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线代必背10页纸——考研数学777
一、行列式、伴随、逆的公式
1．行歹归鸟 4穿脱原则
lkAl=k"IAI
(AB)
T
=B
T
A
T
n-1
• •
A*I = IAl (AB)*= B A
-I 冈1 (AB) l =B l A -l
A ＝
2．伴随矩阵 5．换位思考
l
A* =IAlk CA勹1=( A l )*
AA •司 AIE CA勹 T = (A乃 l
(KA) ． =k rl A. CA了＝（A ． ) T
尸
(A*)* =IA A
3．逆矩阵 6．加法拆开
．
A -
l
=
—A冈
CA+B? =A
T
+B
T
CA+B).＝不能拆开
(KA) －l =－1 A -l (A+BY 1 ＝不能拆开
k
I
CA勹 =(A宁
7.k家立
lkAl=k"IAI
T
(kAf =kA
(KA)
l
=— 1A
-1
k
＊ n l
(KA) =k A*
二、2阶矩阵的伴随一一主对调，副反号，得伴随
=（ a =［＿ d - -I 三I ( d－ -b
A c ]b A . b) A c a)
d C a
1
（注意：主对调副反号口诀得到的是伴随，不是逆，逆矩阵还需乘—-）
IAI
＝
_、 a.. = A结论
IJ IJ
r= ＊ T ⇒
设A是3阶非零矩阵，则a
iJ
=A
iJ
<=>A A <=>A A=E(A正交） IAI=1
T T ⇒
a = -A <=> A =-A*<=>A A =E (A正交） �l=-1
iJ iJ
【余子式】Mi}: IA|中去掉第i行第j列元素后的n-1阶子式
+
【代数余子式】A ii : A ii = (-1y 1 Mu
1——
线代必背10页纸 考研数学777
禾 阵
』三三五庄曰芷芷二三三：芝： ：：： 相同
三 值
实对称矩阵合同的充要条件：正负惯性指数相同（特征值正负）
二十六、二次型keywords
可逆的线性变换＝＝合同＝＝特征值正负个数相同＝＝有相同的规范形
正交变换＝＝合同且相似＝＝特征值相同＝＝有相同的标准形
求标准形＝＝法也正交变换法—标准形的系数是特征值
法＠配方法 —标准形 的系数往往不是特征值
求规范形／求正负惯性指数＝＝法也求特征值，看正负
法＠配方法，看平方项前正负
告知标准形（正交变换）＝＝＝告诉特征值
告知标准形（配方法）＝＝＝＝＝告诉特征值正负
告知规范形／正负惯性指数＝＝＝告诉特征值正负
T
二次型最值： 最大值＝XX·入
max
最小值＝x飞．
A,min
二十七、二次型设问
似对角化： 存在可逆矩阵P，使得PlAP=A
厂正交相似对角化：存在正交矩阵P,使得pTAP=A
合同对角化： 存在可逆矩阵P,使得pTAP=A
二十八、正定二次型
二次型xrAx正定<=>A的
(l）仁对任意X=fc-0.都有 xrAx> 0
(2) ¢:>特征值全为正
(3) ¢:>正惯性指数p=n =r (A)
(4) ¢:>与单位矩阵E合同，PTAP=E
(5) ¢:>存在可逆矩阵P,使得A=PTP.
(6) ¢:>顺序主子式全大千0
⇒
(7) 主对角线元素a;;>O(i =1 ,2,…，n). （必要条件）
一
二十九、二次型的几何应用（数 ）
特征值入，儿，左正负 f (x'X , x) =1
i 2 3
3正 椭球面
2正l负 单叶双曲面
1正2负 双叶双曲面
2正l零 椭圆柱面
1正l负1零 双曲柱面
10
