专题13二次函数(原卷版)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_一轮复习_备战2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

专题 13 二次函数
【专题目录】
技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系
技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型
技巧3：求二次函数表达式的常见类型
【题型】一、二次函数的图象及性质
【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系
【题型】三、二次函数的对称性
【题型】四、二次函数的最值
【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式
【题型】六、二次函数平移问题
【题型】七、二次函数解决实际问题
【考纲要求】
1、理解二次函数的有关概念，会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
2、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．
3、熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
【考点总结】一、二次函数一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：
二次
(1)二次项系数a≠0；
函数
(2)ax2＋bx＋c必须是整式；
的概念
(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；
(4)自变量x的取值范围是全体实数．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
二
图象
次
二 次 函 数
函
(a＞0) (a＜0)
的 图 象 及
数
开口方向 开口向上 开口向下
性质
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
当x＜－时，y随x的增大而减小； 当x＜－时，y随x的增大而增大；
增减性
当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
y
axh2
【考点总结】二、二次函数 的性质y axh2 h,0 y xh
1、抛物线 的顶点式 ，对称轴是平行于 轴的直线 。
y
axh2
a0 x
2、当 时，抛物线 在 轴的上方（除顶点外），它的开口向
上，并且向上无限伸展；
y
axh2
a0 x
当 时，抛物线 在 轴的下方（除顶点外），它的开口向下，
并且向下无限伸展。
a0 xh y x
3、当 时，在对称轴（ ）的左侧， 随着 的增大而减小；在对称轴
xh y x xh y
（ ）的右侧， 随着 的增大而增大；当 时，函数 的值最小（是
0）；
a0 xh y x
当 时，在对称轴（ ）的左侧， 随着 的增大而增大；在对称轴（
xh y x xh y
）的右侧， 随着 的增大而减小；当 时，函数 的值最大（是
0）。
y
axh2
y ax2
4、二次函数 与 的图像形状相同，可以看作是抛物线
y ax2 x h h0 h
整体沿 轴平移了 个单位（当 时，向右平移 个单位；当
h
h0
时，向左平移 个单位）得到的。
y
axh2
k y ax2
【考点总结】三、二次函数 与 的关系y
axh2
k y ax2
二次函数 与 的关系
y ax2 y
axh2
k
① 一 般 地 ， 由 的 图 像 便 可 得 到 二 次 函 数 的 图 像 ：
y axh2 ka0 y ax2 x h
的图像可以看成 先沿 轴整体左（右）平移了 个单位（当
h0 h h0 h y
时，向右平移 个单位；当 时，向左平移 个单位），再沿 轴整体上（下）平移了
k k k
k 0 k 0
个单位（当 时，向上平移 个单位；当 时，向下平移 个单位）。
y
axh2
k
② 因此，二次函数 的图像是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐
a,h,k
标与 的值有关
y
axh2
k
二次函数 的图像与性质
抛物线 y axh2 ka0 y axh2 ka0
顶点坐标 h,k h,k
对称轴 xh xh
直线 直线
位置 h k h k
由 和 的符号确定 由 和 的符号确定
开口方向 向上 向下
增减性 y x y x
在对称轴的左侧， 随着 的增大而减小； 在对称轴的左侧， 随着 的增大而增大；
y x y x
在对称轴的右侧， 随着 的增大而增大。 在对称轴的右侧， 随着 的增大而减小。
最值 xh k xh k
当 时，最小值为 当 时，最大值为
开口大小 |a| 越大,开口越小，|a| 越小,开口越大。
【注意】
二次函数ax2+bx+c=0
① a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.b
x=−
2a
② b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，故：
b b
x=− x=−
2a 2a
A. b=0时，对称轴为y轴；B. >0（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；C. <0（即a,b
异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
【技巧归纳】
技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系
【类型】一、a与图像的关系
1．如图，四个函数的图像分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大
小关系为( )
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
【类型】二、b与图像的关系
2．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像如图所示，则b的值是( )
A．－5 B．0 C．3 D．4
3．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴
在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)
【类型】三、c与图像的关系
4．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图像的是( )
5．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位长度后得到的图像如图所示，则c＝________．【类型】四、a，b与图像的关系
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A．a＞0 B．b＜0 C．3a＋b＞0 D．b＞－2a
【类型】五、a，c与图像的关系
7．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图像如图所示，试求＋－|m＋n|的值．
【类型】六、b，c与图像的关系
8．【中考·六盘水】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
Z|xx|k.Com]
【类型】七、a，b，c与图像的关系
9．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图像是( )
10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型
【类型】一、根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号
1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下
列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－.其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【类型】二、利用二次函数的图像比较大小
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图，若点A(x ，y)，B(x ，y)在此函数图像上，且x<x <1，则y 与
1 1 2 2 1 2 1
y 的大小关系是( )
2
A．y≤y B．y＜y C．y≥y D．y＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【类型】三、利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．
【类型】四、根据抛物线的特征确定其他函数的图像
5．二次函数y＝ax2＋bx的图像如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是( )
6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y＝－x＋m与二次函数y＝ax2＋bx－3的图像上．
1 2
(1)求m的值和二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图像交y轴于点C，求△ABC的面积．
技巧3：求二次函数表达式的常见类型
【类型】一、由函数的基本形式求表达式
题型1：利用一般式求二次函数表达式
1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点坐标是A(－2，0)．
(1)求二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标；
(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移个单位长度，当y<0时，求x的取值范围．
题型2：利用顶点式求二次函数表达式
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图像的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相
同，则这个二次函数的表达式是( )A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
3．已知某个二次函数的最大值是2，图像顶点在直线y＝x＋1上，并且图像经过点(3，－6)．求这个二次
函数的表达式．
题型3：利用交点式求二次函数表达式
4．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函
数表达式．
题型4：利用平移法求二次函数表达式
5．把二次函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式
是___________．
6．已知y＝x2＋bx＋c的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图像的表达式为y
＝x2－2x－3.
(1)b＝________，c＝________；
(2)求原函数图像的顶点坐标；
(3)求两个图像顶点之间的距离．
题型5：利用对称轴法求二次函数表达式
7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的
函数表达式是________________．
8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，
抛物线的对称轴是直线x＝－.
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标．
题型6：灵活运用方法求二次函数的表达式9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．
【类型】二、由函数图像中的信息求表达式
10．如图，是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是( )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2－x＋2 C．y＝－x2－x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
11．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品
每千克生产成本y(单位：元)，销售价y(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．
1 2
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段AB所表示的y 与x之间的函数表达式；
1
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【类型】三、由表格信息求表达式
12．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4 C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x … － －1 － 0 1 …
y … － －2 － －2 － 0 …
则该二次函数的表达式为______________．
【类型】四、几何应用中求二次函数的表达式
14．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方
形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图像大致是( )
【类型】五、实际问题中求二次函数表达式
15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一
个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数表达式；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考
虑树的粗细)，求花园面积的最大值．
【题型讲解】
【题型】一、二次函数的图象及性质
例1、二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若 ， 是图象上的两点，则B．
C．方程 有两个不相等的实数根
D．当 时，y随x的增大而减小
【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系
例2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下
列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型】三、二次函数的对称性
例3、抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，其部分图象如
图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）A． B． C． D．
【题型】四、二次函数的最值
例4、点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式
例5、已知二次函数 （ 是常数， ）的 与 的部分对应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：
① ；
②当 时，函数最小值为 ；
③若点 ，点 在二次函数图象上，则 ；
④方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【题型】六、二次函数平移问题
例6、把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型】七、二次函数解决实际问题
例7、如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆
围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
二次函数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·广东广州·一模）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P
的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东烟台·二模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc>0；②若(−3，y)，(4，y)在抛物线上，则y<y；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的
1 2 1 2
有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②④
3．（2022·河南新乡·二模）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）A． ，x＝2 B． ，x＝2 C． ，x＝－2 D． ，x＝2
4．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线 向左平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度，则
平移后得到的抛物线解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·福建福州·一模）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2022·河南·驻马店市第二初级中学模拟预测）观察函数 与 的图像，写出一条它
们的共同特征：______．
7．（2022·甘肃·一模）已知抛物线 的部分图像如图所示，则方程 的解是
___________
三、解答题
8．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线 与x轴相交于点 ，与y轴相交于点
C．(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上不同的两点．
①若 ，求 之间的数量关系．
②若 ，求 的最小值．
二次函数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）已知二次函数 的图象如图所示，有下列
结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ ，m为实数），其
中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）在二次函数 的图像上有点．则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）二次函数 与一次函数 在同一平面
直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·浙江嘉兴·一模）已知 是二次函数
图象上的点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题
6．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图， 和 是边长分别为5和2的等边三角形，点 、 、
、 都在直线 上， 固定不动，将 在直线 上自左向右平移．开始时，点 与点 重合，
当点 移动到与点 重合时停止．设 移动的距离为 ，两个三角形重叠部分的面积为 ，请写出
与 之间的函数关系式_________．
7．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）二次函数 （ ）的图像与
直线 交于点 、 两点 ，则关于 的不等式 的解集为
_______．
三、解答题8．（2022·浙江宁波·一模）已知：一次函数 ，二次函数为 （b，c为常数）.
(1)如图，两函数图象交于点 .求二次函数的表达式，并写出当 时x的取值范围.
(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.