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中考数学一轮复习 图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．（2024•绵阳）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如
图，蝴蝶图案关于 轴对称，点 的对应点为 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
2．（2024春•双塔区校级期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的
是
A． B．
C． D．
3．（2024•涡阳县三模）在矩形 中， ， ， 是 边上的点，将 沿着
对折，当点 落在矩形对角线上时，则
A． B． 或 C． D． 或
4．（2024•中山市校级三模）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 依次是 的
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A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
5．（2024•宁阳县二模）如图，已知正方形 的边长为2，点 是正方形内一点，连接 ，
，且 ，点 是 边上一动点，连接 ， ，则 长度的最小值为
A． B． C． D．
6．（2024•合江县一模）若点 和点 关于 轴对称，则点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024•牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片 ， ， ，他进行了如
下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把 沿 折叠得到△ ， 交折痕 于点 ，
则线段 的长为
A． B． C． D．
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8．（2024•滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和
“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
9．（2024•莱芜区校级模拟）如图，边长为2的正方形 的对角线相交于点 ，将正方形沿直
线 折叠，点 落在对角线上的点 处，折痕 交 于点 ，则 的长为
A． B． C． D．
10．（2024•市南区校级三模）如图，在矩形 中， 是 的中点，将 折叠后得到
，点 在矩形内部．延长 交 于点 ，若 ， ，则折痕 的长为
A． B． C．3 D．
二．填空题（共10小题）
11．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ 是等边三角形， 是 边上的高， 是 的中点，
是 上的一个动点，当 与 的和最小时， 的度数是 ．
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12．（2024•滦南县校级模拟）如图，在 中，点 是 边上一点，将 沿 翻折得到
， 与 交于点 ，设 ， ．
（1）当 ， ， 时， 的长是 ；
（2）当 ， 时， 与 的面积之比是 ．
13．（2024•南充模拟）如图，将矩形 对折，使 与 边重合，得到折痕 ，再将点
沿过点 的直线折叠到 上，对应点为 ，折痕为 ， ， ，则 的长度为
．
14．（2024•滨州）如图，四边形 四个顶点的坐标分别是 ， ， ，
，在该平面内找一点 ，使它到四个顶点的距离之和 最小，则 点坐标
为 ．
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15．（2024•浦东新区三模）如图，在正方形 的边 上取一点 ，联结 ，将 沿
翻折，点 恰好与对角线 上的点 重合，联结 ，若 ，则 的面积是
16．（2024•海南）如图，矩形纸片 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，
将纸片 沿 折叠，使点 的对应点 在边 上，点 的对应点为 ，则 的最小值为
， 的最大值为 ．
17．（2024•启东市二模）已知四边形 是矩形， ， ， 为 边上一动点且不
与 、 重合，连接 ，如图，过点 作 交 于点 ．将 沿 翻折，点 恰
好落在边 上，那么 的长 ．
18．（2024•南阳一模）如图，矩形 中， ， ，点 为边 上一个动点，将
沿 折叠得到 ，点 的对应点为 ，当射线 恰好经过 的中点 时， 的长
为 ．
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19．（2024•柳东新区校级模拟）如图，将矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点
落在 边上的点 处，折痕为 ，连结 ，再将△ 沿直线 折叠，使点 落在 上的
点 处，若 ，则△ （阴影部分）的面积为 ．
20．（2024•渝中区校级模拟）如图，矩形纸片 中， 为 的中点，连接 ，将 沿
折叠得到 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•建平县模拟）【课例改编】
数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图， 是△ 的高， ，若
， ，求 的长．
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小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将△ 沿 折叠，如图1，则点 刚好落在
边上的点 处．
（1）结合小明同学的想法，请直接写出： ．
【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2， ， 为△ 的外角 的平分线，交 的延长线于点 ，则线
段 、 、 有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在四边形 中， 平分 ， ， ， ，求 的长．
22．（2024•东莞市三模）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴
对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．
如图，在等腰 中， ．
（1）尺规作图：作 关于直线 对称的 （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接 ，交 于点 ，若 ，四边形 周长为 ，求四边形 的面积．
23．（2024•武汉模拟）由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个
顶点均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）先画点 关于 的对称点 ，再将线段 绕点 逆时针旋转 ，得线段 ；
（ 2 ） 连 ， 在 线 段 上 画 点 ， 使 ， 再 连 ， 在 上 画 点 ， 使
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．
24．（2024•兰州模拟）如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 上．将矩形 分别
沿 ， 翻折后点 ， 均落在点 处，此时 ， ， 三点共线，若 ．
（1）求证：矩形 为正方形；
（2）若 ，求 的长．
25．（2024•凤凰县模拟）人教版初中数学八年级下册第 64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角
的方法：
①对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ．
请你根据提供的材料完成下面的问题．
（1）填空： ；
（2）求 的度数．
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中考数学一轮复习 图形的对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•绵阳）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如
图，蝴蝶图案关于 轴对称，点 的对应点为 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】坐标确定位置；关于 轴、 轴对称的点的坐标；轴对称图形
【专题】平移、旋转与对称；应用意识
【分析】由题意得，点 与点 关于 轴对称，根据关于 轴对称的点的横坐标互为相反
数，纵坐标相等，即可得答案．
【解答】解：由题意得，点 与点 关于 轴对称，
点 的坐标为 ．
故选： ．
【点评】本题考查关于 轴、 轴对称的点的坐标、坐标确定位置、轴对称图形，熟练掌握关于
轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
2．（2024春•双塔区校级期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的
是
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A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形
【专题】平移、旋转与对称；几何直观
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项 、 、 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴
对称图形，
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
3．（2024•涡阳县三模）在矩形 中， ， ， 是 边上的点，将 沿着
对折，当点 落在矩形对角线上时，则
A． B． 或 C． D． 或
【答案】
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力；展开与折叠；运算能力
【分析】分两种情况，当点 的对应点 ，落在矩形 的对角线 上时，当点 的对应点 ，
落在矩形 的对角线 上时，分别画出图形，求出结果即可．
【解答】解： 四边形 为矩形，
， ， ，
，
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当点 的对应点 ，落在矩形 的对角线 上时，如图所示：
根据折叠可知： ， ，
，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可知：
，
即 ，
解得： ；
当点 的对应点 ，落在矩形 的对角线 上时，如图所示：
根据折叠可知： ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
解得： ；
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综上所述， 的长为 或 ．
故选： ．
【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠前后两图
形全等，即对应线段相等；对应角相等．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
4．（2024•中山市校级三模）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 依次是 的
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
【答案】
【考点】三角形的角平分线、中线和高；轴对称的性质
【专题】应用意识；三角形
【分析】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
由图①的折叠方式可知，
，
所以 是 的角平分线．
由图②的折叠方式可知，
，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 是 的高线．
由图③的折叠方式可知，
，
所以 是 的中线．
故选： ．
【点评】本题考查轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形角平分线、中线和
高线的定义即可解决问题．
5．（2024•宁阳县二模）如图，已知正方形 的边长为2，点 是正方形内一点，连接 ，
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，且 ，点 是 边上一动点，连接 ， ，则 长度的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正方形的性质；轴对称 最短路线问题
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力
【分析】根据正方形的性质得到 ，推出 ，得到点 在以 为直径的半圆
上移动，如图，设 的中点为 ，正方形 关于 直线 对称的正方形 ，则点 的
对应点是 ，连接 交 于 ，交半圆 于 ，线段 的长 即为 的长度最小值，根
据勾股定理即可得到结论．
【解答】解： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
点 在以 为直径的半圆上移动，
如图，设 的中点为 ，正方形 关于直线 对称的正方形 ，
则点 的对应点是 ，
连接 交 于 ，交半圆 于 ，线段 的长即为 的长度最小值， ，
， ，
，
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，
，
的长度最小值为 ，
故选： ．
【点评】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的 性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小
值问题，正 确理解点的运动轨迹是解题的关键．
6．（2024•合江县一模）若点 和点 关于 轴对称，则点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【考点】关于 轴、 轴对称的点的坐标
【专题】平移、旋转与对称；符号意识
【分析】根据关于 轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出 ， 的值，根据象
限内点的特点，进行判断即可．
【解答】解：由题意，得： ， ，
， ，
点 在第四象限；
故选： ．
【点评】本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于 轴对称的点的横坐标不变，纵
坐标互为相反数是解题的关键．
7．（2024•牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片 ， ， ，他进行了如
下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把 沿 折叠得到△ ， 交折痕 于点 ，
则线段 的长为
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A． B． C． D．
【答案】
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出 ，进而得出 ，设
，则 ，根据勾股定理可得： ，列出方程求解即可．
【解答】解： 四边形 是矩形，
，
由折叠可得： ， ， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
即 ，
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
8．（2024•滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和
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“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形
【专题】平移、旋转与对称；几何直观
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解： 、是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
、是轴对称图形；
、是轴对称图形；
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
9．（2024•莱芜区校级模拟）如图，边长为2的正方形 的对角线相交于点 ，将正方形沿直
线 折叠，点 落在对角线上的点 处，折痕 交 于点 ，则 的长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力
【分析】连接 ，首先根据正方形的性质和勾股定理求出 ，然后根据折叠的性质
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得 到 ， ， ， 求 出 ， 然 后 求 出
，然后证明出 ，得到 ，代数求解即可．
【解答】解：方法一：如图所示，连接 ，
边长为2的正方形 的对角线相交于点 ，
，
，
将正方形沿直线 折叠，点 落在对角线上的点 处，折痕 交 于点 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ．
方法二： ， ，
，
又 ， ，
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，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质，解题
的关键是正确作出辅助线．
10．（2024•市南区校级三模）如图，在矩形 中， 是 的中点，将 折叠后得到
，点 在矩形内部．延长 交 于点 ，若 ， ，则折痕 的长为
A． B． C．3 D．
【答案】
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质
【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；几何直观
【分析】连接 ，先证明 ，得到 ，设 ，则有 ，
，在 中， ，解出 ，在 中， ， ，
即可求 ．
【解答】解：连接 ，
是 的中点，
，
将 折叠后得到 ，
， ，
，
矩形 ，
，
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，
，
， ，
设 ，则有 ， ，
在 中， ，
，
在 中， ， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查矩形的性质，图形折叠的性质，掌握图形折叠的性质，通过证明三角形全等，勾
股定理求出 的长是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ 是等边三角形， 是 边上的高， 是 的中点，
是 上的一个动点，当 与 的和最小时， 的度数是 ．
【考点】等边三角形的性质；轴对称 最短路线问题
【专题】三角形；几何直观
【分析】连接 ，则 的长度即为 与 和的最小值．再利用等边三角形的性质可得
，即可解决问题；
【解答】解：如连接 ，与 交于点 ，此时 最小，
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△ 是等边三角形， ，
，
，
即 就是 的最小值，
△ 是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为 ．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此
题的关键．
12．（2024•滦南县校级模拟）如图，在 中，点 是 边上一点，将 沿 翻折得到
， 与 交于点 ，设 ， ．
（1）当 ， ， 时， 的长是 5 ；
（2）当 ， 时， 与 的面积之比是 ．
【答案】（1）5；
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（2） ．
【考点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）
【专题】推理能力；运算能力；展开与折叠
【分析】（1）设 ，由勾股定理结合方程思想即可求出 的长；
（2）证明 ，根据面积比等于相似比的平方即可求出面积之比．
【解答】解：（1）当 ， ， 时，
得 ， ， ，
设 ，则 ，
由题意可得 ，
在 中，由勾股定理可得，
，
即 ，
解得： ，
故 ；
（2）当 ， 时；
；
，
又 ，
，
，
由题意可得 ，
，
，
，
，
，
设 ， ， ，
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则 ，
，
，
，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
，
， ，
，
故 与 的面积之比是： ．
【点评】本题主要考查勾股定理，相似三角形等知识，熟悉掌握相关的知识是解题的关键．
13．（2024•南充模拟）如图，将矩形 对折，使 与 边重合，得到折痕 ，再将点
沿过点 的直线折叠到 上，对应点为 ，折痕为 ， ， ，则 的长度为
．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力
【分析】由矩形的性质得 ，由折叠得 ，因为 垂直平分 ，所以
， ，可证明四边形 是矩形，则 ，
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所以 ，则 ，于是得到问题的答案．
【解答】解： 四边形 是矩形， ， ，
，
由折叠得 ，点 与点 关于直线 对称，
垂直平分 ，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出 的长
是解题的关键．
14．（2024•滨州）如图，四边形 四个顶点的坐标分别是 ， ， ，
，在该平面内找一点 ，使它到四个顶点的距离之和 最小，则 点坐标
为 ， ．
【答案】 ， ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称 最短路线问题
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【专题】平面直角坐标系；一次函数及其应用；几何直观；运算能力
【分析】根据两点之间线段最短，连接 和 ，它们的交点 即为所求，然后求出直线 和直
线 的解析式，将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点 的坐标．
【解答】解：连接 、 ，交于点 ，如图所示，
两点之间线段最短，
的最小值就是线段 的长， 的最小值就是线段 的长，
到四个顶点的距离之和 最小的点就是点 ，
设 所在直线的解析式为 ， 所在直线的解析式为 ，
点 在直线 上，点 ， 在直线 上，
， ，
解得 ， ，
直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， ．
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【点评】本题考查一次函数的应用、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出点 所在的
位置．
15．（2024•浦东新区三模）如图，在正方形 的边 上取一点 ，联结 ，将 沿
翻折，点 恰好与对角线 上的点 重合，联结 ，若 ，则 的面积是
【答案】 ．
【考点】三角形的面积；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力
【分析】由折叠可得 ， ，且 可得 ， 即
可求对角线 的长，则可求 面积．
【解答】解：如图，连接 交 于 ，
为正方形，
， ， ， ， ．
沿 翻折，
， ， ， ，
，
，
，
，
，
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．
．
故答案为： ．
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是熟练应用所学知识解决问题．
16．（2024•海南）如图，矩形纸片 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，
将纸片 沿 折叠，使点 的对应点 在边 上，点 的对应点为 ，则 的最小值为
6 ， 的最大值为 ．
【答案】6； ．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】推理能力；图形的相似；特殊化方法
【分析】由折叠可知 ，则 时， 最小，即 最小，此时四边形 是正
方形，则 ；当 与 重合时， 最大，此时 在 的垂直平分线上，求出 ，
，再证△ △ ，求出 ，即可解答．
【解答】解：由折叠可知 ，则 时， 最小，即 最小，此时四边形
是正方形，则 ；
当 与 重合时， 最大，此时 在 的垂直平分线上，如图：
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矩形纸片 中， ， ，则 ，则 ，
， ，
△ △ ，
，
，
．
故答案为：6； ．
【点评】本题考查矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分析出最
值情况是解题的关键．
17．（2024•启东市二模）已知四边形 是矩形， ， ， 为 边上一动点且不
与 、 重合，连接 ，如图，过点 作 交 于点 ．将 沿 翻折，点 恰
好落在边 上，那么 的长 2 或 ．
【答案】2或 ．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】展开与折叠；推理能力
【分析】过点 作 于 ，则四边形 是矩形，得出 ， ，由折叠
的 性 质 得 出 ， ， ， 证 明 △ △ ， 得 出
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，则 ，由 ，得出 ，则 ，得出
，设 ，则 ， ， ，则 ，求出
， ，由 ，即可得出结果；
【解答】解：过点 作于 ，如图所示：
则四边形 是矩形，
， ，
由折叠的性质得： ， ， ，
，
，
，
，
△ △ ，
，
，
同理可得： ，
，
，
，
设 ，则 ， ， ，
，
， ，
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，
解得： 或 ，
或 ．
故答案为：2或 ．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、一元二次方程的
解法，三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（2024•南阳一模）如图，矩形 中， ， ，点 为边 上一个动点，将
沿 折叠得到 ，点 的对应点为 ，当射线 恰好经过 的中点 时， 的长
为 2 或 8 ．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力
【分析】分两种情况：①如题干图， 的延长线过 的中点 ，先推出 ，在
中，求出 ，即可求出 ，由翻折性质可得 ，从而解决问题；② 过 的
中点 ，类似的可以求出 的长．
【解答】解：① 的延长线过 的中点 ，如题干图，
四边形 是矩形，
， ，
，
将 沿 折叠得到 ， ，
， ， ， ，
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， ，
，
， 是 的中点，
，
在 中，
由勾股定理，得 ，
；
② 过 的中点 ，如图，
同①，可求得 ， ，
．
综上， 或8．
故答案为：2或8．
【点评】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，
掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
19．（2024•柳东新区校级模拟）如图，将矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点
落在 边上的点 处，折痕为 ，连结 ，再将△ 沿直线 折叠，使点 落在 上的
点 处，若 ，则△ （阴影部分）的面积为 ．
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【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力
【分析】由矩形的性质得 ， ，由折叠得 ，
， ，再证明四边形 是正方形，则 ，求得
，则 ，于是得到问题的答案．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
由折叠得 ， ， ，
点 在 边上，点 在 上，
四边形 是矩形， ，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、三角
形的面积公式等知识，证明四边形 是正方形是解题的关键．
20．（2024•渝中区校级模拟）如图，矩形纸片 中， 为 的中点，连接 ，将 沿
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折叠得到 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力
【分析】连接 ，交 于点 ，由折叠可知： ， ， 垂直平分 ，再
证 ，得到 ，在 中，利用等积法求出 的长，最后在 中，利
用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接 ，交 于点 ，
由折叠可知：
， ， ， ，
点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
故答案为： ．
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【点评】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌
握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•建平县模拟）【课例改编】
数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图， 是△ 的高， ，若
， ，求 的长．
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将△ 沿 折叠，如图1，则点 刚好落在
边上的点 处．
（1）结合小明同学的想法，请直接写出： 9 ．
【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2， ， 为△ 的外角 的平分线，交 的延长线于点 ，则线
段 、 、 有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在四边形 中， 平分 ， ， ， ，求 的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折
变换（折叠问题）
【专题】图形的全等；展开与折叠；运算能力；推理能力
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【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得： ， ， ，
由 可得 ，再由三角形外角的定义及性质可得 ，推出
，进而得到 ，最后进行计算即可得到答案；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明△ △ 得到 ， ，
证明 ，再由 得到 ，再根据三角形外角的定义及性质得出
，进而得到 ，即可得证；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明△ △ ，得到 ，
，进而得到 ， ，推导出 ．
【解答】解：（1）如图1，将△ 沿 折叠，则点 刚好落在 边上的点 处，
由折叠的性质可得： ， ， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9；
（2） ．
证明：如图2，在 上截取 ，连接 ，
，
平分 ，
，
在△ 和△ 中，
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，
△ △ ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，在 上截取 ，连接 ，
平分 ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
，
．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、
等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，
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添加适当的辅助线是解此题的关键．
22．（2024•东莞市三模）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴
对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．
如图，在等腰 中， ．
（1）尺规作图：作 关于直线 对称的 （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接 ，交 于点 ，若 ，四边形 周长为 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质；作图 轴对称变换
【专题】几何直观；矩形 菱形 正方形；作图题；推理能力
【分析】（1）根据点关于直线的对称点的作法作出点 ，连接 、 即可；
（2）根据（1）的作法得出四边形 是菱形，再根据菱形的性质结合勾股定理已经菱形的面积
等于对角线乘积的一半即可求解．
【解答】解：（1）如图， 即为所求；
（2） 与 关于直线 对称，
， ，
又 ，
，
四边形 是菱形，
，且 ，
又四边形 周长为 ，
，
，
，
四边形 的面积 ．
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【点评】本题考查了作图 轴对称变换，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解（2）的关键．
23．（2024•武汉模拟）由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个
顶点均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）先画点 关于 的对称点 ，再将线段 绕点 逆时针旋转 ，得线段 ；
（ 2 ） 连 ， 在 线 段 上 画 点 ， 使 ， 再 连 ， 在 上 画 点 ， 使
．
【答案】见解析．
【考点】作图 轴对称变换；作图 旋转变换；解直角三角形
【专题】几何直观；作图题
【分析】（1）构造菱形 即可得到点 的对称点 ，再利用旋转变换的性质作出点 的对应
点 即可；
（2）取格点 ， ，连接 交 一点 ，连接 ，延长 交 一点 ．取格点 ， ，连
接 ， 交于点 ，连接 交 一点 ，点 ，点 即为所求．
【解答】解：（1）如图，得 ，线段 即为所求；
（2）如图，点 ，点 即为所求．
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【点评】本题考查作图 轴对称变换，旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
24．（2024•兰州模拟）如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 上．将矩形 分别
沿 ， 翻折后点 ， 均落在点 处，此时 ， ， 三点共线，若 ．
（1）求证：矩形 为正方形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2） 的长是8．
【考点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力
【 分 析 】 （ 1 ） 由 翻 折 得 ， ， ， 则 ， 所 以
，而 ，即可证明 ，而四边形 是矩形，所以四边形
是正方形；
（2）由正方形的性质得 ，而 ，所以 ， ，
由勾股定理得 ，求得 ．
【解答】（1）证明：由翻折得 ， ， ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，且 ，
四边形 是正方形．
（2）解： 四边形 是正方形，
，
，
， ，
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，
，
，
解得 或 （不符合题意，舍去），
的长是8．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、直角三角形的两个锐
角互余、同角的余角相等、勾股定理等知识，推导出 是解题的关键．
25．（2024•凤凰县模拟）人教版初中数学八年级下册第 64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角
的方法：
①对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ．
请你根据提供的材料完成下面的问题．
（1）填空： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质
【专题】平移、旋转与对称；推理能力
【分析】（1）根据折叠判断线段关系即可计算比值；
（2）由（1）可知 ，可得到 ，即可得到 ，然后在根据折叠计算 即
可．
【解答】解：（1）由折叠可知： ， ，
， ；
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故答案为： ；
（2）在 △ 中， ，
，
，
由折叠可得： ．
【点评】本题主要考查折叠的性质，特殊角度三角函数值，掌握折叠的性质是关键．
40
