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专题 13 三角形与多边形的有关概念及性质
一、三角形有关概念及性质
1．三角形的分类
（1）三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
（2）三角形按边分类：
① 一般三角形：三边都不等的三角形；
② 等腰三角形：两边相等的三角形；
③ 等边三角形：三边都相等的三角形
2．三角形的边的关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边.
（2）三角形任意两边之差小于第三边
3．三角形的角的关系
（1）三角形三个内角的和等于180°；特别地，当有一个内角是 90° 时，其余的两个内角互余.
（2）三角形的外角和等于360°.
（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的任意一个外角大于任意一个和它
不相邻的内角
4．三角形的中线
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.
（3）三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分
5．三角形的高
（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.（2）一个三角形有三条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部
6．三角形的角平分线
（1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角
平分线. 它区别于一个角的平分线在于它是线段，而一个角的平分线是射线.
（2）三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心.这个点也是这个三角
形内切圆的圆心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等
7．三角形的中位线
（1）连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.
（2）一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.
（3）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
二、多边形
1．多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.
2．正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.
3．多边形的对角线：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段.
【考点1】三角形的相关概念与计算
【例1】（三角形的特性）（2022·湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．
【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，
故选D．
【例2】（三角形三边关系）（2022·四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（
）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
C、 ，能组成三角形，此项符合题意；
D、 ，不能组成三角形，此项不符题意；
故选：C．
【例3】（三角形内角和）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C=1：1：2；那么△ABC的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由条件可分别设∠A、∠B、∠C的度数分别为x°、x°、2x°，根据三角形内角和定理可求得x，可
求得三角形三个内角，可得出答案．
【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，
∴设∠A、∠B、∠C的度数分别为x°、x°、2x°，
根据三角形内角和定理可得x+x+2x=180，解得x=45，
∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用
（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.
（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.
（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A. 梯形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 平行四边形
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得答案．
【详解】直角三角形具有稳定性，梯形、长方形、平行四边形都不具有稳定性．
故选：C2．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系进行判断．
【详解】A、 ，不能组成三角形；
B、 ，不能组成三角形；
C、 ，能组成三角形；
D、 ，不能组成三角形；
故选C．
3．（2021·湖南娄底市） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】先根据三角形三边的关系求出 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】
解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故选：D．
4．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，这个三角形一定是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【答案】B
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，
可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．【详解】设三角分别为2x，3x，5x，
依题意得2x+3x+5x=180°，
解得x=18°．
故三个角分别为：36°，54°，90°．
所以这个三角形一定是直角三角形，
故选B．
【考点2】三角形的角平分线，中线，高，内心，外心
【例4】（三角形的高）（2022·广西玉林）请你量一量如图 中 边上的高的长度，下列最接近的
是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AO⊥BC，
用刻度尺直接量得AO更接近2cm，故选：D．
【例5】（中线）如图，已知点 是 中 边上的中线，若 的面积是4，则 的面积是
（ ）
A. 4 B. 1 C. 2 D. 不确定【答案】C
【分析】三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
【详解】解：∵点 是 中 边上的中线，
∴S =S = S =2，
△BCD △ABD △ABC
故选C．
1．如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，
下列判断，其中正确的个数是（ ）
①BG是△ABD中边AD上的中线； AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平
分线； ②
③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．
【解析】解： G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；
因为∠1＝∠①2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；
②因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．
③故选：C．
2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．
故选：D3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S ＝2S
△ABC △ABF
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解析】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S ＝2S ，D说法正确，不符合题意；
△ABC △ABF
故选：C．
4．（2022·河北）如图，将 ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是 ABC的（
） △ △
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得 ，作出选择即可．
【详解】解：如图，∵由折叠的性质可知 ，
∴AD是 的角平分线，故选：D．
5．（2022·黑龙江哈尔滨）在 中， 为边 上的高， ， ，则 是
___________度．
【答案】40或80##80或40
【分析】根据题意，由于 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三
角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知 ，
，
故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
综上所述： 或 ，
故答案为： 或 ．
【考点3】三角形的中位线定理
【例6】（中位线）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，
连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
【分析】由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE= BC，根据平
行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四
边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答
案．
【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=
BC，
∵∠ABC＝90°，∴∠ADE=∠ABC=90°，在△MBD和△EDA中， ，∴△MBD≌△EDA，∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，∴四边形DMBE是平行四边形，∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．故选：C．
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
1．（2020•内江）如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点，S 四边形BCED ＝15，则 S △ABC ＝
（ ）
A．30 B．25 C．22.5 D．20
1
【分析】先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE= BC，进而得出△ADE∽△ABC，又由相似三
2
角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
【解析】∵D、E分别是AB、AC边上的中点，
1
∴DE∥BC，DE= BC，
2
∴△ADE∽△ABC，
∴S （DE）2 1，
△ADE= =
S BC 4
△ABC
∴S
△ADE
：S四边形BCED ＝1：3，
即S ：15＝1：3，
△ADE
∴S ＝5，
△ADE
∴S ＝5+15＝20．
△ABC
故选：D．ABC D AB AD AC,AE CD E F BC
2．如图，在 中， 是 上一点， 于点 ，点 是 的中点，若
BD10，则EF 的长为（ ）
8 6 5 4
A． B． C． D．
【答案】C
AD AC AE CD
【分析】首先根据 可得△ACD为等腰三角形，再由 结合“三线合一”性质可得E
为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．
AD AC
【解析】∵ ，∴△ACD为等腰三角形，
AE CD
∵ ，∴E为CD的中点，（三线合一）
1
EF BD 5
又∵点F 是BC的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴ 2 ，故选：C．
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝ CD，连接
OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．【答案】1
【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得
CF的长度．
【解析】如图，作OG∥BC交DC于G点，
∵O为BD的中点，∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，∴ ，
又∵ ，∴ ，即C为EG的中点，
∵CF∥OG，∴CF为△OGE的中位线，∴ ，故答案为：1．
4．如图，在 中， 是 边的中线， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】取 的中点 ，连接 ，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判
定即可证得．
【解析】证明：取 的中点 ，连接 ，∵ 是 边的中线，∴ 是 边的中点，∴ ， ．
∴ ， ．∵ 是 的中点，∴ ，
在△MDE和△FCE中， ∴ ．∴ ，∴ ．
【考点4】多边形的内角和与外角和
【例7】（求内角和）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
【答案】A
【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．
【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得： ，
∴这个多边形的内角和为： ，故选A．
【例8】（判定多边形的形状）（1）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，
则这个多边形是________边形．
【答案】七
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值，再
由多边形的内角和为：（n-2）×180°，可求出其内角和．
【详解】解：由题意得，n-2=5，解得：n=7，故答案为：七．
（2）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】9
的
【详解】解：360÷40=9，即这个多边形 边数是9．故答案为：9．
（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;
（2）多边形的外角和：360°.
1．已知一个 边形的每一个外角都相等，一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是 ，则 的值是
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据题意利用内角与外角的比值可以求出这个外角，再利用外角和公式即可计算出n的值．
【详解】设这个n边形的一个内角为7x，则与这个内角相邻的外角的度数为2x，
根据题意可知 ，解得： ．
则与这个内角相邻的外角的度数为 ．
∴ ，．解得： ．故选：B．
2．从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是_____．
【答案】144°
【分析】先由n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的
内角和定理可得答案．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则：n﹣3=7解得：n=10
∴这个多边形有10条边，∴此正多边形的内角和为：（10﹣2）×180°＝1440°，
∴这个正多边形每个内角的大小是： 144°．故答案为：144°．
3．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】9
【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
4．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形是__________．（填形状）
【答案】十二边形【分析】由n边形的内角和可以表示成（n 2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求
出边数．
【详解】解：这个正多边形的边数是n，
则（n 2）•180°=1800°，
解得：n=12，
则这个正多边形是12．
故答案为：十二边形．
