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专题08 一元一次方程
一、解一元一次方程
【高频考点精讲】
1．解一元一次方程的一般步骤：
（1）一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
（2）所有步骤目的：使方程逐渐向x＝a形式转化。
2．解一元一次方程时，应该先观察方程的形式和特点，如果有分母一般先去分母；如果既有分母又有括号，且括
号外的项乘以括号内各项后能消去分母，就先去括号；
3．求解“ax+bx＝c”类型方程时，将方程左边按照合并同类项的方法并为一项，即（a+b）x＝c，使方程逐渐转化
为ax＝b的最简形式，体现化归思想。将ax＝b系数化为1时，首先弄清楚求x时，方程两边除以的是a还是b，
尤其a为分数时；其次要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负。
【热点题型精练】
1．（2022•黔西南州中考）小明解方程 ﹣1＝ 的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
答案：A．
2．（2022•海南中考）若代数式x+1的值为6，则x等于（ ）
A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7
解：根据题意可得，
x+1＝6，
解得：x＝5．
答案：A．
3．（2022•百色中考）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
解：移项得：3x﹣2x＝7，合并同类项得：x＝7．
答案：C．
4．（2022•温州模拟）解方程 ，去分母后正确的是（ ）
A．2（2x﹣1）＝6+3x B．2（2x﹣1）＝1+3x
C．4x﹣1＝1+2x D．4x﹣1＝6+2x
解：解方程 ＝1+ ，
去分母得：2（2x﹣1）＝6+3x．
答案：A．
5．（2022•威海中考）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 1 ．
解：当x＞0时， +1＝2，
解并检验得x＝1．
当x≤0时，2x﹣1＝2，
解得x＝1.5，
∵1.5＞0，舍去．
所以x＝1．
答案：x＝1．
6．（2022•龙岩模拟）整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x
的方程2mx+4n＝﹣4的解是 x ＝ 0 ．
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
mx+2n 2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6
解：由表中可知：当x＝﹣1时，mx+2n＝0，当x＝0时，mx+2n＝﹣2，
所以 ，解得： ，
代入方程2mx+4n＝0得：﹣4x﹣4＝﹣4，
解得：x＝0，
答案：x＝0．
7．（2022•厦门模拟）解方程： ﹣1＝
解：方程左右两边同时乘以15，得3（2x+1）﹣15＝5（x﹣2），
去括号得：6x+3﹣15＝5x﹣10，
移项合并同类项得：x＝2．
二、由实际问题抽象出一元一次方程
【高频考点精讲】
1．“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在此类问题中，首先表示出各部分的量和总
量，然后利用它们之间的等量关系列方程；
2．“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中另一个基本关系式，也是列方程的一种基本方法。通过
对同一个量从不同角度用不同的式子表示，进而列出方程。
【热点题型精练】
8．（2022•营口中考）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：
“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天
走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则
下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
答案：D．
9．（2022•十堰中考）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．
今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，
现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C． + ＝5 D． + ＝5
解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，答案：A．
10．（2022•六盘水中考）我国“DF﹣41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），
则“DF﹣41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程
（ ）
A．26×340×60x＝12000 B．26×340x＝12000
C． ＝12000 D． ＝12000
解：根据题意得： ＝12000，
答案：D．
11．（2022•南通中考）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊
价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊
价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 5 x +4 5 ＝ 7 x ﹣ 3 ．
解：若设人数为x，则可列方程为：5x+45＝7x﹣3．
答案：5x+45＝7x﹣3．
12．（2022•杭州模拟）小明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时16分钟．如
果他骑自行车的平均速度是每分钟240米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是3000米，
设他推车步行的时间为x分钟，则可列方程 8 0 x +24 0 （ 1 6 ﹣ x ）＝ 300 0 ．
解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为（16﹣x）分钟，
依题意得：80x+240（16﹣x）＝3000，
答案：80x+240（16﹣x）＝3000．
13．（2022•赣州模拟）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：九百九十九文钱，
及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问：梨果多少价几何？此题的题意是：用 999文钱买得
梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个．问买梨、果各几个？设梨买x个，可列方程为：
．
解：设梨买x个，则果买（1000﹣x）个，
由题意，得 x+ （1000﹣x）＝999．
答案： x+ （1000﹣x）＝999．
三、一元一次方程的应用
【高频考点精讲】1．销售问题：利润＝售价﹣进价，利润率＝ ×100%；
2．工程问题：
（ ）工作量＝人均效率×人数×时间；
（12）如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段工作量的和＝工作总量；
3．行程问题：路程＝速度×时间；
4．水流航行问题：
（1）顺水速度＝静水速度+水流速度；
（2）逆水速度＝静水速度﹣水流速度。
【热点题型精练】
14．（2022•铜仁中考）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答
题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对
的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
解：设小红答对的个数为x个，
由题意得5x﹣（20﹣x）＝70，
解得x＝15，
答案：B．
15．（2022•河北中考）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面
标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记
位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为
120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ）
A．依题意3×120＝x﹣120
B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120
C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤
解：由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和＝21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，
∵已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，
∴20x+3×120＝（20+1）x+120，
∴A选项不正确，B选项正确；
由题意：大象的体重为20×240+360＝5160斤，
∴C选项不正确；
由题意可知：一块条形石的重量＝2个搬运工的体重，
∴每块条形石的重量是240斤，
∴D选项不正确；
综上，正确的选项为：B．
答案：B．
16．（2022•岳阳中考）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，
不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有 100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下
的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
解：设城中有x户人家，
依题意得：x+ x＝100，
解得：x＝75，
∴城中有75户人家．
答案：B．
17．（2022•绥化中考）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长
的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，
如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 1. 2 或者 1. 5 ．
解：第一次操作后的两边长分别是x和（2﹣x），第二次操作后的两边长分别是（2x﹣2）和（2﹣x）．
当2x﹣2＞2﹣x时，有2x﹣2＝2（2﹣x），解得x＝1.5，
当2x﹣2＜2﹣x时，有2（2x﹣2）＝2﹣x，解得x＝1.2．
答案：1.2或者1.5．
18．（2022•百色中考）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶 7千米后，进入高
速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（t）和路程（s）数据如表，按照这个
速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米到达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 21 2 千米．t（小时） 0.2 0.6 0.8
s（千米） 20 60 80
解：设小韦家到纪念馆的路程是x千米，依题意有：
＝2，
解得x＝212．
故小韦家到纪念馆的路程是212千米．
答案：212．
19．（2022•乐山中考）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．
如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 5 ．
解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，
依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，
解得：x＝1，
∴5x＝5×1＝5，
即正方形d的边长为5．
答案：5．
20．（2022•镇江中考）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，
要求本月底完成，7月1日按期交货．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该公司
除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同．但因受高温天气影响，从本月 10日开始，每天的生产量比原来
减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由．如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货．
解：设从本月10日开始每天的生产量为x件，
则3（x+25）+6x＝3830﹣2855，
解得x＝100，
如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，
这9天可生产900件，
∵900+3830＝4730＜5000，
∴不能按期完成订单，
由（5000﹣3830）÷9＝130，
∴为确保能按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件．
21．（2022•河池中考）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单
价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，
求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
解：（1）设桂花树的单价是x元，则芒果树的单价是（x﹣40）元，
根据题意得：3x+2（x﹣40）＝370，
解得x＝90，
∴x﹣40＝90﹣40＝50，
答：桂花树的单价是90元，芒果树的单价是50元；
（2）根据题意得：w＝90n+50（60﹣n）＝40n+3000，
∴w关于n的函数关系式为w＝40n+3000，
∵40＞0，
∴w随n的增大而增大，
∵桂花树不少于35棵，
∴n≥35，
∴n＝35时，w取最小值，最小值为40×35+3000＝4400（元），
此时60﹣n＝60﹣35＝25（棵），
答：w关于n的函数关系式为w＝40n+3000，购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，费用最低，最低费用为
4400元．
