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专题 13 三角形与多边形的有关概念及性质
（时间：60分钟，满分120分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A. 2cm，3cm，4cm B. 2cm，3cm，5cm
C. 2cm，5cm，10cm D. 8cm，4cm，4cm
【答案】A
【详解】试题分析：根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得
A、2cm，3cm，4cm满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，能组成三角形，故本选项
正确；
B、2cm +3cm =5cm，不能组成三角形，故本选项错误；
C、2cm +5cm＜10cm，不能够组成三角形，故本选项错误；
D、4cm +4cm =8cm，不能组成三角形，故本选项错误．
故选A．
2．要求画 的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据三角形高的定义判断即可；
【详解】A中AD是边BC上面的高，故不符合题意；
B中不符合三角形高的作图，故不符合题意；
C中CD是AB边上的高，故符合题意；
D中BD是AC边上的高，故不符合题意；
故选C．
3．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A. 108° B. 90° C. 72° D. 60°【答案】C
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和
等于360°，即可求得答案．
【详解】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于： =72°．
故选C．
4．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )
A. 35° B. 95° C. 85° D. 75°
【答案】C
【分析】根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；再根据三角形的外
角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.
【详解】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°
故选:C.
5．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α．
【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，∠2=90°-∠3=180°-α．故选：C．
6．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，已知 ，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接
CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵ ，∴∠A＝∠D=30°，故选：C．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是
AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
【答案】B
【分析】根据三线合一可得 ，根据垂直平分线的性质可得 ，进而根据∠EBC＝45°，可得 为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，然后根据三角形面
积公式即可求解．
【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ， ，
∠EBC＝45°， ， 为等腰直角三角形，
， ，则△EBC的面积是 ．故选B．
8．（2022·湖北恩施）已知直线 ，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若 ，则
（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角
的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：∠5=30°，
∵ ，∴∠3=∠1=120°，∴∠4=∠3=120°，
∵∠2=∠4+∠5，∴∠2=120°+30°=150°．故选：D9．如图中三角形的个数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【分析】根据三角形的定义得：图中三角形有： ECA， EBD， FBA， FCD， AFD， ABD，
ACD， AED共8个． △ △ △ △ △ △
△【详解】△∵图中三角形有： ECA， EBD， FBA， FCD， AFD， ABD， ACD， AED，
∴共8个． △ △ △ △ △ △ △ △
故选：C．
10．下列说法中，①三角形的内角中最多有一个钝角；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；
③从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，因此，n边形的内角
和是（n﹣2）•180°；④六边形的对角线有7条，正确的个数有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【详解】①三角形的内角中最多有一个钝角；正确②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；正确
③从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，因此，n边形的内角和是
（n-2）·1800，正确④六边形的对角线有7条，有18条，故错误
故选B
二、填空题（每题4分，共24分）
11．人字梯中间一般会设计一”拉杆”，这样做的数学道理是____________．
【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”， 是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定
性，
12．已知 的两条边长分别为3和5，则第三边c的取值范是________
【答案】2＜c＜8
【分析】根据三角形三边关系，可得5-3＜c＜5+3，即2＜c＜8，问题可求．
【详解】解：由题意，可得5-3＜c＜5+3，
即2＜c＜8，
故答案为：2＜c＜8.
13．如图，将一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，则∠α的度数是___________．
【答案】
【分析】根据直角三角板的已知角度以及三角形外角性质即可求解．
【详解】如图，
故答案为：
14．如图，点D、E、F分别是边BC、AC、DC的中点，△EFC面积为5，则△ABC的面积为______．【答案】40
【分析】根据三角形中线的性质即可求解．
【详解】解：∵点D、E、F分别是边BC、AC、DC的中点，
∴ ，
△EFC面积为5，
△ABC的面积为 ，
故答案为： ．
15．如图， 中， ，若沿图中虚线截去 ，则 ______.
【答案】255°
【分析】先根据三角形内角和求出 的度数，再利用四边形的内角和求出 的度数即可．
【详解】∵
故答案为： ．
16．在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，若∠B=50°，∠C=70°，则∠DAE= ．
【解答】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°．
∵AD是角平分线，
∴∠DAC= ∠BAC=30°．
∵AE是高，∠C=70°，
∴∠EAC=20°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=30°﹣20°=10°．
三、简答题（共46分）
17．（7分）如图所示,已知P是 ABC内一点,试说明PA+PB+PC> (AB+BC+AC).
△
【答案】见解析
【分析】根据三角形三边的关系定理：三角形的任意两边之和大于三角形的第三边，任意两边之差小于三
角形第三边证明即可.
【详解】在 APB中,AP+BP>AB,
同理BP+PC△>BC,PC+AP>AC,
三式相加得2(AP+BP+PC)>AB+AC+BC,
∴AP+BP+CP> (AB+AC+BC).
18．（7分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．
【答案】36°．
【分析】根据五边形的内角和的性质可得出∠E＝∠B＝∠BAE＝108°,再通过三角形内角和进行求解.
【详解】解：∵五边形的内角和是540°，
∴每个内角为540°÷5＝108°，
∴∠E＝∠B＝∠BAE＝108°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形内角和定理可知，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝（180°－108°）÷2＝36°，
∴∠CAD＝∠BAE－∠1－∠3＝108°－36°－36°＝36°．
19．（8分）尺规作图：如图，在 中，
（1）作 的角平分线 交 于 点．
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）95°
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
的
（2）由三角形内角和得到∠ACB，根据角平分线 定义得到∠ACP，再利用三角形内角和得到结果．
【详解】解：（1）如图，CP即为所作；
（2）∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-50°-60°=70°，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP=35°，
∴∠CPA=180°-∠ACP-∠A=95°．
20．（12分）如图， AD 为△ ABC 的中线， BE 为△ ABD 的中线．（1）∠ ABE=15°，∠ BED=55°，求∠ BAD 的度数；
（2）作△ BED 的边 BD 边上的高；
（3）若△ ABC 的面积为 20， BD=2.5，求△ BDE 中 BD 边上的高.
【答案】(1)∠BAD =40°；（2）详见解析；（3）BD=2.5.
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；
（2）根据高线的定义，过点E作BD的垂线即可得解；
（3）根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，先求出 BDE的面积，再根据三角形的面
积公式计算即可． △
【详解】（1）在 ABE中，∵∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=∠ABE+∠△BAD=15°+40°=55°；
（2）如图，EF为BD边上的高；
（3）∵AD为 ABC的中线，BE为 ABD的中线，
△ △
∴S = S ，S = S ，S =
△ABD △ABC △BDE △ABD △BDE
S ，
△ABC
∵△ABC的面积为20，BD=2.5，
∴S = BD•EF= ×5•EF= ×20，解得EF=2．
△BDE
21．（12分）四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°.
（1）如图①，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图②，若∠ABC的角平分线交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图③，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数.【答案】（1）70°；（2）60°；（3）110°
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，结合已知条件就可求解；
（2）根据平行线的性质得到∠ABE的度数，再根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，进一步根据四边形
的内角和定理进行求解；
（3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得∠EBC+∠ECB的度数，再进一步求得∠BEC的度
数．
【详解】(1)在四边形ABCD中,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°, 又∠A=140°,∠D=80°,∠B=∠C,
∴140°+∠C+∠C+80°=360°,即∠C=70°.
(2)∵BE∥AD，∠A=140°,∠D=80°,
∴∠BEC=∠D，∠A+∠ABE=180°.
∴∠BEC=80°,∠ABE=40°.
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠EBC=∠ABE=40°.
∴∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°.
(3)在四边形ABCD中, 有∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°, ∠A=140°,∠D=80°,
所以∠ABC+∠BCD=140°,从而有 ∠ABC+ ∠BCD=70°.
因为∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E,所以有∠EBC= ∠ABC,∠ECB= ∠BCD.
故∠C=180°-(∠EBC +∠ECB)=180°-( ∠ABC+ ∠BCD)=180°-70°=110°.
