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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 （ 全国通用 ）
专题10二次函数与圆存在性问题
二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性
最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很
好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的
关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.
二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、
垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解
析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.
【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A
（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点
D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．
（1）求抛物线的表达式；
（2）以点G为圆心，BG为半径画 G；以点E为圆心，EF为半径画 E．
当 G与 E内切时． ⊙ ⊙
①⊙试证明⊙EF与EB的数量关系；
②求点F的坐标．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛
物线上，且△ABC是等腰直角三角形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你
的结论．
【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．
（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．
①求抛物线的解析式；
②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；
（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D
（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物
线的对称轴交x轴于点P，联结PA．
（1）求线段PA的长；
（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；
（3）以点P为圆心、PA为半径的 P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在 P上，且劣弧
⊙ ⊙
＝2 ．如果抛物线经过点Q，求a的值．
1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，
与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与
DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点
B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；
（4）若点P为 O上的动点，且 O的半径为2 ，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速
度沿线段AP匀⊙速运动到点P，再以⊙每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求
点E的运动时间t的最小值．
3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，
6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心， 为半径作 C，在 C上是否存在点P，使得BP+ EP的值最小，若存
在，请求出最小值；若不存在，请说明理由⊙． ⊙
4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在
B的左侧），与y轴交于点C．
（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．
（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值
若没有，请说明理由；
（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．
问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明
理由．
5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、
B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．
1°求线段MN的最大值；
2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．
6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐
标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及 M的半径；
⊙
②过点B作 M的切线交于点P（如图2），设Q为 M上一动点，则在点运动过程中 的值是否变
化？若不变，⊙求出其值；若变化，请说明理由． ⊙
7．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，
﹣2）为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作 E，交x轴于B、C两点，点M为 E上一点．
⊙ ⊙①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，
请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．
8．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的
半径r＝ ，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与 O相切．
（3）已知P为抛物线上⊙一动点，线段PO交 O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四
边形时，求PM的长． ⊙
9．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，
0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC ＝ ，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作 M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交 M于点E．点P在运动过
程中线段DE的长是否变化，若有变⊙化，求出DE的取值范围；若不变，求D⊙E的长．
10．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F
（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相
切．若存在，求出点E的坐标，并求 E的半径；若不存在，说明理由．
⊙
11．（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系 xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次
函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心， 为半径作圆．请判断 P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐
⊙
标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个
交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
12．（2021•常州二模）如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点
C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．
（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F
在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．
13．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交
于另一点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）以C为圆心，1为半径作 O，D为 O上一动点，求DA+ DB的最小值
⊙ ⊙
14．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x
轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点 M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线
段CM＝CD时，求点M的坐标；
（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作 O，点P为 O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最
小值． ⊙ ⊙
15．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C
（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝ ，若∠OBN＝∠ONA，且 ，求抛物线的解析式；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线 ，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：y＝
kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P 、P ，使∠CP D＝∠CP D＝90°，求k的取值
1 2 1 2
范围．
16．（2021秋•上城区校级期中）如图，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左
边），与y轴交于点C， M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，⊙及A、B、C三点的坐标；
（2）求 M的半径和圆心M的坐标；
（3）如⊙图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与
△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2021秋•西湖区校级期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图
所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的
直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；
（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也
在“蛋圆”上，求点E坐标；（3）点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．
18．（2021•雨花区二模）如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，
B为OD中点．
（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；
（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点
N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；
（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．
19．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C ：y＝ x2+ x上，点A
1
的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）
（1）则m＝ ，n＝ ．
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C ：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长
2
OB'交抛物线C 于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为 M．
2
①求圆心M的坐标； ⊙
②试直接写出△OA'C的外接圆 M与抛物线C 的交点坐标（A'、C除外）．
2
⊙20．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，
3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．
（1）当m＝1时．
①该二次函数的图象的对称轴是直线 ．
②求该二次函数的表达式．
（2）当| m|≤x≤| m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．
（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．
21．（2022•炎陵县一模）抛物线：y＝﹣x2+bx+c与y轴的交点C（0，3），与x轴的交点分别为E、G两
点，对称轴方程为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段
OC上一动点．若PD⊥PF，求点P的坐标．
（3）如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求
∠OHG的度数；
（4）如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点．直线y＝kx﹣k+4（k＜0）
与抛物线L交于点M、N．与对称轴交于点G，若△BMN的面积等于2 ，求k的值．22．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ +bx+c与x轴相交于点
A（4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的
垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设△PMN的周长为C ，△AEN的周长为C ，如果 ，求点P的坐标；
1 2
（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．
