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专题12 不等式与不等式组
一、解一元一次不等式（组）
【高频考点精讲】
1．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或含有字母的式子，不等号的方向不变，
即 若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
即若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
即若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 ＜ ；
（2）不等式的变形
①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号。
②两边都乘、除同一个数，只有乘、除负数时，不等号方向才改变。
2．解一元一次不等式
（1）根据不等式的性质解一元一次不等式
（2）步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。以上步骤中，只有“去分母”和“系
数化为1”可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。
【热点题型精练】
{3x−6＞0
1．（2022•绥化中考）不等式组 的解集为x＞2，则m的取值范围为 m ≤ 2 ．
x＞m
解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
答案：m≤2．
{x−1≥0
2．（2022•深圳中考）一元一次不等式组 的解集为（ ）
x＜2
A． B．C． D．
解：由x﹣1≥0得，x≥1，
故此不等式组的解集为：1≤x＜2．
答案：D．
{2x+1≥3
3．（2022•山西中考）不等式组 的解集是（ ）
4x−1＜7
1
A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜
2
解：解不等式2x+1≥3，得：x≥1，
解不等式4x﹣1＜7，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2，
答案：C．
{
2x+3≥x+m
4．（2022•绵阳中考）已知关于x的不等式组 无解，则1的取值范围是 0 1 1 ．
2x+5 ＜ ≤
−3＜2−x m m 5
3
解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，
2x+5
解不等式 −3＜2﹣x，得：x＜2，
3
∵不等式组无解，
∴m﹣3≥2，
∴m≥5，
1 1
∴0＜ ≤ ，
m 5
1 1
答案：0＜ ≤ ．
m 5
5．（2022•攀枝花中考）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不
1 { x−2≤n
等式组的关联方程．若方程 x﹣1＝0是关于x的不等式组 的关联方程，则n的取值范围是
3 2n−2x＜0
1 ≤ n ＜ 3 ．
1
解：解方程 x﹣1＝0得x＝3，
3
{ x−2≤n
∵x＝3为不等式组 的解，
2n−2x＜0{ 1≤n
∴ ，
2n−6＜0
解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
答案：1≤n＜3．
{x−2≥−5，①
6．（2022•武汉中考）解不等式组 请按下列步骤完成解答．
3x＜x+2．②
（1）解不等式①，得 x ≥﹣ 3 ；
（2）解不等式②，得 x ＜ 1 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ﹣ 3 ≤ x ＜ 1 ．
解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；
（2）解不等式②，得：x＜1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（4）原不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
答案：（1）x≥﹣3；
（2）x＜1；
（4）﹣3≤x＜1．
{
2x+1≥x+2
7．（2022•盐城中考）解不等式组： ．
1
2x−1＜ (x+4)
2
{
2x+1≥x+2①
解： ，
1
2x−1＜ (x+4)②
2
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为：1≤x＜2．
二、一元一次不等式（组）的应用
【高频考点精讲】1．由实际问题中的不等关系列出不等式（组），建立解决问题的模型，通过解不等式（组）得到实际问题的答案。
2．列不等式（组）解应用题需要以“至少”，“最多”，“不超过”，“不低于”等关键词体现问题中的不等关
系。
【热点题型精练】
{−2x−3≥1
8．（2021•呼和浩特中考）已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围是（ ）
x a−1
−1≥
4 2
5 5
A．a≥− B．a≥﹣2 C．a＞− D．a＞﹣2
2 2
解：解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，
x a−1
解不等式 −1≥ 得：x≥2a+2，
4 2
{−2x−3≥1
∵关于x的不等式组 无实数解，
x a−1
−1≥
4 2
∴2a+2＞﹣2，
解得：a＞﹣2，
答案：D．
9．（2022•成都模拟）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共
50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于 750
元，则该店进货方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
解：设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，
根据题意，得：{60x+100(50−x)≤4200，
10x+20(50−x)＞750
解得：20≤x＜25，
∵x为整数，
∴x＝20、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种，
答案：C．
10．（2022•重庆模拟）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，
①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则 x的最大值是8；③若
操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；④输入整数x后，该操作永不停止，则x≤3，以上结论正确有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
解：①∵11×3﹣6＝27＞18，
∴输入整数11，输出结果为27，结论①符合题意；
②根据题意得：{ 3x−6≤18 ，
3(3x−6)−6＞18
14
解得： ＜x≤8，
3
又∵x为整数，
∴x的最大值为8，结论②符合题意；
③当程序运行一次就停止时，3x﹣6＝21，
解得：x＝9；
当程序运行两次就停止时，3（3x﹣6）﹣6＝21，
解得：x＝5，结论③不符合题意；
④根据题意得：{ 3x−6≤18 ，
3(3x−6)−6≤3x−6
解得：x≤3，
∴结论④符合题意．
综上所述，以上结论正确有①②④．
答案：D．
3
11．（2022•杭州模拟）如图，点A，B分别表示数﹣x+3，x，则x的取值范围为 ＜ x ＜ 2 ．
2
{ x＜2
解：由题意得， ，
0＜−x+3＜x
3
解得 ＜x＜2．
2
3
答案： ＜x＜2．
2
12．（2022•重庆模拟）重庆某饰品店所售饰品款式新颖、价格实惠，深受消费者喜爱．今年 5月，该饰品店购进1
甲、乙、丙、丁四种饰品，甲与乙的销量之和等于丁的销量，丙的销量占丁销量的 ，四种饰品的销量之和不
6
少于600件，不多于650件，甲、乙饰品的进价相同，均为丙与丁的进价之和，四种饰品的进价均为正整数，
店家购进这四种饰品的总成本一共5200元，则店家购进这四种饰品各一件的进价之和为 3 6 元．
1
解：设丁饰品的销量为x件，则甲与乙饰品的销量之和为x件，丙饰品的销量为 x，
6
1
{x+x+ x≥600
依题意得： 6 ，
1
x+x+ x≤650
6
600 1
解得： ≤ x≤50，
13 6
1
∵ x为整数，
6
1
∴ x可以为47，48，49，50．
6
设丙饰品的进价为m元/件，丁饰品的进价为n元/件，则甲与乙饰品的进价均为（m+n）元/件，
∵店家购进这四种饰品的总成本一共5200元，
1
∴（m+n）x+ mx+nx＝5200．
6
∵四种饰品的进价均为正整数，
1
∴5200是 x的整数倍，
6
1
∴ x＝50，
6
∴原方程为300（m+n）+50m+300n＝5200，
即7m+12n＝104．
∵m，n均为正整数，
{m=8
∴ ，
n=4
∴（m+n）+（m+n）+m+n＝3（m+n）＝3×（8+4）＝36，
∴店家购进这四种饰品各一件的进价之和为36元．
答案：36．
13．（2022•遂宁中考）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定
增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买 2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购
买方案？
解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
{2a+3b=510
由题意可得： ，
3a+5b=810
{a=120
解得 ，
b=90
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴{ x≥30 ，
120x+90(50−x)≤5500
1
解得30≤x≤33 ，
3
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
14．（2022•内江中考）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前
往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；
若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量 35 30
（人/辆）
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：{ 35m+30(8−m)≥255 ，
400m+320(8−m)≤3000
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5
辆，租乙型客车3辆；
（3）∵7×35＝245＜255，8×35＝280＞255，
∴租车总费用最少时，至少租8两辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
15．（2022•绵阳中考）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/kg） 4 5 6 40
零售价格（元/kg） 5 6 8 50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得
这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于 88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两
种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，
{ x+ y=300
依题意得： ，
5x+6 y=1700
{x=100
解得： ，
y=200
∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．
答：这两种水果获得的总利润为500元．
1700−5m
（2）设购进mkg菠萝，则购进 kg苹果，
6
{ m≥88
依题意得： ，
1700−5m
(6−5)m+(8−6)× ＞500
6
解得：88≤m＜100．
1700−5m
又∵m， 均为正整数，
6
∴m可以为88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；
方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．
16．（2022•安顺模拟）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买 6个A
品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
则该校购买这些足球最少需要多少钱？
解：（1）设A种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，
{6a+4b=960
由题意可得： ，
5a+2b=640
{a=80
解得 ，
b=120
答：A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元；
（2）若购买A品牌的足球x个，则购买B品牌的足球（20﹣x）个，由题意可得：80x+120（20﹣x）＝﹣40x+2400，
∴整式随x的增大而减小，
∵购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
∴3≤x≤7，
∴当x＝7时，式子取得最小值，原式＝2120，
答：学校最少需要花费2120元．
