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，
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，交 轴于点 ，作平行四边形 ，边 交抛物线于点 ，连接 ，若 的面积是 ，则
的值为 ．
15．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 （ ）的图象过 ，
四个点， 则 大小关系为 ．
16．（2024·湖北·模拟预测）抛物线 ，对称轴为 ．下列说法：①一元二次方程
有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式 恒成立；③抛物
线 经过点 ；④若 ，且 ，则 ．正确的有
（填序号）．
17．（2024·上海·模拟预测）若 是关于 的方程 的两实数根，A(a,0)，
则 之间距离的最小值为 ．
18．（2024·辽宁·模拟预测）如图， ， ， 绕点B顺时针旋转 得到 ． ，
垂足为E，点M在线段 上， 垂足为N，O为 中点，当 取得最大值时， 面积的最
大值为 ．
三、解答题
19．（2024·北京·模拟预测）已知 均为正整数， 交 轴于 ， 两点，其中
至原点的距离均小于1．
(1)比较： 0； 0
(2)求 的最小值，并给出一组符合要求的
20．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数 的图象与 轴交于A，B两点（点A
在点B左侧），与 轴交于点C，且 ．
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(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 ，若当 时函
数的最大值为7，求 的值．
21．（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节 的课堂中，学生的注意力随教师讲
课的时间变化而变化．经过实验分析，在 时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与
时间 满足关系 ； 以后，学生的注意力指数y与时间 的图象呈抛物线形，到
第 时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
(1)当 时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ；
(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节 的课中学生处于“理想听课状态”所
持续的时间有多长（精确到 ）？
(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解 ，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这
内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到 ；参考数据 )？
22．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数 ．
(1)若a为整数，二次函数图象过点 （其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若 ， 为抛物线上两个不同的点．
①当 时， ，求a的值．
②若对于 ，都有 ，求a的取值范围．
23．（2024·河北·模拟预测）某同学将广场上不断变换的灯光秀抽象为线段 和抛物线
，并将其一部分描画在如图所示的平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 ，
抛物线经过点A ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标，并判断点B是否在该抛物线上；
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(2)若线段 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t秒．
当线段 平移到点B落在抛物线上时，求t的值；
若抛物线同时以每秒3个单位长度的速度向下平移，抛物线在y轴及其右侧的部分与 所在的直线总
有两个公共点，直接写出t的取值范围．
24．（2024·山东·模拟预测）某服装店购进一批衬衣，成本价每件 元，若售价为 元，则每月能售出
件．经调查发现，售价每增长一元，则销量将减少 件．
(1)求出月销售利润 （元）与售价 （元/件）之间的函数关系式．
(2)试问：当每件衬衣售价为多少元时，服装店所获月利润最大，并求最大利润为多少？
25．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图1，抛物线 的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点 ，与y轴交于
点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接 ，点P为直线 下方抛物线上的点，过点P作 轴交 于点M，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛
物线 ，在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，
请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
26．（2024·山西·模拟预测）项目式学习
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．
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如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要
如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组
开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷
水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二 推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边
缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，
竖直高度 米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若 米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
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