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专题 12 与圆有关的计算
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）正多边形与圆
（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．
180∘(n−2)
（2）正n边形的内角和= 180° （ n-2 ） ；正n边形的每个内角度数= ；正n边形外角和
n
360∘
=360°；正n边形的每个外角度数= ．
n
（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的
半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形
的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
（二）与圆有关的计算
（1）弧长和扇形面积的计算：
l＝ 扇形的面积S＝
扇形的弧长 ；
（2）圆锥与侧面展开图
①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
②计算公式：,（r为底面半径）
S =πrl（l为母线长，r为底面半径）
侧
（3）圆锥表面积
圆锥体表面积公式： （ 为母线，R为底面半径）
备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积
模块三 考点一遍过
考点1：正多边形与圆
典例1：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在A´B上，则∠CME的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【变式1】如图，AC圆O内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是圆O内接正八边形的一边．
此时AB是圆O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【变式2】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的内切圆，分别切BC、CD于点M、N，P是优弧
MP´N上的一点，则∠MPN的度数为 °．
【变式3】如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在M´N上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 ．
考点2：扇形弧长计算
典例2：如图，AB是⊙O的直径，AB=6，C是上半圆弧AB的中点，D是下半圆AB上一个动点，
过点A作CD的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（ ）
3 3
A． π B． √2π C．3π D．3√2π
2 2
【变式1】如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则B´D的长为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．π
4 3 3
【变式2】如图，用一个半径为10cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没
有滑动．若重物上升5πcm，则滑轮旋转的角度为 °．
【变式3】抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P=135°，⊙O的半径为8cm，则图中
C´D的长为 cm．（结果保留π）
考点3：扇形面积计算
典例3：如图，在矩形ABCD中，CD=2，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在BC
延长线上的点E处，点D经过的路径D´E，则图中阴影部分的面积是（ ）
2 1 4 4
A． π−2√3 B． π−√3 C． π−2√3 D． π−4√3
3 3 3 3
【变式1】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC=45°,OB=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
2π 2π
A．π−4 B． −1 C．π−2 D． −2
3 3
【变式2】如图，菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，
CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号）
【变式3】如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且A´C=B´C，连接BC，以B为圆心，
BC长为半径画弧交AB于点D，若AB=4，则阴影部分的面积为 （结果保个留π）．考点4：旋转过程——路径长
典例4：如图所示，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），
木板上的顶点A的位置变化为A→A →A ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿
1 2
A C与桌面成30°角，则点A翻滚到A 时，共走过的路径长为（ ）
2 2
A．10πcm B．3.5πcm C．4.5πcm D．2.5πcm
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=40°，AC=6．将Rt△ABC绕AC的中
点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动
路径的长为（ ）
4 8
A． π B． π C．2π D．8π
3 3
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=√3，将△ABC绕点B旋转到△
A BC 的位置，此时C, B, A 在同一直线上，则点A经过的最短路径长为 ．
1 1 1
【变式3】如图，已知∠ABC=90°，AB=8，BC=5，半径为2的⊙O从点A出发，沿
A→B→C方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是 ．考点5：旋转过程——扫过面积
典例5：如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点坐标分
别是A(−1,2)、B(−3,1)、C(0,−1)．
(1)画出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△DEC，点D、E分别与点A、B对应；
(2)在（1）的条件下，求线段AC所扫过的图形的面积．（结果保留π）
【变式1】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−4,5)，C(−5,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ．
2 2 2
(3)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后的△A B C ，并求出点C旋转到C 的路径长为________，
3 3 3 3线段AC扫过的面积是_____．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3,3)，B(4,0)，C(0,−1)
(1)以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′B′C′；
(2)在（1）的条件下，
①线段CA扫过的图形面积为______；
②点B经过的路径长为______．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(5,5)，C(5,2)，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′．
(1)画出旋转后的△AB′C′；
(2)直接写出点B′的坐标；
(3)直接写出线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积．（结果保留π）
考点6：圆锥侧面积
典例6：已知圆锥的底面积为9πcm2，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
45
A．4.5πcm2 B． πcm2 C．45cm2 D．15πcm2
2
【变式1】如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底
面半径为（ ）√2 √2 1
A． cm B．√2cm C． cm D． cm
4 2 2
【变式2】在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形
的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 cm．
【变式3】现有32%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童
节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm
的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ．
考点7：圆锥中的最短路径
典例7：如图圆锥的横截面△ABC，BC=4cm，AB=AC=6cm，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母
线AC去，则蚂蚁行走的最短路线长为（ ）cm
A．√3 B．2√3 C．3 D．3√3
【变式1】如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁
沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）A．5 B．3√3 C．3√2 D．6√3
【变式2】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线
OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA′=120°，OA=√3，则蚂蚁爬行的最短距离是
．
【变式3】如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为5cm，母线OE(OF)
长为5cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥
表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
考点8：扇形弧长与面积的实际应用
典例8：如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由
GAPPArchitects&UrbanDesigners修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是
20米，母线长为60米．(1)求这个圆锥的侧面积．
(2)求此圆锥侧面扇形的圆心角．
(3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A
点，则他爬动的最短距离是_________米．
【变式1】综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让
同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线
问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若
圆柱的高AB为2cm．底面直径BC为8cm．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和π）；
拓展迁移：
如图2，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8，底面圆半径为
2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【变式2】粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环
形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，⊙O是粒子真空室，
C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过C´D
时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切．已知：AB=16km，
粒子注入路径与AB夹角a=53°，C´D所对的圆心角是60°．(1)求粒子J在环形运动过程中，粒子J到AB的最远距离；
(2)比较C´D与AB的长度哪个更长；
(3)若粒子J被注入粒子加速器后，三次经过C´D被加速后被引出粒子加速器，求粒子J在粒子加速器
3
内飞行距离．（相关数据：tan37°≈ ）
4
【变式3】在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并
围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当
1
滤纸片重叠部分三层，且每层为 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁
4
（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成
重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
考点9：不规则图形面积
典例9：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB
的平行线交CA的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
3
(2)若DE= AB，AE=√5，求图中阴影部分的面积．
4【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点F在AB上，以AF为直径的⊙O与边BC相切
于点D，与边AC相交于点E，且A´E=D´E，连接EO并延长交⊙O于点G，连接BG．
(1)求证：BG是⊙O的切线；
4
(2)若D´E的长为 π，求图中阴影部分的面积．
3
【变式2】如图，CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，点A为DC延长线上一点，过点O作
OE∥BC交AB的延长线于点E，且∠D=∠E．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若线段OE与⊙O的交点F是OE的中点，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
【变式3】如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，连接AC，AD，OD，其中AC=CD，DA平分
∠CDO，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E．
(1)求证：BE是⊙O的切线．
(2)若AB=12，求图中阴影部分的周长之和．
