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专题 09 一次函数
1．一次函数与正比例函数的定义
如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数.正比例函数是
一次函数的特例，具有一次函数的性质.
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到.它与x
( b )
− ,0
k
轴的交点为 ，与y轴的交点为(0,b).
3．一次函数的图象与性质
系数取 大致
函数 经过的象限 函数性质
值 图象
y=kx k>0 一、三 y随x增大而增大
(k≠0) k<0 二、四 y随x增大而减小
k>0
一、二、三
b>0
y随x增大而增大
k>0
y=kx+b 一、三、四
b<0
k<0
(k≠0)
一、二、四
b>0
y随x增大而减小
k<0 二、三、四b<0
4．确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
（1）由题意设出函数的关系式;
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;
（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
【考点1】一次函数图象与性质
【例1】（一次函数图像）（2022·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的
图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（一次函数图像性质）（2021·辽宁营口市·中考真题）已知一次函数 过点 ，则
下列结论正确的是（ ）
A．y随x增大而增大 B．
C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【例3】（一次函数图像性质）（2022·浙江绍兴）已知 为直线 上的三个
点，且 ，则以下判断正确的是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
解答本考点的有关题目，关键在于掌握一次函数的图象与系数的关系. 注意以下要点：
（1）当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
（2）当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
（3）当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
（4）当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小.
1．（2022·四川凉山）一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·内蒙古包头）在一次函数 中，y的值随x值的增大而增大，且 ，则点
在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的
一个特征．
甲：函数图像经过点 ； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当 时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）A． B． C． D．
5．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·天津）若一次函数 （b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是
___________（写出一个即可）．
7．（2022·甘肃武威）若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=_________（写
出一个满足条件的值）．
【考点2】一次函数解析式的确定
【例4】（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）某物体在力 的作用下，沿力的方向移动的距离
为 ，力对物体所做的功 与 的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2022·四川广安）在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的
函数的解析式是（ ）A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=3x+1 D．y=3x﹣1
【例6】（2022·浙江丽水）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车
从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 ，货车行驶时的速度是 ．两车离甲
地的路程 与时间 的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程 与时间 的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
1．（2022·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形
ABEF是菱形，且tan∠ABE= ．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，
则直线l的解析式为（ ）A． B． C． D．
2．（2021·内蒙古呼和浩特市）在平面直角坐标系中，点 ， ．以 为一边在第一象限作
正方形 ，则对角线 所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江大庆）写出一个过点 且y随x增大而减小的一次函数关系式_______．
4．（2022·湖北鄂州）在“看图说故事”话动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育
场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时
间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．【考点3】一次函数与方程、不等式的关系
【例7】（一次函数与方程）（2022·浙江杭州）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交
点坐标是（1，2），则方程组 的解是_________．
【例8】（一次函数与不等式）（2022·江苏扬州）如图，函数 的图像经过点 ，则关于
的不等式 的解集为________．
1．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直线 和 与x轴分别相交于点 ，点
，则 解集为（ ）A． B． C． D． 或
2．（2021·广西贺州市·中考真题）直线 （ ）过点 ， ，则关于 的方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·福建中考真题）如图，一次函数 的图象过点 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 与直
线 相交于点 ．根据图象可知，关于 的不等式 的解集是（ ）A． B． C． D．
5．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，则关于
的方程 的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【考点4】一次函数的实际应用
1
【例9】（几何运用）如图，直线l 的解析式为y= x+1，且l 与x轴交于点D，直线l 经过定点A、B，直
1 1 2
2
线l 与l 交于点C．
1 2
（1）求直线的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．【例10】（路程问题）（2022·浙江湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．
大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车
行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的
函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
【例11】（最大利润）（2021·江苏连云港市）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A
型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的 ，请设计出最
省钱的购买方案，并求出最少费用．1．（2022·黑龙江牡丹江）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级
通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带
一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两
组的所走路程y （千米）、y （千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供
甲 乙
的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了___小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多
少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计
算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
2．（2022·黑龙江牡丹江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，
y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐
标．3．（2020•乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成
都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆）
商务车 6 300
轿车 4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的
情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
4．（2021·云南中考真题）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线 ，射线 分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资 （单位：
元）和 （单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（ ）的函数关系．（1）分别求 ﹑ 与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这
个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
