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专题 12 一次函数
【专题目录】
技巧1：一次函数常见的四类易错题
技巧2：一次函数的两种常见应用
技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用
【题型】一、正比例函数的定义
【题型】二、正比例函数的图像与性质
【题型】三、一次函数的定义求参数
【题型】四、一次函数的图像
【题型】五、一次函数的性质
【题型】六、求一次函数解析式
【题型】七、一次函数与一元一次方程
【题型】八、一次函数与一元一次不等式
【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）
【题型】十、一次函数的实际应用
【考纲要求】
1、理解一次函数的概念，会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．
2、会求一次函数解析式，并能用一次函数解决实际问题.
【考点总结】一、一次函数和正比例函数的定义
如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫
一次 一次函数与正比 正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质.
函数 例函数的定义
与正
比例
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线。它可以由
一次函数与正比
函数 ( b )
例函数的关系 − ,0
k
直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为 ，与y轴的交点为(0,b).
【考点总结】二、一次函数的图象与性质系数取 大致
函数 经过的象限 函数性质
值 图象
y=kx k>0 一、三 y随x增大而增大
(k≠0) k<0 二、四 y随x增大而减小
一次
函数
k>0
的图 一、二、三
b>0
象与 y随x增大而增大
k>0
性质 y=kx+b 一、三、四
b<0
k<0
(k≠0) 一、二、四
b>0
y随x增大而减小
k<0
二、三、四
b<0
【注意】
1、确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
（1）由题意设出函数的关系式;
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;
（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
2、y＝kx＋b与kx＋b＝0
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点
的横坐标．
3、y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象
的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象
所对应的x的取值范围．
4、一次函数与方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的
解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．
【技巧归纳】
技巧1：一次函数常见的四类易错题
【类型】一、忽视函数定义中的隐含条件而致错
1．已知关于x的函数y＝(m＋3)x|m＋2|是正比例函数，求m的值．2．已知关于x的函数y＝kx－2k＋3－x＋5是一次函数，求k的值．
【类型】二、忽视分类或分类不全而致错
3．已知一次函数y＝kx＋4的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求这个一次函数的表达式．
4．一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的函数值的取值范围为1≤y≤9，求k＋b的值．
5．在平面直角坐标系中，点P(2，a)到x轴的距离为4，且点P在直线y＝－x＋m上，求m的值．
【类型】三、忽视自变量的取值范围而致错
6．若等腰三角形的周长是80 cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系的图像
是( )
7．若函数y＝则当y＝20时，自变量x的值是( )
A．± B．4 C．±或4 D．4或－
8．现有450本图书供给学生阅读，每人9本，求余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式，
并求自变量x的取值范围．
【类型】四、忽视一次函数的性质而致错
9．若正比例函数y＝(2－m)x的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A．m<0 B．m>0 C．m<2 D．m>2
10．下列各图中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx(m，n是常数，且mn≠0)的大致图像的是(
)
11．若一次函数y＝kx＋b的图像不经过第三象限，则k，b的取值范围分别为k________0，b________0.
[来
技巧2：一次函数的两种常见应用
【类型】一、利用一次函数解决实际问题
题型1：行程问题1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车
行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论：
①A，B两城相距300 km；
②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；
③乙车出发后2.5 h追上甲车；
④当甲、乙两车相距50 km时，t＝或.
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离
甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的
函数关系，根据图像，解答下列问题：
(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h；
(2)求线段DE对应的函数表达式；
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
题型2：工程问题
3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工
作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图像如图所示．
(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式．
(2)求乙组加工零件总量a的值．
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长
时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？题型3：实际问题中的分段函数
4．某种铂金饰品在甲、乙两个商场销售．甲标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙标价为530元/g，
但若买的铂金饰品质量超过3 g，则超出部分可打八折．
(1)分别写出到甲、乙两个商场购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数表达式；
(2)李阿姨要买一个质量不少于4 g且不超过10 g的此种铂金饰品，到哪个商场购买合算？
5.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为
单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10
t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应
交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？
(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式．
【类型】二、利用一次函数解决几何问题
题型4：利用图像解几何问题
6．如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，
设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图像如图②所示，请回答下列问题：
(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，△APD的面积S的最
大值为________cm2；
(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式；
(3)当t为何值时，△APD的面积为10 cm2?题型5：利用分段函数解几何问题(分类讨论思想、数形结合思想)
7．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D.如图，设
动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.(当点P与点A或D重合时，y＝0)
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图像．
技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用
【类型】一、利用两直线的交点坐标确定方程组的解
1．已知直线y＝－x＋4与y＝x＋2如图所示，则方程组的解为( )
A. B. C. D.
2．已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，a)，试确定方程组的解和a，b的值．
3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4的图像如图所示．
(1)在同一坐标系中，作出一次函数y＝2x－5的图像；
(2)用作图像的方法解方程组
(3)求一次函数y＝－x＋4与y＝2x－5的图像与x轴所围成的三角形的面积．
【类型】二、利用方程(组)的解求两直线的交点坐标4．已知方程组的解为则直线y＝mx＋n与y＝－ex＋f的交点坐标为( )
A．(4，6) B．(－4，6) C．(4，－6) D．(－4，－6)
5．已知和是二元一次方程ax＋by＝－3的两组解，则一次函数y＝ax＋b的图像与y轴的交点坐标是( )
A．(0，－7) B．(0，4) C. D.
【类型】三、方程组的解与两个一次函数图像位置的关系
6．若方程组没有解，则一次函数y＝2－x与y＝－x的图像必定( )
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
7．直线y＝－ax＋b 与直线y＝ax＋b 有唯一交点，则二元一次方程组的解的情况是( )
1 1 2 2
A．无解 B．有唯一解 C．有两个解 D．有无数解
【类型】四、利用二元一次方程组求一次函数的表达式
8．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式．
9．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点A(3，－3)，且与直线y＝4x－3的交点B在x轴上．
(1)求直线AB对应的函数表达式；
(2)求直线AB与坐标轴所围成的△BOC(O为坐标原点，C为直线AB与y轴的交点)的面积．
【题型讲解】
【题型】一、正比例函数的定义
例1、若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．
【题型】二、正比例函数的图像与性质
例2、若正比例函数 经过两点（1， ）和（2， ），则 和 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【题型】三、一次函数的定义求参数
例3、已知一次函数 的图象经过点 ，且 随 的增大而减小，则点 的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、一次函数的图像
例4、若m ﹣2，则一次函数 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【题型】五、一次函数的性质
例5、设 ，关于 的一次函数 ，当 时的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【题型】六、求一次函数解析式
例6、直线 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【题型】七、一次函数与一元一次方程
例7、一次函数 （ 为常数且 ）的图像经过点（－2，0），则关于 的方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
【题型】八、一次函数与一元一次不等式例8、如图，直线 经过点 ，当 时，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）
例9、在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则
△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【题型】十、一次函数的实际应用
例10、A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出
现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇
到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y
（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小
时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
一次函数（达标训练）
一、单选题
1．已知一次函数 经过 ， ，且 ，它的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
2．已知一次函数 经过 ， 两点，且 ，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则m可能的取值为（ ）
A．-1 B． C．0 D．
4．一次函数 的图象经过（ ）
A．一、二、四象限 B．一、三、四象限
C．一、二、三象限 D．二、三、四象限
5．若 ，y是x的正比例函数，则b的值是（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题
6．请写出一个图象经过点 的函数的解析式：______．
7．将直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________．
三、解答题
8．某中学积极响应“双减”政策，为了丰富学生的课外活动，激发学生参加体育活动的兴趣，准备购买
一批新的羽毛球拍．已知甲、乙两商店销售同一种羽毛球拍，但两个商店的原价和销售方式均不同．在甲商店，无论一次性购买多少支羽毛球拍，一律按原价出售；在乙商店，一次性购买羽毛球拍的数量不超过
20支，按原价销售，若一次性购买球拍数量超过20支，超出的部分打八折．设该学校购买了x支羽毛球
拍，在甲商店购买所需的费用为 元，在乙商店购买所需的费用为 元， ， 关于x的函数图像如图所
示．
(1)分别求出 ， 关于x的函数解析式．
(2)请求出m的值，并说明m的实际意义．
(3)若该学校一次性购买羽毛球拍的数量超过80支，但不超过120支，到哪家商店购买更优惠？
一次函数（提升测评）
一、单选题
1．一次函数 的图象如图所示，则使式子 有意义的 的值可能为（ ）
A．－3 B．－1 C．－2 D．2
2．已知直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，若将直线 向右平移m（m>0）个单位得到直
线 ，直线 与x轴交于C点，若△ABC的面积为6，则m的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知一次函数y=-kx+k，y随x的增大而减小，则在直角坐标系内大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4．在平而直角坐标系中，一次函数 的图像关于直线 对称后经过坐标原点，则m的值为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．甲、乙两自行车运动爱好者从A地出发前往B地，匀速骑行．甲、乙两人离A地的距离y（单位：
km）与乙骑行时间x（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．乙骑行1h时两人相遇
B．甲的速度比乙的速度慢
C．3h时，甲、乙两人相距15km
D．2h时，甲离A地的距离为40km
二、填空题
6．如图，直线 和 相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是______．7．如图，直线l的函数表达式为 ，在直线l上顺次取点 ，
构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为 ，则 __________．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中m＞0，直线y＝kx﹣1与y轴相
交于C点．
(1)求点C坐标 ．
(2)若m＝2，
①求△ABC的面积；②若点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，求k的取值范围；
(3)当k＝﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB的交点为P点（不与A点、B点重合），且AP＜2，求m的取值
范围．
