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专题 08 一元二次方程
【专题目录】
技巧1：一元二次方程的解法归类
技巧2：根的判别式的六种常见应用
技巧3：根与系数的关系的四种应用类型
【题型】一、一元二次方程的概念
【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法
【题型】三、解一元二次方程：配方法
【题型】四、解一元二次方程：公式法
【题型】五、解一元二次方程：因式分解法
【考纲要求】
1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法．
2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．
3、会列一元二次方程解决实际问题.
【考点总结】一、一元二次方程
（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整
式方程，叫做一元二次方程.
概念 （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次
项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系
一 数，注意a≠0.
元 x=−m±√n
① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是
二 ( b ) 2 b2 −4ac
x+ =
次 2a 4a2
一元二次方程 解法 配方法:将 ax2+bx+c=0(a≠0)化成 的形式，当 b2-
方 4ac≥0时，用直接开平方法求解
（降
公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
程
次） −b± √b2 −4ac
方 x= (b2 −4ac≥0)
2a
程 因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因
式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方
程的解
（1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
根的判 （2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
别式
（3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.
【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
① 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
② 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
③ 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是 ．
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤
b c
x2 + x+ =0
a a
1、一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
b c
x2 + x=−
a a
2、二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
3、三配：
b b 2 c b 2
x2 + x+ ( ) =− + ( )
a 2a a 2a
①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；
( b ) 2 b2 −4ac
x+ =
2a 4a2
②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；
4、四解：
b √b2 −4ac
x+ =±
2a 2a
①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数 。
−b± √b2 −4ac
x=
2a
②分别解这两个一元二次方程，求出两根 。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择
（1）当b=0时，首选直接开平法
（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法
（3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法
（4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法
一元二次方程根与系数关系的两类应用
（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和
与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果
（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x+x 和xx 的值，然后依照所求方程是x2（x+x）
1 2 1 2 1 2
x+xx=0写出方程
1 2【技巧归纳】
技巧1：一元二次方程的解法归类
【类型】一、限定方法解一元二次方程
题型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解
1．方程4x2－25＝0的解为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝± D．x＝±
2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解
3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( )
A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2
4．解方程：x2＋4x－2＝0.
5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值．
题型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2
7．解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1.
题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解
8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
9．用公式法解下列方程．
(1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2.
【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程
10．方程4x2－49＝0的解为( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝，x＝－ D．x＝，x＝－
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11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是( )
A．x＝x＝3 B．x＝x＝－4 C．x＝3和x＝－4 D．x＝3和x＝4
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12．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是( )
A．x＝1，x＝－3 B．x＝4，x＝－2 C．x＝－1，x＝3 D．x＝－4，x＝2
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13．解下列方程．(1)3y2－3y－6＝0； (2)2x2－3x＋1＝0.
【类型】三、用特殊方法解一元二次方程
题型1：构造法
14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.
15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．
题型2：换元法
a．整体换元
16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
17．x2＋－2－1＝0.
b．降次换元
18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
c．倒数换元
19．解方程：－＝2.
题型3：特殊值法
20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.
技巧2：根的判别式的六种常见应用
【类型】一、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．
2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
【类型】二、利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【类型】三、利用根的判别式求代数式的值
4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．
【类型】四、利用根的判别式解与函数综合问题
5．y＝x＋1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为( )
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【类型】五、利用根的判别式确定三角形的形状
6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试
判断此三角形的形状．
【类型】六、利用根的判别式探求菱形条件
7．已知 ▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．
(1)m为何值时， ▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．
(2)若AB的长为2，求 ▱ABCD的周长是多少？
技巧3：根与系数的关系的四种应用类型
【类型】一、利用根与系数的关系求代数式的值
1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x，x，不解方程求下列各式的值．
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(1)(x －3)(x－3)； (2)＋； (3)x－x.
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【类型】二、利用根与系数的关系构造一元二次方程
2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．
【类型】三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x，x，且满足5x＋2x＝2，求实数m的值．
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【类型】四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性
4．已知x ，x 是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x －x)
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(x－2x)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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【题型讲解】
【题型】一、一元二次方程的概念
例1、若方程 是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．–1
【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法
例2、解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【题型】三、解一元二次方程：配方法
例3、用配方法解方程．（1） ；
（2） ．
【题型】四、解一元二次方程：公式法
例4、解方程
【题型】五、解一元二次方程：因式分解法
例5、用因式分解法解下列方程：
（1） ；
（2） ．
一元二次方程（达标训练）
一、单选题
1．（2022·四川泸州·一模）方程x2﹣6x＝0的解是（ ）
A．x＝6 B．x＝0 C．x＝6，x＝0 D．x＝﹣6，x＝0
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2．（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程 在用求根公式
求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1
3．（2022·浙江温州·一模）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）方程 的两个根为（ ）
A． ＝﹣3， ＝3 B． ＝﹣9， ＝9 C． ＝﹣1， ＝9 D． ＝﹣9， ＝1
5．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的一元二次方程a ﹣5ax+4＝0，有一个根
为1．则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能确定二、填空题
6．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）设 ， 是关于x的方程 的两个根，
，则 _____．
7．（2022·广东·乐昌市新时代学校二模）比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由
于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．设该公司销售该型汽车
4月份和5月份的平均增长率为x，可列方程为：_________．
三、解答题
8．（2022·四川南充·一模）已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．
(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值．
一元二次方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）关于 的一元二次方程 两个相等的实数
根，则关于 的一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
2．（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）若 和 是关于x的方程 的两根，且
，则b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．54．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程 有两个解，则k的
取值范围是（ ）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
5．（2022·重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式 （m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当 时，若 ，则
②无论x取任何实数，等式 都恒成立，则
③若 ， ，则
④满足 的整数解 共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2022·辽宁本溪·二模）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取
值范围是_______．
7．（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式 =__________．
三、解答题
8．（2022·广东顺德德胜学校三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动
点．
(1)请直接写出函数 的不动点 的坐标；
(2)若函数 有两个关于原点对称的不动点 ， ，求 的值；
(3)已知函数 ，若对任意实数 ，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出 的取
值范围．
