文档内容
矩
阵
m × n个数排成的m行n列的表格
定
义
零矩阵 元素全为0的矩阵
对角矩阵 主对角线以外元素全为0的矩阵（主对角线元素可为0或其他值）
上三角(下三角)矩阵 主对角线以下(上)都是零的方阵
对称矩阵 以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵
行阶梯：
①如果矩阵中有零行(即这一行元素全是0)则零行在矩阵的底部.
②每个非零行的主元(即该行最左边的第1个非零元)它们的列指标
随着行指标的递增而严格增大.
行阶梯与行最简矩阵
行最简：
一个行阶梯矩阵，如果还满足：非零行的主元都是1，且主元所在
的列的其他元素都是0，则称为行最简矩阵.
设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA = E，
则称A可逆；
定义
如果不存在这样的矩阵B，则称A不可逆.
注：逆矩阵的概念只针对方阵，不是方阵则没有讨论的资格.
若A是可逆矩阵，则矩阵A的逆矩阵唯一.
对于同阶方阵A与B, 只需要AB = E或BA = E就能证明
A与B互为逆矩阵；
即AB = E ⇔ BA = E.
相
相关定理
关
(涉及后面章节的知识)
概
n阶矩阵A可逆⇔ ∣A∣ = 0
念 ⇔ r(A) = n
⇔A的列(行)向量组线性无关
可逆矩阵
⇔A = P P ⋯P ,P (i = 1,2,⋯ ,s)是初等矩阵
1 2 1 i
⇔与单位矩阵等价
−1
(A−1 ) = A.
(AB)−1 = B−1A−1 .
1
k = 0,(kA)−1 = A−1.
k
常用公式 (A + B)−1不等于B−1 + A−1
−1 T
(AT ) = (A−1 ) .
1
A−1
=
∣A∣
(An ) −1 = (A−1 ) n
1 1
−1 a −1 a
a 1 a 1
1 1 3 1
二级结论 a = ， a =
2 2
a a
a
3
2
1
a
1 1
2
a a
3 3
A A ⋯ A
11 21 n1
A A ⋯ A
12 22 n2
定义 A∗ = , 其中A 是a 的代数余子式,A∗叫作A的伴随矩阵.
ij ij
⋮ ⋮ ⋮
A A ⋯ A
1n 2n m
①AA∗ = A∗A = ∣A∣E.
②∣A∗∣ = ∣A∣n−1.
③(AT ) ∗ = (A∗) T .
④(kA)∗ = kn−1A∗,(−A)∗ = (−1)n−1A∗.
⑤A−1 = 1 A∗.
伴随矩阵
常用公式
∣A∣
⑥A∗ = ∣A∣A−1.
⑦(A∗) −1 = 1 A = (A−1 ) ∗ .
∣A∣
⑧(A∗) ∗ = ∣A∣n−2A.
特 ⑨ (A∗) ∗ = ∣A∣(n−1)2 .
殊 ⑩(AB)∗ = B∗A∗.
矩
阵
n, r(A) = n,
⎧
伴随矩阵的秩 r (A∗) = 1, r(A) = n − 1,
⎨
0, r(A) < n − 1.
⎩
i：交换矩阵的某两行(列)的位置;
ii：用一非零常数k乘以矩阵的某一行(列);
iii：把某行(列)的k倍加到另外一行(列).
以上三种变换称为矩阵的初等行(列)变换，统称初等变换.
初等变换
注：
E :交换i,j行或列;
i,j
E (k):第i行或者第i列乘以常数k(k = 0);
i
E (k):用第i行的k倍加到第j行，或者用第j列的k倍加到第i列.
i,j
矩阵A左乘初等矩阵P, 得PA，相当于对A作了一次与P完全相同
的初等行变换;
左行右列定理
初等矩阵
矩阵A右乘初等矩阵P，得AP，相当于对A作了一次与P完全相同
的初等列变换.
任意可逆矩阵都可以分解成初等矩阵的乘积.
E−1 = E ;
ij ij
E−1(k) = E ( 1 );
i i k
E−1(k) = E (−k);
相关性质 ij ij
E T = E ;
ij ij
ET (k) = E (k);
i i
E T(k) = E (k).
ij ji
对于矩阵A ，如果满足：至少存在一个k阶子式不为0（k阶子式的含义
m×n
定义 是在矩阵A 中任取k行、任取k列，其交叉元素形成的k阶方阵的行列
m×n
式）同时所有高于k阶的子式全部等于0，则称这个矩阵的秩为k.
m
0 ≤ r (A ) ≤ ，且只有零矩阵的秩是0.
m×n { n
基本结论 初等变换不改变矩阵的秩
矩阵的秩
对于方阵A ：R(A) = n ⇔ ∣A∣ = 0⇔ A可逆；
n×n
R(A) < n ⇔ ∣A∣ = 0⇔ A不可逆
矩
r (AT ) = r(A) = r (ATA);
阵
r(A + B)
⩽
r(A) + r(B);
r(AB)
⩽
min(r(A),r(B));
有关秩的重要公式
若A可逆，则r(AB) = r(B)，r(BA) = r(B);
公 若A是m × n矩阵，B是n × s矩阵,AB = O，则r(A) + r(B) ⩽ n;
A
r(A,B)
⩽
r(A) + r(B); r
⩽
r(A) + r(B).
众 ( B )
号 分块的时候随意分割，但是涉及到运算的时候，无论是大矩阵还是小矩阵的层面，都要遵循运算规律：
A A B B A + B A + B
1 2 1 2 1 1 2 2
加法： + =
[ A A ] [ B B ] [ A + B A + B ]
3 4 3 4 3 3 4 4
：
A B X Y AX + BZ AY + BW
乘法： = （相乘后左仍在左，右仍在右）
[ C D ][ Z W ] [ CX + DZ CY + DW ]
考
n
B O Bn O
幂次： =
[ O C ] [ O Cn ]
研
T
A B AT CT
转置： =
[ C D ] [ BT DT ]
经
分块矩阵
常见的分块：
验 a a ⋯ a
11 12 1n
a a ⋯ a
21 22 2n
列分块：把矩阵每1列都分块成小矩阵，A = = [α ,α ,⋯ ,α ]
m×n 1 2 n
⋮ ⋮ ⋮
超
a a ⋯ a
m1 m2 mn
a a ⋯ a ∂ T
11 12 1n 1
市 a a ⋯ a ∂ T
21 22 2n 2
行分块：矩阵每1行都分块成小矩阵，A = =
m×n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a a ⋯ a ∂ T
m1 m2 mn m
方阵分块：对方阵分块且主对角线（斜对角线）矩阵均为方阵.
相等：矩阵同型且对应元素相等
矩阵的加法和数乘运算满足：
加法：同型矩阵对应元素相加 ①A + B = B + A; ②(A + B) + C = A + (B + C);
③A + O = A; ④A + (−A) = O;
⑤1A = A; ⑥0A = O
数乘：乘法因子与矩阵每个元素相乘，
⑦k(lA) = (kl)A = l(kA); ⑧k(A + B) = kA + kB;
相当于用一个数量矩阵与原矩阵相乘
⑨(k + l)A = kA + lA.
相关公式有：
T
(AT
) = A
转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到
(A + B) T = AT + BT
矩
一个新矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记
(kA) T = kAT
阵
作AT
.
(AB) T = BTAT
的
(An
)
T
=
(AT
)
n
运
算
A的列数必须等于B的行数，才能相乘
法
则
矩阵乘法A B = C ，C的行数等于A的行数，列数等于B的列数
m×n n×s m×s
矩阵乘法不满足交换律，一般情况下，AB = BA；若AB = BA，则称A与
①A(BC) = (AB)C; B可交换.
②A(B + C) = AB + AC,(A + B)C = AC + BC;
③(kA)(lB) = klAB;
④AE = A,EA = A; 由AB = 0无法得到A = 0或B = 0（联想方向应是齐次方程的解或矩阵的秩）
⑤OA = O,AO = O.
矩阵乘法不满足消去律，一般情况下，AB = AC且A = 0无法得到B = C
n
乘法：c = a b + a b + ⋯ + a b = a b
ij i1 1j i2 2j i1 nj ik kj
∑
由于矩阵乘法无交换律，因此对于同阶方阵A与B，(A ± B) 2 不能展开得A2 +
k=1
B2 ± 2AB，只有当矩阵A与B可交换时，中学的多项式公式才成立；
但任意矩阵A与单位矩阵E可交换，因此一定有(A ± E)2 = A 2 ± 2A + E.
αβT （列向量在前，行向量在后）为矩阵，且r(αβT
)= 1.
列向量α与β做乘积
βTα（行向量在前，列向量在后）为一个数，且等于矩阵
αβT
的迹（主对角线元素之和）
若A2 = kA，则An = kn−1A
试算A2 或A3
，找规律
A2n = knE (若 k = −1, 则 A4 = E),
若A2 = kE，则
{ A 2n+1 = knA.
A是方阵且r(A) = 1，则可分
即r(A) = 1 ⇔ A = αβT ，α,β均= 0, 则A2 = kA,
解为一个列向量与一个行向量
∴
An = kn−1A，其中k = αTβ = βTα = tr(A).
的乘积
求
n 主对角线元素全部为0的上、下
A
三角n阶矩阵有特点:Bn = O.
n(n − 1)
An = (B + C) n = Bn + nBn−1C + Bn−2C2 + ⋯ + Cn .
矩阵分解A = B + C 2!
n(n − 1)
若B = E，则An = E + nC + C2 + ⋯ + Cn .
2!
A可对角化 A = PΛP−1，则An = PΛ nP−1(其中Λ为对角矩阵)
初等行变换 A 初等列变换 E
[A : E] ⟶ [E : A−1 ], ⟶ .
[ E ] [ A −1 ]
注：行变换、列变换只能选择一种，不能同时做.
具体型
A−1 = 1 A∗
∣A∣
求
逆
对已知关系式恒等变形，化为“左端为待求逆矩阵与
相
另一个矩阵的乘积，右端为单位矩阵”的形式
关 （过程中通常会涉及提取公因子）
题
抽象型
型
重点是恒等变形技巧（常用 不容易恒等变形，自主创造AB = E
总
单位矩阵变形）
结
将A分解为若干个已知矩阵的乘积：A = BC，若B、C可
逆，则A−1 = C−1B−1
①用定义：注意+、−号和排列顺序
②用公式：A∗ = ∣A∣A−1
求伴随
伴
③注意，对二阶矩阵，将主对角线元素对调，副对角线元素变号
随 即可求得伴随矩阵（主对调，副变号）
相
关
结合行列式
初
等
左行右列定理+性质
矩 （一定要注意先后顺序）
阵
求
利用子式来计算
矩
阵
的 通过初等变换化为阶梯型，阶梯形
式中非零行的数量等于矩阵的秩
秩
