文档内容
a x + a x + ⋯ + a x = 0,
11 1 12 2 1n n
⎧ a x + a x + ⋯ + a x = 0,
21 1 22 2 2n n
定义：方程组 称为齐次线性方程组，
⋯⋯
⎨
a x + a x + ⋯ + a x = 0
⎩ m1 1 m2 2 mn n
向量形式为x α + x α + ⋯ + x α = 0
1 1 2 2 n n
齐
次 有唯一零解：r(A) = n（即α ,α ,⋯ ,α 线性无关）
1 2 n
线
性
有非零解(无穷解)：
方
Ax = 0有无解的判定
秩r(A) < n（即α ,α ,⋯ ,α 线性相关）
程 1 2 n
特别地：
组
A为m × n矩阵，m < n，则Ax = 0必有非零解；
A为n阶矩阵，当 A = 0，则Ax = 0有非零解.
如果：
①ξ ,ξ ,⋯ ,ξ 是Ax = 0的解
1 2 s
基础解系 ②ξ 1 ,ξ 2 ,⋯ ,ξ s 线性无关
③方程组的任一解可由ξ ,ξ ,⋯ ,ξ 线性表出，即s = n − r(A)，
1 2 s
则称ξ ,ξ ,⋯ ,ξ 是方程组的一个基础解系.
1 2 s
a x + a x + ⋯ + a x = b ,
11 1 12 2 1n n 1
⎧ a x + a x + ⋯ + a x = b ,
21 1 22 2 2n n 2
定义：方程组 称为非齐次线性方
⋯⋯
⎨
非
a x + a x + ⋯ + a x = b
⎩ m1 1 m2 2 mn n m
齐
程组，其向量形式为x α + x α + ⋯ + x α = β.
1 1 2 2 n n
次
线
性 非齐次线性方程组Ax = β有解的充要条件是其系数矩阵与其增
方 广矩阵秩相等，即r(A) = r(Aˉ ).特别地：
程 若r(A) = r(Aˉ ) = n，则方程组有唯一解；
组 若r(A) = r(Aˉ ) < n，则方程组有无穷多解；
ˉ
若r(A) + 1 = r(A)，则方程组无解.
Ax = β有无解的判定
当A为n阶矩阵时，若 A = 0：
r(A) = r(Aˉ )，则方程组有无穷解；
基 r(A) = r(Aˉ )，则方程组无解.
础
知 若r (A ) = m，则方程组Ax = β一定有解.
m×n
识
①若ξ , ξ 是齐次线性方程组Ax = 0的解, 则k ξ + k ξ 也是
线 1 2 1 1 2 2
性
Ax = 0的解, 其中k , k ,为任意常数.
1 2
方
程
②若η , η 为非齐次线性方程组Ax = β的解, 那么η − η 为齐
组 1 2 1 2
次方程组Ax = 0的解.
解
的
结
③非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性
构
方程组的特解.
与
性
质
④Ax = 0的基础解系中含有向量的个数为n − r(A).
非齐次方程组A x = β系数矩阵A为方阵A ,且∣A∣ = 0，方程组有唯一解.
n×n n×n
x ∣A ∣
1 1
x ∣A ∣
克 2 2
另类写法:x = = 1 , 即x
j
= ∣A j ∣ , 其中∣A
j
∣是用
拉 ∣A∣ ∣A∣
⋮ ⋮
默 x ∣A ∣
n n
法 b
1
b
则
2
β = 取代行列式∣A∣中的第j列形成的新行列式.
⋮
b
n
线
对于方程组(I)和(II)，如果α既是方程组(I)的解，也是
公
方程组(II)的解，则称α是方程组(I)(II)的公共解.
共
性
解
与
若α是方程组(I)的解，则α一定是方程组(II)的解，反
方 同
之，若α是方程组(II)的解，则α必是方程组(I)的解，
解
就称方程组(I)(II)同解.
程
方法：对系数矩阵初等行变换化为阶梯型
组
①若有唯一零解，则直接写出；
齐次线性方程组 ②若有无穷有非零解（无穷解），则用以下方法可以找到一组基础解系：把自由变
量（n − r(A)个）分别设为(1,0,0….),(0,1,0….)……(0,0,….1)，
再代入原方程组把剩下的主变量求出来，即可得到一组基础解系.
解线性方程组
公
方法：对增广矩阵通过初等行变换化为阶梯型
①若无解，运算结束；
非齐次线性方程组 ②如果有唯一解，直接算（如果A是方阵且∣A∣ = 0，也有x = A−1β）
众
③若有无穷多解，则先求出对应齐次方程组的通解，而后任意找一个非齐
次的特解即可.
号
将系数矩阵（齐次方程组）或增广矩阵（非齐次方程
解含参数线性方程组 组）先用初等行变换化为阶梯型，再用方程组理论判
： 别、求解.
考 A
若具体给出线性方程组Ax = 0和Bx = 0，则联立求解 x = 0
具 [ B ]
体
研
型
若具体给出线性方程组Ax = 0，但只给出线性方程组Bx = 0的基础解系或
方
通解，此时只用将Bx = 0的通解代入Ax = 0，求出k (i = 1,2,⋯ ,s)之
经 程 i
Ax = 0与Bx = 0有公共解
间的等量关系，再代回Ax = 0的通解，即得公共解.
组
验
若给出线性方程组Ax = 0和Bx = 0的基础解系(或通解), 则只需直接令二者
的通解相等, 解出任意常数需要满足的条件 (等量关系), 再将此条件代回任意
超
一个通解中, 即可得到Ax = 0和Bx = 0的公共解.
市
Ax = 0的解满足Bx = 0的解，且Bx = 0满足Ax = 0的解
（互相把解代入，求出结果即可）
r(A) = r(B)，且Ax = 0的解满足Bx = 0的解（或Bx = 0
Ax = 0与Bx = 0同解
的解满足Ax = 0的解）
两个方程组公共解和同解问题
A
r(A) = r(B) = r （三秩相等比较方便）
([ B ])
Ax = 0和Bx = 0同解，且Ax = c与Bx = d有公共解
Ax = c与Bx = d同解
A A c
r(A) = r(B) = r = r
( B ) ( B d )
Ax = 0
Ax = 0的解全是Bx = 0的解，则Ax = 0与 同解
{ Bx = 0
若Ax = 0只有零解，则r(A) = n(列满秩)⇏ r([A,b]) = n,
故Ax = b可能有解也可能无解.
若Ax = 0有无穷多解(有非零解),则r(A) < n (列不满秩)⇏
r(A) = r([A,b]), 故Ax = b可能有解也可能无解.
题
型 解的判定 若A行满秩，则r(A) = r([A,b])，故Ax = b必有解.
总
结 若Ax = b有唯一解，则r(A) = r([A,b]) = A的列数，
故Ax = 0只有零解.
抽
象 若Ax = b有无穷多解，则r(A) = r([A,b]) < A的列数,
型 故Ax = 0有非零解.
方
程
基础解系 是否为基础解系（验证3个条件）
组
齐次线性方程组：
①找到基础解系
②写通解
解的结构
非齐次线性方程组：
①找到非齐次的一个特解
②找到对应齐次方程的通解
③写出非齐次通解
方程组有解
线
性
方
程
组
的
几
何
意
义
方程组无解
