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专题10 一元二次方程
一、解一元二次方程
【高频考点精讲】
1．用“配方法”解一元二次方程
（ ）把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
（1）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
（2）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（3）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
（4）如果右边是非负数，可以通过直接开平方法求解；如果右边是负数，则判定此方程无实数解。
2．5用“因式分解法”解一元二次方程
（ ）移项，使方程的右边化为零；
（1）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（2）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
（3）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
3．4用“换元法”解一元二次方程
（1）把方程中某个含有未知数的式子看成一个整体，用另一个未知数去替换它，从而将原方程转化成关于新未知
数的方程，这种方法叫做“换元法”。
（2）“换元法”关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使
复杂问题简单化。
【热点题型精练】
1．（2022•甘肃中考）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6
2．（2022•聊城中考）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（
）
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
3．（2022•天津中考）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x ＝1，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝﹣3 D．x ＝﹣1，x ＝﹣3
1 2 1 2
4．（2022•包头中考）若x ，x 是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x •x 2的值为（ ）
1 2 1 2
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6
5．（2022•天津模拟）已知（a2+b2）2﹣8（a2+b2）﹣48＝0，则a2+b2的值为（ ）A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣4
6．（2022•荆州中考）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 ．
7．（2022•梧州中考）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
8．（2022•齐齐哈尔中考）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
9．（2022•凉山州中考）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
10．（2021•浙江中考）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小霞：
小敏：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
两边同除以（x﹣3），得
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
3＝x﹣3，
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
则x＝6．
解得x ＝3，x ＝0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
二、高次方程和无理方程
【高频考点精讲】
1．高次方程
（1）一般地，最高次项的次数高于2次的方程，叫做高次方程。
（2）高次方程的解法
通过适当方法把高次方程转化为次数较低的方程求解。所以，解高次方程一般要降次，将高次方程转化成二次方
程或一次方程。
2．无理方程
（1）方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。
（2）解无理方程关键是去根号，将其转化为整式方程。
（3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法。注意：用乘方法解无理方程，通常会产生增根，
应当注意验根。
【热点题型精练】
11．（2022•随州模拟）对于x3﹣（n2+1）x+n＝0这类特殊的三次方程可以这样来解．先将方程的左边分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1），这样原方程就可变为（x﹣
n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是原方程
的解．据此，显然 x3﹣5x+2＝0有一个解为 x ＝2，设它的另两个解为 x ，x ，则式子 x x ﹣x ﹣x 的值为
1 2 3 2 3 2 3
（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．7
12．（2022•扬州模拟）已知 x 、x 、x 为方程 x3+3x2﹣9x﹣4＝0 的三个实数根，则下列结论一定正确的是
1 2 3
（ ）A．x x x ＜0 B．x +x ﹣x ＞0 C．x ﹣x ﹣x ＞0 D．x +x +x ＜0
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
13．（2022•金华模拟）用换元法解方程（x2﹣x） 6时，设 y，那么原方程可化为（ ）
−√x2−x= √x2−x=
A．y2+y﹣6＝0 B．y2+y+6＝0 C．y2﹣y﹣6＝0 D．y2﹣y+6＝0
14．（2022•临沂模拟）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次
多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过
这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”．已知：x2+x﹣1＝0，且x＞0．则x4﹣2x3+3x的值为
．
15．（2022•郑州模拟）解方程：√x+7−√x+2=√x−1，x＝ ．
16．（2022•成都模拟）先阅读理解下面的例题，再解答问题：
例：解一元三次方程x3﹣x＝0
∵x（x2﹣1）＝0即x（x+1）（x﹣1）＝0
由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得
x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0
∴x ＝0x ＝﹣1x ＝1
1 2 3
根据以上解答过程，请你完成下列两个一元三次方程的解答：
（1）解一元三次方程x3﹣2x2﹣x+2＝0；
（2）解一元三次方程x3﹣6x2+11x﹣6＝0．
17．（2022•衢州模拟）解方程： x﹣3．
√2x2−9x+5=
三、根的判别式及根与次数关系
【高频考点精讲】
1．根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式（△＝b2﹣4ac）有如下关系：
（ ）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；反过来，当方程有两个不相等的两个实数根时，△＞0。
（1）当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；反过来，当方程有两个相等的两个实数根时，△＝0。
（2）当△＜0时，方程无实数根；反过来，当方程无实数根时，△＜0。
2．3根与系数的关系
如果x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x +x ＝ ，x x ＝
1 2 1 2 1 2
（1）
（2）根与系数的关系可以解决以下问题
①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数。②求关于根的式子的值，例如求x2+x2。
1 2
③判断两根的符号；
④由两根满足的条件，确定字母的取值。
【热点题型精练】
18．（2022•郴州中考）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
19．（2022•淮安中考）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
20．（2022•营口中考）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣4
21．（2022•乐山中考）关于 x 的一元二次方程 3x2﹣2x+m＝0 有两根，其中一根为 x＝1，则这两根之积为
（ ）
1 2 1
A． B． C．1 D．−
3 3 3
22．（2022•呼和浩特中考）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 3﹣2022x +x 2的值是（
1 2 1 1 2
）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
23．（2022•扬州中考）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ ＝0有两个不相等的实数根．
24．（2022•上海中考）已知x2﹣2√3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
3
25．（2022•日照中考）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x ，x ，且x 2+x 2= ，则m＝
1 2 1 2
16
．
26．（2022•内江中考）已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x x x 2+2x ﹣1，则k的值
1 2 2+ 1= 1 2
x x
1 2
为 ．
27．（2022•十堰中考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
28．（2022•南充中考）已知关于x的α一元β二次α方程βx2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x +1）（x +1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
四、由实际问题抽象出一元二次方程【高频考点精讲】
在解决实际问题时，要明确已知和未知，找出相等关系，设出未知数，用方程表示已知量与未知量之间的等量关
系，即列出一元二次方程。
【热点题型精练】
29．（2022•重庆中考）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该
校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400 D．400x2＝625
30．（2022•泉州模拟）小张的书法作品荣获学校书法比赛一等奖．作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺；
将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同；矩形装裱纸的面积为书法作
品面积的2倍．设书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是（ ）
A．（5+2x）（3+2x）＝2×5×3 B．（5+x）（3+x）＝2×5×3
C．2（5+2x）（3+2x）＝5×3 D．（5+2x）（3+2x）＝5×3
31．（2022•泰安中考）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．
每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文．如果每株椽的
运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批
椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
32．（2022•青海中考）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体
纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形
边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
33．（2022•通辽模拟）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制
为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
34．（2022•株洲模拟）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之
云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文为：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12
步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽是x步，则可列方程为 ．
五、一元二次方程的应用
【高频考点精讲】
1．数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a。
2．增长率问题： ，若原总量为a，增长率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次
增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长率）2＝后来数；
3．形积问题
（ ）利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长。
（1）利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。
（2）利用相似三角形的对应比例关系列比例式，通过两内项之积等于两外项之积得到一元二次方程。
【3热点题型精练】
35．（2022•南通中考）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平
均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
36．（2022•黑龙江中考）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了
45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
37．（2022•天津模拟）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分
折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（ ）
A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm3
38．（2022•铜仁模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取
适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品
降价 元时，商场日盈利可达到2100元．39．（2022•德州中考）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽
增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
40．（2022•宜昌中考）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产
规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上
m
月增加 %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
2
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上
月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
