专题13二次函数(解析版)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_一轮复习_备战2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

专题 13 二次函数 【专题目录】 技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系 技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型 技巧3：求二次函数表达式的常见类型 【题型】一、二次函数的图象及性质 【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系 【题型】三、二次函数的对称性 【题型】四、二次函数的最值 【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式 【题型】六、二次函数平移问题 【题型】七、二次函数解决实际问题 【考纲要求】 1、理解二次函数的有关概念，会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 2、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移． 3、熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 【考点总结】一、二次函数一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 注意： 二次 (1)二次项系数a≠0； 函数 (2)ax2＋bx＋c必须是整式； 的概念 (3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零； (4)自变量x的取值范围是全体实数． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 二 图象 次 二 次 函 数 函 (a＞0) (a＜0) 的 图 象 及 数 开口方向 开口向上 开口向下 性质 对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 顶点坐标 当x＜－时，y随x的增大而减小； 当x＜－时，y随x的增大而增大； 增减性 当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＞－时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值 y axh2 【考点总结】二、二次函数 的性质y axh2 h,0 y xh 1、抛物线 的顶点式 ，对称轴是平行于 轴的直线 。 y axh2 a0 x 2、当 时，抛物线 在 轴的上方（除顶点外），它的开口向 上，并且向上无限伸展； y axh2 a0 x 当 时，抛物线 在 轴的下方（除顶点外），它的开口向下， 并且向下无限伸展。 a0 xh y x 3、当 时，在对称轴（ ）的左侧， 随着 的增大而减小；在对称轴 xh y x xh y （ ）的右侧， 随着 的增大而增大；当 时，函数 的值最小（是 0）； a0 xh y x 当 时，在对称轴（ ）的左侧， 随着 的增大而增大；在对称轴（ xh y x xh y ）的右侧， 随着 的增大而减小；当 时，函数 的值最大（是 0）。 y axh2 y ax2 4、二次函数 与 的图像形状相同，可以看作是抛物线 y ax2 x h h0 h 整体沿 轴平移了 个单位（当 时，向右平移 个单位；当 h h0 时，向左平移 个单位）得到的。 y axh2 k y ax2 【考点总结】三、二次函数 与 的关系y axh2 k y ax2 二次函数 与 的关系 y ax2 y axh2 k ① 一 般 地 ， 由 的 图 像 便 可 得 到 二 次 函 数 的 图 像 ： y axh2 ka0 y ax2 x h 的图像可以看成 先沿 轴整体左（右）平移了 个单位（当 h0 h h0 h y 时，向右平移 个单位；当 时，向左平移 个单位），再沿 轴整体上（下）平移了 k k k k 0 k 0 个单位（当 时，向上平移 个单位；当 时，向下平移 个单位）。 y axh2 k ② 因此，二次函数 的图像是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐 a,h,k 标与 的值有关 y axh2 k 二次函数 的图像与性质 抛物线 y axh2 ka0 y axh2 ka0 顶点坐标 h,k h,k 对称轴 xh xh 直线 直线 位置 h k h k 由 和 的符号确定 由 和 的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性 y x y x 在对称轴的左侧， 随着 的增大而减小； 在对称轴的左侧， 随着 的增大而增大； y x y x 在对称轴的右侧， 随着 的增大而增大。 在对称轴的右侧， 随着 的增大而减小。 最值 xh k xh k 当 时，最小值为 当 时，最大值为 开口大小 |a| 越大,开口越小，|a| 越小,开口越大。 【注意】 二次函数ax2+bx+c=0 ① a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样. a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.b x=− 2a ② b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，故： b b x=− x=− 2a 2a A. b=0时，对称轴为y轴；B. >0（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；C. <0（即a,b 异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”） 【技巧归纳】 技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系 【类型】一、a与图像的关系 1．如图，四个函数的图像分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大 小关系为( ) A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c 【类型】二、b与图像的关系 2．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像如图所示，则b的值是( ) A．－5 B．0 C．3 D．4 3．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴 在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”) 【类型】三、c与图像的关系 4．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图像的是( ) 5．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位长度后得到的图像如图所示，则c＝________．【类型】四、a，b与图像的关系 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列说法中不正确的是( ) A．a＞0 B．b＜0 C．3a＋b＞0 D．b＞－2a 【类型】五、a，c与图像的关系 7．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图像如图所示，试求＋－|m＋n|的值． 【类型】六、b，c与图像的关系 8．【中考·六盘水】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( ) A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 Z|xx|k.Com] 【类型】七、a，b，c与图像的关系 9．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图像是( ) 10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案 1．A 点拨：本题运用数形结合思想，在二次函数y＝ax2中，|a|越大，其图像的开口越小，所以①，②中， a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b＞c＞d，故选A. 2．C 点拨：∵二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像关于y轴对称，∴b－3＝0，b＝3. 3．＝；＜；＞ 4．D 5.1 6.D 7．解：由图像知解得 ∴m－3＜0，m＋n＜－2. ∴＋－|m＋n|＝3－m－n＋m＋n＝3. 8．B 点拨：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口向下，∴a＜0.∵二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴c＜0. ∵对称轴x＝－＞0，∴b＞0. 故选B. 9．D 10．C 点拨：首先根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，可得c＝0，所以abc＝0；然后根据x＝ 1时，y＜0，可得a＋b＋c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为直线x＝－，可得－＝ －，b＜0，所以b＝3a，a＞b；最后根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，可得b2－4ac ＞0，所以4ac－b2＜0，据此解答即可． 技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型 【类型】一、根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号 1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下 列结论： ①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－.其中正确结论的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1【类型】二、利用二次函数的图像比较大小 2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图，若点A(x ，y)，B(x ，y)在此函数图像上，且x0， ∴当y<0时，x的取值范围是－0；②若(−3，y)，(4，y)在抛物线上，则y0．其中正确的 1 2 1 2 有（ ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=-2a＜0，抛物线与y轴的交点在x轴下 方得到c＜0，可对①进行判断；通过点（-3，y）和点（4，y）离对称轴的远近对②进行判断；观察图象， 1 2 抛物线与x轴的一个交点−10时，函数开口向上，此时当x>-1时，y随x在增大而增大； ∵0<1<2<3， ∴ ， A：若 ，则 或 ，故A不一定正确， B：若 ，则 或 ，故B不一定正确， C：若 ，则 或 ，故C不一定正确， D：若 ，则 ，故D一定正确； 当a<0时，函数开口向下，此时，当x>-1时，y随x的增大而减小， ∵0<1<2<3， ∴ ，A：若 ，则 或 ，故A不一定正确， B：若 ，则 或 ，故B不一定正确， C：若 ，则 或 ，故C不一定正确， D：若 ，则 ，故D一定正确； 综上：D一定正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质，能够根据函数表达式求出函 数的对称轴，根据开口方向和对称轴分析函数的增减性是解题的关键． 二、填空题 6．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图， 和 是边长分别为5和2的等边三角形，点 、 、 、 都在直线 上， 固定不动，将 在直线 上自左向右平移．开始时，点 与点 重合， 当点 移动到与点 重合时停止．设 移动的距离为 ，两个三角形重叠部分的面积为 ，请写出 与 之间的函数关系式_________． 【答案】 【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当 时，两个三角形重叠部分为 的面积，当 时，两个三角形重叠部分为 的面积，当 时，两个三角形重叠部分为 的面积， 分别求解即可．【详解】当 时，如图1所示，两个三角形重叠部分为 的面积， 由题意得， ， 和 是边长分别为5和2的等边三角形， 是边长x的等边三角形， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， ， 即 ； 当 时，如图2所示，两个三角形重叠部分为 的面积， 由题意得， ， 过点 作 于点E， ， ， 即 ； 当 时，如图3所示，两个三角形重叠部分为 的面积， 由题意得， ， 和 是边长分别为5和2的等边三角形， 是等边三角形，且 ， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， 即 ；综上，写出 与 之间的函数关系式为 ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题， 熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． 7．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）二次函数 （ ）的图像与 直线 交于点 、 两点 ，则关于 的不等式 的解集为 _______． 【答案】 ## 【分析】由题意，可大致画出函数图像，根据图形的对称性，求出点C、D的横坐标，即可求解． 【详解】解：由题意，可大致画出函数图像如下， 则直线 关于y轴对称的直线为 ， 根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点D、C， 则点C、D的横坐标分别为-1、2， 观察函数图像 的解集为 ，即关于 的不等式 解集为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，解题关键是熟练运用数形结合的思想分析问题． 三、解答题 8．（2022·浙江宁波·一模）已知：一次函数 ，二次函数为 （b，c为常数）. (1)如图，两函数图象交于点 .求二次函数的表达式，并写出当 时x的取值范围. (2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由. 【答案】(1) ，-2＜x＜3； (2)b=2，c=-2，（答案不唯一） 【分析】（1）将（3，m），（n,-6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可 得 时x的取值范围． （2）令 ，由Δ=0求解． （1） 将（3，m）代入 得m=6-2=4，将（n,-6）代入 得-6=2n-2， 解得n=-2， ∴抛物线经过点（3，4），（-2，-6）， 将（3，4），（-2，-6）代入 得 ， 解得 ， ∴ ， 由图象可得-2＜x＜3时，抛物线在直线上方， ∴ 时x的取值范围是-2＜x＜3． （2） 令 ，整理得 ， 当 时，两函数图象只有一个公共点， ∴b=2，c=-2，满足题意． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象 与系数的关系．