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专题05 因式分解
一、因式分解意义
【高频考点精讲】
1．分解因式的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
2．因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式。因式分解是两个或几
个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。
【热点题型精练】
1．（2022•衡水模拟）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确
的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
2．（2022•成都模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
3．（2022•济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
4．（2022•永州中考）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay＝a（x+y）+1 B．3a+3b＝3（a+b）
C．a2+4a+4＝（a+4）2 D．a2+b＝a（a+b）
二、提公因式法
【高频考点精讲】
1．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的
形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2．具体方法
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，字母的指
数应取次数最低的。取相同的多项式，多项式的次数应取最低的。（2）如果多项式的第一项为负，一般要提出“﹣”，使括号内第一项的系数为正，提出“﹣”时，多项式的各
项都要变号。
【热点题型精练】
5．（2022•柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
6．（2022•石家庄模拟）将多项式（a﹣1）2﹣a+1因式分解，结果正确的是（ ）
A．a﹣1 B．（a﹣1）（a﹣2） C．（a﹣1）2 D．（a+1）（a﹣1）
7．（2022•广州中考）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
8．（2022•遵义模拟）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 ．
三、公式法
【高频考点精讲】
1．如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫做公式法。
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2．概括整合
（ ）能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。
（1）能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，
另一2 项是这两个数（或式）的积的2倍。
【热点题型精练】
9．（2022•河池中考）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
10．（2022•衡水模拟）若 ＝8×10×12，则k＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
11．（2022•荆门中考）对于任意实数 a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是
（ ）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
12．（2022•盘锦中考）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝ ．
13．（2022•黔东南州中考）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ ．
14．（2022•绥化中考）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
四、十字相乘法
【高频考点精讲】
1．x2+（p+q）x+pq型式子
（1）式子特点：二次项的系数是1；常数项是两个数的积。
（2）x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
2．ax2+bx+c（a≠0）型式子
（1）把二次项系数a分解成两个因数a 、a 的积a •a ，把常数项c分解成两个因数c 、c 的积c •c ，并使
1 2 1 2 1 2 1 2
a c +a c =b。（2）ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 2 2 1 1 1 2 2
【热点题型精练】
15．（2022•贺州模拟）把多项式x2+2x﹣8因式分解，正确的是（ ）
A．（x﹣4）2 B．（x+1）（x﹣8） C．（x+2）（x﹣4） D．（x﹣2）（x+4）
16．（2022•上海模拟）如果把二次三项式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），那么常数c的值是（
）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
17．（2022•内江中考）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
18．（2021•荆门中考）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 ．
19．（2022•赣州模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．
五、因式分解的应用
【高频考点精讲】
1．利用因式分解解决求值问题。
2．利用因式分解解决证明问题。
3．利用因式分解简化计算问题。
【热点题型精练】
20．（2022•黔西南州中考）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 ．
21．（2022•广安中考）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 ．22．（2021•绵阳中考）若x﹣y＝ ，xy＝﹣ ，则x2﹣y2＝ ．
23．（2022•西宁中考）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、
公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数
等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四
个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b
（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
