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2026年中考数学一轮复习 因式分解
一．选择题（共8小题）
1．下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（ ）
A．3a+3b＝3（a+b） B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1
C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
2．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）
A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）
C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．x3﹣x＝（x2﹣1）
3．对于任何整数n（n≠0），多项式（5n+7）2﹣9都能（ ）
A．被9整除 B．被n整除 C．被n+1整除 D．被n+2整除
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理
是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各
个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密
码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
5．下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（ ）
A．x2﹣9 B．x2+16 C．x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1
6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab
C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
7．已知关于x的二次三项式x2+x+a能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是x﹣
2，则另一个一次多项式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+3
8．对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
二．填空题（共11小题）
9．已知a，b，c，d均为正整数，且a5＝b4，c3＝d2，a﹣c＝65，则b﹣d＝ ．
10．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）
（1）如图①所示的几何体的体积是 ．
（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体
的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式
．
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bcdef 1 acdef 1 abdef 1 abcef
11．已知 a、b、c、d、e、f 都为正数， = ， = ， = ， =2，
a 2 b 4 c 8 d
abcdf abcde
=4， =8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2＝ ．
e f
12．观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，
∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，
∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，
∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
∴13+23+33+43+53＝（ ）2＝ ．
根据以上规律填空：
（1）13+23+33+…+n3＝（ ）2＝[ ]2．
（2）猜想：113+123+133+143+153＝ ．
13．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称
正整数m为“言行合一数”，交换“言行合一数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记
m+n m−n
P(m)= − +15，那么最小的四位“言行合一数”为 ；若四位正整数k
11 111
＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x、y均为整数）与P（k）均为“言行合一
数”，那么所有满足条件的四位“言行合一数”k的和为 ．
1999×1999−1999 2000×2000−2000 2001×2001−2001
14．已知：a=− ，b=− ，c=− ，
1998×1998+1998 1999×1999+1999 2000×2000+2000
则abc＝ ．
1 1 1
15．已知 a= +2018，b= +2019，c= +2020，则代数式 2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣
2019 2019 2019
ac）的值是 ．
16．设正数a，b，c满足24a+b＝abc，则a+b+c的最小值为 ．
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17．已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则三角形的形状是 ．
18．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称
正整数m为“群凤和鸣数”，交换“群凤和鸣数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记P
m+n m−n
（m）= − +15那么最小的四位“群凤和鸣数”为 ；若四位正整数k＝
11 111
1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x、y均为整数）与P（k）均为“群凤和鸣
数”，那么所有满足条件的四位“群凤和鸣数”k的和为 ．
a5+b5+c5
19．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则 = ．
abc
三．解答题（共11小题）
20．教材中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一
字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完
全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解
决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有
关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；
（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，判断△ABC
的形状并说明理由．
21．已知多项式A＝2t+5，B＝2t﹣5，t为任意有理数．
（1）问A•B+30的值能否等于4，说明理由；
（2）当t是整数时，判断A2﹣B2的值能否被8整除．
22．先阅读下列材料，再解决问题．
材料：因为，（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6．
所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3．
即x2+x﹣6能被x﹣2整除．
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所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式，且当x＝2时，x2+x﹣6＝0．
（1）【类比思考】因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被 整除，
所以 是x2+5x+6的一个因式，且当x＝ 时，x2+5x+6＝0；
（2）【拓展探究】根据以上材料，若多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，试求m的值．
23．给出三个单项式：a2，b2，2ab．
（1）任选两个单项式相减，并进行因式分解；
（2）利用因式分解进行计算：a2+b2﹣2ab，其中a＝2026，b＝2024．
24．【阅读材料】某校“数学社团”成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，
但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如a2﹣ab+5a﹣5b和x2+2xy+y2﹣9．社团成员经
过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解．方法如下 a2﹣ab+5a﹣5b＝a（a﹣b）+5
（a﹣b）＝（a+5）（a﹣b）；x2+2xy+y2﹣9＝（x+y）2﹣32＝（x+y+3）（x+y﹣3）．请在这种方
法的启发下，解决下列问题：
【问题解决】
（1）因式分解：x3﹣2x2+2x﹣4；
（2）因式分解：x2﹣6xy+9y2﹣1；
【方法延伸】
（3）因式分解：4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1．
25．七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）；
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用
提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式
的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能
再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将mn2﹣2mn+2n﹣4因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将a2﹣2ab+b2﹣16因式分解；
【应用】（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，请通过计算说明△ABC是什么
三角形？
26．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如
图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 ；
（2）猜测（a+b+c+d）2＝ ；
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（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说
明理由．
27．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：a2﹣
2ab+b2﹣c2＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．请仔细阅读上述解
法后，解决下列问题：
（1）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn；
（2）已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值．
28．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．
验证：如，112﹣92＝（ + ）×（11﹣9）＝ ×8，
所以112﹣92是8的倍数；
探究：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确；
延伸：两个连续偶数的平方差是 的倍数（填最大整数值）．
29．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目
让学生解答：
因式分解：（1）x2﹣xy+5x﹣5y；（2）36﹣x2﹣16﹣8x．
下面是晶晶和小舒的解法：
晶晶：x2﹣xy+5x﹣5y 小舒：36﹣x2﹣16﹣8x
＝（x2﹣xy）+（5x﹣5y）（分成两组） ＝62﹣（x2+8x+42）（分成两组）
＝x（x﹣y）+5（x﹣y）（直接提公因式） ＝62﹣（x+4）2（直接运用公式）
＝（x+5）（x﹣y） ＝（6+x+4）（6﹣x﹣4）＝（10+x）（2﹣x）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2﹣25+4b2﹣4ab；
（2）若b﹣a＝4，b﹣2c＝﹣3，求b2﹣2bc+2ac﹣ab的值．
30．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．由图 1，利用两种
不同的方法计算同一图形的面积时，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
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（1）由图2可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）已知正数a、b、c和m、n、l满足a+m＝b+n＝c+l＝k，试利用图形面积来说明al+bm+cn＜
k2．
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2026年中考数学一轮复习 因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（ ）
A．3a+3b＝3（a+b） B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1
C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）
【答案】B
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做
分解因式，据此进行判断即可．
【解答】解：3a+3b＝3（a+b）符合因式分解的定义，则A不符合题意，
a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1中等号右边不是积的形式，则B符合题意，
a2+4a+4＝（a+2）2符合因式分解的定义，则C不符合题意，
a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）符合因式分解的定义，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）
A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）
C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．x3﹣x＝（x2﹣1）
【答案】D
【分析】分别利用公式法、提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，正确，不合题意；
B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），正确，不合题意；
C、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），正确，不合题意；
D、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了公式法、提取公因式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．
3．对于任何整数n（n≠0），多项式（5n+7）2﹣9都能（ ）
A．被9整除 B．被n整除 C．被n+1整除 D．被n+2整除
【答案】D
【分析】将多项式（5n+7）2﹣9进行因式分解，利用平方差公式展开并整理，分析其因式结构，
结合选项逐一验证即可．
【解答】解：（5n+7）2﹣9
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＝（5n+7﹣3）（5n+7+3）
＝（5n+4）（5n+10）
＝5（n+2）（5n+4），
∴多项式（5n+7）2﹣9都能n+2整除，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，解题关键是利用平方差公式展开并整理．
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理
是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各
个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密
码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
【答案】B
【分析】先提公因式x，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
【解答】解：∵x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y），
∵x＝52，y＝28，则各个因式的值为x＝52，x+y＝80，x﹣y＝24，
∴产生的密码不可能是522824，
故选：B．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
5．下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（ ）
A．x2﹣9 B．x2+16 C．x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1
【答案】A
【分析】根据平方差公式的表现形式进行判断即可．
【解答】解：x2﹣9能运用平方差公式因式分解，则A符合题意，
x2+16不能运用平方差公式因式分解，则B不符合题意，
x2+2x+1不能运用平方差公式因式分解，则C不符合题意，
4x2﹣4x+1不能运用平方差公式因式分解，则D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式的表现形式是解题的关键．
6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab
C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
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【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做
分解因式，据此进行判断即可．
【解答】解：x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意，
a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab是乘法运算，则B不符合题意，
x（x+2y）＝x2+2xy是乘法运算，则C不符合题意，
x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）符合因式分解的定义，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
7．已知关于x的二次三项式x2+x+a能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是x﹣
2，则另一个一次多项式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+3
【答案】D
【分析】设另一个一次多项式是（x+m），然后计算（x+m）（x﹣2）后得到关于m的方程，解
方程即可．
【解答】解：设另一个一次多项式是（x+m），
则（x+m）（x﹣2）
＝x2﹣2x+mx﹣2m，
＝x2+（m﹣2）x﹣2m，
＝x2+x+a，
则m﹣2＝1，
解得：m＝3，
则另一个一次多项式是x+3，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解及整式乘法的互逆性是解题的关键．
8．对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【答案】B
【分析】先利用平方差公式因式分解可得（2n+1）2﹣25＝4（n﹣2）（n+3），因此对任意整数
n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，据此即可得出答案．
【解答】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）
＝4（n﹣2）（n+3），
∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，
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∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除，
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
9．已知a，b，c，d均为正整数，且a5＝b4，c3＝d2，a﹣c＝65，则b﹣d＝ 17 9 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设a＝m4，b＝m5，c＝x2，d＝x3（m，x为正整数），根据已知a﹣c＝65，运用因式分解
的方法得到关于m，x的方程组，从而求解．
【解答】解：∵a5＝b4，c3＝d2，
∴可设a＝m4，b＝m5，c＝x2，d＝x3（m，x为正整数），
∵a﹣c＝65，
∴m4﹣x2＝65，
即（m2+x）（m2﹣x）＝65，
{m2+x=65 {m2+x=13
∴ 或 ，
m2−x=1 m2−x=5
{m2=33 {m2=9
解得 或 ，
x=32 x=4
{m=√33 {m=3
则 （m不为正整数故此结果舍去）或 ，
x=32 x=4
∴b﹣d＝m5﹣x3＝243﹣64＝179．
【点评】此题要注意借助巧妙的设法，运用因式分解的知识达到降次的目的求解．
10．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）
（1）如图①所示的几何体的体积是 a 3 ﹣ b 3 ．
（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体
的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式 （ a ﹣
b ）（ a 2 + ab + b 2 ）＝ a 3 ﹣ b 3 ．
【答案】见试题解答内容
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【分析】（1）根据正方体体积公式即可求解；
（2）根据正方体和三块长方体的体积公式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得a3﹣b3．
故答案为a3﹣b3．
（2）根据题意，得
a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）
＝a3﹣a2b+a2b﹣ab2+b2a﹣b3
＝a3﹣b3
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故答案为（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
【点评】本题考查了立方体和长方体的体积、因式分解的应用，解决本题的关键是表示三块长方
体的体积的和．
bcdef 1 acdef 1 abdef 1 abcef
11．已知 a、b、c、d、e、f 都为正数， = ， = ， = ， =2，
a 2 b 4 c 8 d
abcdf abcde 119
=4， =8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2＝ ．
e f 8
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．
【解答】解：将每个等式的左右两边相乘，得
(abcdef ) 5
=1，
abcdef
∴abcdef＝1，
bcdef⋅a 1 1
= =
，
a⋅a a2 2
∴a2＝2．
1 1 1
同理可得：b2＝4，c2＝8，d2= ，e2= ，f2= ，
2 4 8
119
∴a2+b2+c2+d2+e2+f2= ．
8
119
故答案为 ．
8
【点评】本题考查了等式的基本性质和分式的基本性质，解题关键是整体思想的运用．
12．观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，
∴13+23＝（1+2）2；
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13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，
∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，
∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
∴13+23+33+43+53＝（ 1+2+3+4+ 5 ）2＝ 1 5 2 ．
根据以上规律填空：
1
（1）13+23+33+…+n3＝（ 1+2+3+ … + n ）2＝[ n （ n +1 ） ]2．
2
（2）猜想：113+123+133+143+153＝ 1137 5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】平方的底数为立方和底数的和；
（1）平方的底数为从1到n的和；
（2）所求代数式应等于从1到15的立方和减去从1到10的立方和．
【解答】解：1+2+3+4+5，152
1
（1）1+2+3+…+n， n（n+1）；
2
（2）原式＝（13+23+…+153）﹣（13+23+33+…+103）
1 1
[ ×15×（15+1）]2﹣[ ×10×（10+1）]2
2 2
＝1202﹣552＝（120+55）（120﹣55）＝11 375．
【点评】此题是一道找规律题，作答过程中注意运用已得到的结论使计算简便．
13．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称
正整数m为“言行合一数”，交换“言行合一数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记
m+n m−n
P(m)= − +15，那么最小的四位“言行合一数”为 2001 ；若四位正整数k＝
11 111
1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x、y均为整数）与P（k）均为“言行合一
数”，那么所有满足条件的四位“言行合一数”k的和为 1221 2 ．
【答案】2001，12212．
【分析】根据“言行合一数”的定义和最小数的性质即可确定最小的四位“言行合一数”；然后
根据“言行合一数”和交换“言行合一数”求得k、k′，进而求得P（k），然后再根据“言行
合一数”的定义即可解答．
【解答】解：由题意可得，在“言行合一数”中，百位数字和十位数字相等且不为 1，则最小的
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四位“言行合一数”的千位上只能是2、十位和百位数为0，个为位为1，即2001；
∵四位正整数k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x，y均为整数） 与P（k）
均为“言行合一数”，
∴交换k的首位数字和个位数字得到一个新数k′，则k′＝1×1000+100y+10y+x，
∴k+k′＝1001x+220y+1001，k﹣k′＝999x﹣999，
1001x+220 y+1001 999x−999
∴P（k）= − +15＝82x+20y+115，
11 111
∵k与P（k）均为“言行合一数”且20y的个位数数字为0，
115的末尾数字为5，
则82x的末尾数字必为6，
即x＝3或x＝8，
当x＝3时，P（k）＝82x+20y+115＝361+20y，
∵P（k）均为“言行合一数”，即百位和十位上数字相同，
∴y＝4，
∴k＝1000x+100y+10y+1＝3441；
当x＝8时，P（k）＝82x+20y+115＝771+20y，
∵k与P（k）均为“言行合一数”，即百位和十位上数字相同，
∴y＝0，
∴k＝1000x+100y+10y+1＝8771；
∴所有满足条件的k的和为3441+8771＝12212．
故答案为：2001，12212．
【点评】本题主要考查了“言行合一数”的定义、数字的运用、整式的运算等知识点，理解“言
行合一数”的定义是解答本题的关键．
1999×1999−1999 2000×2000−2000 2001×2001−2001
14．已知：a=− ，b=− ，c=− ，
1998×1998+1998 1999×1999+1999 2000×2000+2000
则abc＝ ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将a、b、c的分子分母先分别用提供因式法分解因式，再约分即可将a、b、c化简，再
代入abc求值即可．
1999×(1999−1) 1999×1998
【解答】解：∵a=− =− =−1；
1998×(1998+1) 1998×1999
2000×(2000−1) 2000×1999
b=− =− =−1；
1999×(1999+1) 1999×2000
2001×(2001−1) 2001×2000
c=− =− =−1；
2000×(2000+1) 2000×2001
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∴abc＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查的是因式分解的应用，要熟悉提公因式法等因式分解的基本方法，解答此题的
关键是找到公因式．
1 1 1
15．已知 a= +2018，b= +2019，c= +2020，则代数式 2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣
2019 2019 2019
ac）的值是 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方公式分解因式后整体代入即可求解．
【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝1+4+1
＝6
故答案为6．
【点评】本题考查了分解因式的应用，解题关键是整体思想的运用．
16．设正数a，b，c满足24a+b＝abc，则a+b+c的最小值为 4√6+ 2 ．
【答案】4√6+2．
【分析】根据一直等式分别表示出a，b，c，求bc，ac的取值范围，然后将c值代入a+b+c，因
为a，b，c均为正数，采用配方法求解最小值即可，最后验证是否满足题意．
【解答】解：∵24a+b＝abc，
b 24a 24 1
∴a= ＞0，b= ＞0，c= + ，
bc−24 ac−1 b a
∴bc＞24，ac＞1，
24 1 1 2√6
∴a+b+c＝a+b+ + =（√a− ）2+2+（√b− ）2+4√6≥2+4√6，
b a √a √b
1 2√6
当√a= 且√b= 时，等号成立，
√a √b
∴a＝1，b＝2√6，
此时，c＝2√6+1，
∴bc＝24+2√6＞24，ac＝2√6+1＞1，符合题意，
∴a+b+c的最小值为4√6+2．
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故答案为：4√6+2．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，合理构造完全平方式是本题解题的关键．
17．已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则三角形的形状是 等边三角形 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a﹣b）2+（a﹣c）
2+（b﹣c）2＝0，再利用非负数的性质求解即可．
【解答】解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点评】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．
关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题
18．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称
正整数m为“群凤和鸣数”，交换“群凤和鸣数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记P
m+n m−n
（m）= − +15那么最小的四位“群凤和鸣数”为 2001 ；若四位正整数 k＝
11 111
1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x、y均为整数）与P（k）均为“群凤和鸣
数”，那么所有满足条件的四位“群凤和鸣数”k的和为 1221 2 ．
【答案】2001，11442．
【分析】群凤和鸣数根据“群凤和鸣数”的定义和最小数的性质即可确定最小的四位“群凤和鸣
数”；然后根据“群凤和鸣数”和交换“群凤和鸣数”求得k、k′，进而求得P（k），然后再
根据“群凤和鸣数”的定义即可解答．
【解答】解：由题意可得，在“群凤和鸣数”中，百位数字和十位数字相等且不为 1，则最小的
四位“群凤和鸣数”的千位上只能是2、十位和百位数为0，个为位为1，即2001；
∵四位正整数k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x，y均为整数） 与P（k）
均为“群凤和鸣数”，
∴交换k的首位数字和个位数字得到一个新数k′，则k′＝1×1000+100y+10y+x，
∴k+k′＝1001x+220y+1001，k﹣k′＝999x﹣999，
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1001x+220 y+1001 999x−999
∴P（k）= − +15＝82x+20y+115，
11 111
∵k与P（k）均为“群凤和鸣数”且20y的个位数字为0，
115的末尾数字为5，
则82x的末尾数字必为6，
即x＝3或x＝8，
当x＝3时，P（k）＝82x+20y+115＝361+20y，
∵P（k）均为“群凤和鸣数”，即百位和十位上数字相同，
∴y＝4，
∴k＝1000x+100y+10y+1＝3441；
当x＝8时，P（k）＝82x+20y+115＝771+20y，
∵k与P（k）均为“群凤和鸣数”，即百位和十位上数字相同，
∴y＝0，
∴k＝1000x+100y+10y+1＝8001；
∴所有满足条件的k的和为3441+8001＝11442．
故答案为：2001，11442．
【点评】本题主要考查因式分解的应用、整式的运算等知识点，理解“群凤和鸣数”的定义是解
答本题的关键．
a5+b5+c5 5
19．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则 = ．
abc 2
5
【答案】
2
【分析】利用完全平方公式得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，结合已知条件得出ab+bc+ca
1
=− ，再由 a3+b3+c3＝（a+b+c）（a2+b2+c2+ab+bc+ca）+3abc 及 a5+b5+c5＝（a2+b2+c2）
2
（a3+b3+c3）﹣[a2（b3+c3）+b2（a3+b3）+c2（a3+b3）]，即可求得答案．
【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，
∴0＝1+2（ab+bc+ca），
1
∴ab+bc+ca=− ，
2
∵a3+b3+c3
＝（a+b+c）（a2+b2+c2+ab+bc+ca）+3abc
＝3abc，
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∴a5+b5+c5
＝（a2+b2+c2）（a3+b3+c3）﹣[a2（b3+c3）+b2（a3+b3）+c2（a3+b3）]，
＝3abc﹣[a2b2（a+b）+a2c2（a+c）+b2c2（b+c）]
＝3abc+（a2b2c+a2c2b+b2c2a）
＝3abc+abc（ab+bc+ca）
1
＝3abc− abc
2
5
= abc，
2
5
abc
∴a5+b5+c5 2 5．
= =
abc abc 2
5
故答案为： ．
2
【点评】本题考查立方和公式，关键到了高中也不一定会做．
三．解答题（共11小题）
20．教材中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一
字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完
全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解
决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有
关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；
（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，判断△ABC
的形状并说明理由．
【答案】（1）（m+1）（m﹣5）；
（2）3；
（3）△ABC是等腰三角形，理由见解析．
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【分析】（1）先配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先配出完全平方，然后再根据完全平方的非负性即可求得最小值；
（3）将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据“几个非负数和为 0，则这几个
非负数分别为0”求解出a、b、c的值，据此即可解答．
【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5，
＝m2﹣4m+4﹣4﹣5，
＝（m﹣2）2﹣9，
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3），
＝（m+1）（m﹣5）．
故答案为：（m+1）（m﹣5）．
（2）∵x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3；
∴x2﹣6x+12的最小值是3．
（3）∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣10b+25+c2﹣6c+9＝0，
（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
得，a＝3，b＝5，c＝3．
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了配方法、用公式法进行因式分解、非负性的应用，熟练的掌握完全平方
公式和平方差公式是解题的关键．
21．已知多项式A＝2t+5，B＝2t﹣5，t为任意有理数．
（1）问A•B+30的值能否等于4，说明理由；
（2）当t是整数时，判断A2﹣B2的值能否被8整除．
【答案】（1）不可能等于4，理由见解析；
（2）能被8整除．
【分析】（1）因为A＝2t+5，B＝2t﹣5，所以A•B+30＝4t2+5，据此求出A•B+30＝4t2+5的值不
可能等于4；
（2）因为A＝2t+5，B＝2t﹣5，所以A2﹣B2＝40t，当t是整数时，40t能被8整除，据此证明．
【解答】解：（1）A•B+30的值不可能等于4；理由如下：
A•B+30＝（2t+5）（2t﹣5）+30＝4t2+5，
因为t为任意有理数，
所以t2≥0，所以4t2+5≥5，
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即A•B+30≥5，
所以A•B+30的值不可能等于4；
（2）A2﹣B2＝（2t+5）2﹣（2t﹣5）2＝40t，
当t是整数时，40t能被8整除，
即A2﹣B2一定能被8整除．
【点评】本题考查了乘法公式，解决本题的关键是将A、B代入要求的式子中计算．
22．先阅读下列材料，再解决问题．
材料：因为，（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6．
所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3．
即x2+x﹣6能被x﹣2整除．
所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式，且当x＝2时，x2+x﹣6＝0．
（1）【类比思考】因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被 （ x + 2 ）或（ x + 3 ） 整
除，所以 （ x + 2 ）或（ x + 3 ） 是x2+5x+6的一个因式，且当x＝ ﹣ 2 或﹣ 3 时，x2+5x+6＝
0；
（2）【拓展探究】根据以上材料，若多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，试求m的值．
【答案】（1）（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3．
（2）﹣5．
【分析】（1）根据示例（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被两个因式中的任何一个因
式整除，这两个因式都是x2+5x+6的因式，且x+2＝0或x+3＝0时，x2+5x+6＝0；
（2）因为多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，所以当x＝﹣2时，x2+mx﹣14＝0，将x＝﹣2代入式
子计算求出m即可．
【解答】解：（1）因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，
所以x2+5x+6能被（x+2）或（x+3）整除，
所以（x+2）或（x+3）是x2+5x+6的一个因式，
且当x＝﹣2或﹣3时，x2+5x+6＝0．
故答案为：（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3．
（2）因为x2+mx﹣14能被x+2整除，
所以当x＝﹣2时，x2+mx﹣14＝0，
所以（﹣2）2+m×（﹣2）﹣14＝0，
解得m＝﹣5．
【点评】本题考查了因式分解的应用、整式的除法、因式分解的意义，解决本题的关键是运用题
中示例的方法解决问题．
23．给出三个单项式：a2，b2，2ab．
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（1）任选两个单项式相减，并进行因式分解；
（2）利用因式分解进行计算：a2+b2﹣2ab，其中a＝2026，b＝2024．
【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（答案不唯一）；
（2）4．
【分析】（1）任选两个单项式相减，然后运用提公因式法或平方差公式分解因式即可；
（2）运用完全平方公式分解因式，然后代入数据计算即可．
【解答】解：（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，
当a＝2026，b＝2024时，
原式＝（2026﹣2024）2＝4．
【点评】本题考查了因式分解的应用、单项式，解决本题的关键是运用提公因式法和公式法分解
因式．
24．【阅读材料】某校“数学社团”成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，
但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如a2﹣ab+5a﹣5b和x2+2xy+y2﹣9．社团成员经
过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解．方法如下 a2﹣ab+5a﹣5b＝a（a﹣b）+5
（a﹣b）＝（a+5）（a﹣b）；x2+2xy+y2﹣9＝（x+y）2﹣32＝（x+y+3）（x+y﹣3）．请在这种方
法的启发下，解决下列问题：
【问题解决】
（1）因式分解：x3﹣2x2+2x﹣4；
（2）因式分解：x2﹣6xy+9y2﹣1；
【方法延伸】
（3）因式分解：4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1．
【答案】（1）x3﹣2x2+2x﹣4＝（x2+2）（x﹣2）；
（2）x2﹣6xy+9y2﹣1＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；
（3）4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1＝（2a﹣3b﹣1）2．
【分析】（1）根据分组分解法求解即可；
（2）根据分组分解法求解即可；
（3）根据分组分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝x2（x﹣2）+2（x﹣2）
＝（x2+2）（x﹣2）；
（2）原式＝（x2﹣6xy+9y2）﹣1
＝（x﹣3y）2﹣1；
＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；
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（3）原式＝（4a2﹣12ab+9b2）﹣（4a﹣6b）+1
＝（2a﹣3b）2﹣2（2a﹣3b）+1
＝（2a﹣3b﹣1）2．
【点评】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键．
25．七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）；
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用
提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式
的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能
再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将mn2﹣2mn+2n﹣4因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将a2﹣2ab+b2﹣16因式分解；
【应用】（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，请通过计算说明△ABC是什么
三角形？
【答案】（1）（n﹣2）（mn+2）；
（2）（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）；
（3）等腰三角形．
【分析】（1）运用分组分解法将式子进行因式分解；
（2）运用分组分解法将式子进行因式分解；
（3）运用分组分解法将式子进行因式分解，再根据三角形三边关系，可得a＝b，据此可得三角
形为等腰三角形．
【解答】解（1）mn2﹣2mn+2n﹣4
＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）
＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）
＝（n﹣2）（mn+2）；
（2）a2﹣2ab+b2﹣16
＝（a2﹣2ab+b2）﹣16
＝（a﹣b）2﹣16
＝（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）；
（3）a2﹣b2﹣ac+bc
＝（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）
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＝（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）
＝（a﹣b） （a+b﹣c）＝0，
∵△ABC的三边a，b，c，
∴a+b＞c，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴三角形为等腰三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用题中示例的分组分解法分解因式．
26．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如
图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ；
（2）猜测（a+b+c+d）2＝ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 a b + 2 a c + 2 a d + 2 b c + 2 b d + 2 c d ；
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说
明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各个矩形的面积之和求解即
可；
（2）根据（1）中等式，猜想得出；
（3）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的关系式，然后进行计算；
（4）根据（2）得到等式，再对等式进行转化，进而进行因式分解，最后根据非负数的性质得到
三边的关系．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd，
故答案为：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；
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（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴122＝2×48+（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48；
（4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48，
∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴该三角形是等边三角形．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方式的应用和因式分解，尤其是（3）中对等式
进行因式分解需要对其进行转化，这是盲点和易错点，应加以注意．
27．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：a2﹣
2ab+b2﹣c2＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．请仔细阅读上述解
法后，解决下列问题：
（1）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn；
（2）已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值．
【答案】（1）（1+m﹣n）（1﹣m+n）；
（2）9．
【分析】（1）将式子分成两组，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可；
（2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）1﹣m2﹣n2+2mn
＝1﹣（m2+n2﹣2mn）
＝1﹣（m﹣n）2
＝（1+m﹣n）（1﹣m+n）；
（2）m2﹣n2+2m﹣2n
＝（m2﹣n2）+（2m﹣2n）
＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+n+2），
因为m+n＝7，m﹣n＝1，
所以原式＝1×（7+2）＝9．
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【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式．
28．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．
验证：如，112﹣92＝（ 1 1 + 9 ）×（11﹣9）＝ 5 ×8，
所以112﹣92是8的倍数；
探究：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确；
延伸：两个连续偶数的平方差是 4 的倍数（填最大整数值）．
【答案】11，9，5，4．
【分析】利用平方差公式，将 112﹣92展开计算即可；利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣
1）2展开计算即可；设两个连续偶数为 2n，2n+2（其中n为正整数），利用平方差公式计算
（2n+2）2﹣（2n）2，发现两个连续偶数的平方差是4的倍数．
【解答】解：112﹣92
＝（11+9）×（11﹣9）
＝20×2
＝40
＝5×8；
设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝（2n+1+2n﹣1）×（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
因为8n是8的倍数，
所以任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．
设两个连续偶数为2n，2n+2（其中n为正整数），
（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）×（2n+2﹣2n）＝（4n+2）×2＝8n+4
＝4（2n+1），
因为4（2n+1）是4的倍数，
所以两个连续偶数的平方差是4的倍数．
故答案为：11，9，5，4．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用平方差公式进行因式分解．
29．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目
让学生解答：
因式分解：（1）x2﹣xy+5x﹣5y；（2）36﹣x2﹣16﹣8x．
下面是晶晶和小舒的解法：
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晶晶：x2﹣xy+5x﹣5y 小舒：36﹣x2﹣16﹣8x
＝（x2﹣xy）+（5x﹣5y）（分成两组） ＝62﹣（x2+8x+42）（分成两组）
＝x（x﹣y）+5（x﹣y）（直接提公因式） ＝62﹣（x+4）2（直接运用公式）
＝（x+5）（x﹣y） ＝（6+x+4）（6﹣x﹣4）＝（10+x）（2﹣x）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2﹣25+4b2﹣4ab；
（2）若b﹣a＝4，b﹣2c＝﹣3，求b2﹣2bc+2ac﹣ab的值．
【答案】（1）（a﹣2b+5）（a﹣2b﹣5）；
（2）﹣12．
【分析】（1）运用平方差、完全平方公式分解因式，可得a2﹣25+4b2﹣4ab＝（a﹣2b+5）（a﹣
2b﹣5）；
（2）将式子分成两组，提公因式分解因式，b2﹣2bc+2ac﹣ab＝（b﹣a）（b﹣2c），因为b﹣a
＝4，b﹣2c＝﹣3，代入求出结果即可．
【解答】解：（1）a2﹣25+4b2﹣4ab
＝a2+4b2﹣4ab﹣25
＝（a﹣2b）2﹣52
＝（a﹣2b+5）（a﹣2b﹣5）；
（2）b2﹣2bc+2ac﹣ab
＝（b2﹣ab）﹣（2bc﹣2ac）
＝b（b﹣a）﹣2c（b﹣a）
＝（b﹣a）（b﹣2c），
因为b﹣a＝4，b﹣2c＝﹣3，
所以原式＝4×（﹣3）＝﹣12．
【点评】本题考查了因式分解的应用、因式分解的意义，解决本题的关键是熟练运用完全平方公
式和平方差公式分解因式．
30．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．由图 1，利用两种
不同的方法计算同一图形的面积时，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）已知正数a、b、c和m、n、l满足a+m＝b+n＝c+l＝k，试利用图形面积来说明al+bm+cn＜
k2．
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【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）45；
（3）见解析．
【分析】（1）根据图2，利用直接与间接法分别表示出正方形的面积，即可确定所求等式；
（2）根据（1）所求等式，求出所求式子的值即可；
（3）利用面积分割法，可构造一个正方形，使其边长等于 a+m＝b+n＝c+l＝k（注意
a≠b≠c≠m≠n≠l），并且正方形内有3个面积分别为al，bm，cn的矩形，通过观察画出的图形
即可得到结论．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由（1）得，
（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），
∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴112＝a2+b2+c2+2×38，
∴a2+b2+c2＝45；
（3）如图，根据图形可知，
正方形内部的3个矩形面积之和小于正方形的面积，
故al+bm+cn＜k2．
【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒
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等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系．
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