专题13二次函数(解析版)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_一轮复习_备战2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

专题 13 二次函数
【专题目录】
技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系
技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型
技巧3：求二次函数表达式的常见类型
【题型】一、二次函数的图象及性质
【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系
【题型】三、二次函数的对称性
【题型】四、二次函数的最值
【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式
【题型】六、二次函数平移问题
【题型】七、二次函数解决实际问题
【考纲要求】
1、理解二次函数的有关概念，会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
2、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．
3、熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
【考点总结】一、二次函数一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：
二次
(1)二次项系数a≠0；
函数
(2)ax2＋bx＋c必须是整式；
的概念
(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；
(4)自变量x的取值范围是全体实数．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
二
图象
次
二 次 函 数
函
(a＞0) (a＜0)
的 图 象 及
数
开口方向 开口向上 开口向下
性质
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
当x＜－时，y随x的增大而减小； 当x＜－时，y随x的增大而增大；
增减性
当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
y
axh2
【考点总结】二、二次函数 的性质y axh2 h,0 y xh
1、抛物线 的顶点式 ，对称轴是平行于 轴的直线 。
y
axh2
a0 x
2、当 时，抛物线 在 轴的上方（除顶点外），它的开口向
上，并且向上无限伸展；
y
axh2
a0 x
当 时，抛物线 在 轴的下方（除顶点外），它的开口向下，
并且向下无限伸展。
a0 xh y x
3、当 时，在对称轴（ ）的左侧， 随着 的增大而减小；在对称轴
xh y x xh y
（ ）的右侧， 随着 的增大而增大；当 时，函数 的值最小（是
0）；
a0 xh y x
当 时，在对称轴（ ）的左侧， 随着 的增大而增大；在对称轴（
xh y x xh y
）的右侧， 随着 的增大而减小；当 时，函数 的值最大（是
0）。
y
axh2
y ax2
4、二次函数 与 的图像形状相同，可以看作是抛物线
y ax2 x h h0 h
整体沿 轴平移了 个单位（当 时，向右平移 个单位；当
h
h0
时，向左平移 个单位）得到的。
y
axh2
k y ax2
【考点总结】三、二次函数 与 的关系y
axh2
k y ax2
二次函数 与 的关系
y ax2 y
axh2
k
① 一 般 地 ， 由 的 图 像 便 可 得 到 二 次 函 数 的 图 像 ：
y axh2 ka0 y ax2 x h
的图像可以看成 先沿 轴整体左（右）平移了 个单位（当
h0 h h0 h y
时，向右平移 个单位；当 时，向左平移 个单位），再沿 轴整体上（下）平移了
k k k
k 0 k 0
个单位（当 时，向上平移 个单位；当 时，向下平移 个单位）。
y
axh2
k
② 因此，二次函数 的图像是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐
a,h,k
标与 的值有关
y
axh2
k
二次函数 的图像与性质
抛物线 y axh2 ka0 y axh2 ka0
顶点坐标 h,k h,k
对称轴 xh xh
直线 直线
位置 h k h k
由 和 的符号确定 由 和 的符号确定
开口方向 向上 向下
增减性 y x y x
在对称轴的左侧， 随着 的增大而减小； 在对称轴的左侧， 随着 的增大而增大；
y x y x
在对称轴的右侧， 随着 的增大而增大。 在对称轴的右侧， 随着 的增大而减小。
最值 xh k xh k
当 时，最小值为 当 时，最大值为
开口大小 |a| 越大,开口越小，|a| 越小,开口越大。
【注意】
二次函数ax2+bx+c=0
① a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.b
x=−
2a
② b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，故：
b b
x=− x=−
2a 2a
A. b=0时，对称轴为y轴；B. >0（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；C. <0（即a,b
异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
【技巧归纳】
技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系
【类型】一、a与图像的关系
1．如图，四个函数的图像分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大
小关系为( )
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
【类型】二、b与图像的关系
2．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像如图所示，则b的值是( )
A．－5 B．0 C．3 D．4
3．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴
在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)
【类型】三、c与图像的关系
4．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图像的是( )
5．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位长度后得到的图像如图所示，则c＝________．【类型】四、a，b与图像的关系
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A．a＞0 B．b＜0 C．3a＋b＞0 D．b＞－2a
【类型】五、a，c与图像的关系
7．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图像如图所示，试求＋－|m＋n|的值．
【类型】六、b，c与图像的关系
8．【中考·六盘水】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
Z|xx|k.Com]
【类型】七、a，b，c与图像的关系
9．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图像是( )
10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案
1．A 点拨：本题运用数形结合思想，在二次函数y＝ax2中，|a|越大，其图像的开口越小，所以①，②中，
a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b＞c＞d，故选A.
2．C 点拨：∵二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像关于y轴对称，∴b－3＝0，b＝3.
3．＝；＜；＞
4．D 5.1 6.D
7．解：由图像知解得
∴m－3＜0，m＋n＜－2.
∴＋－|m＋n|＝3－m－n＋m＋n＝3.
8．B 点拨：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口向下，∴a＜0.∵二次函数的图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0.
∵对称轴x＝－＞0，∴b＞0.
故选B.
9．D
10．C 点拨：首先根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，可得c＝0，所以abc＝0；然后根据x＝
1时，y＜0，可得a＋b＋c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为直线x＝－，可得－＝
－，b＜0，所以b＝3a，a＞b；最后根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，可得b2－4ac
＞0，所以4ac－b2＜0，据此解答即可．
技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型
【类型】一、根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号
1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下
列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－.其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1【类型】二、利用二次函数的图像比较大小
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图，若点A(x ，y)，B(x ，y)在此函数图像上，且x<x <1，则y 与
1 1 2 2 1 2 1
y 的大小关系是( )
2
A．y≤y B．y＜y C．y≥y D．y＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【类型】三、利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根
是____________．
【类型】四、根据抛物线的特征确定其他函数的图像
5．二次函数y＝ax2＋bx的图像如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是( )
6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y＝－x＋m与二次函数y＝ax2＋bx－3的图像上．
1 2(1)求m的值和二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图像交y轴于点C，求△ABC的面积．
参考答案
1．B 2.B 3.D 4.x＝0，x＝2 5.C
1 2
6．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y＝－x＋m，得m＝－1；
1
将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y＝ax2＋bx－3，得解得
2
∴y＝x2－2x－3.
2
(2)易知C点的坐标为(0，－3)，一次函数的图像与y轴的交点坐标为(0，－1)．
∴S ＝×[－1－(－3)]×1＋×[－1－(－3)]×2＝×2×1＋×2×2＝3.
△ABC
技巧3：求二次函数表达式的常见类型
【类型】一、由函数的基本形式求表达式
题型1：利用一般式求二次函数表达式
1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点坐标是A(－2，0)．
(1)求二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标；
(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移个单位长度，当y<0时，求x的取值范围．
题型2：利用顶点式求二次函数表达式
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图像的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相
同，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
3．已知某个二次函数的最大值是2，图像顶点在直线y＝x＋1上，并且图像经过点(3，－6)．求这个二次
函数的表达式．
题型3：利用交点式求二次函数表达式4．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函
数表达式．
题型4：利用平移法求二次函数表达式
5．把二次函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式
是___________．
6．已知y＝x2＋bx＋c的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图像的表达式为y
＝x2－2x－3.
(1)b＝________，c＝________；
(2)求原函数图像的顶点坐标；
(3)求两个图像顶点之间的距离．
题型5：利用对称轴法求二次函数表达式
7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的
函数表达式是________________．
8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，
抛物线的对称轴是直线x＝－.
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标．
题型6：灵活运用方法求二次函数的表达式
9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．
【类型】二、由函数图像中的信息求表达式
10．如图，是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是( )A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2－x＋2 C．y＝－x2－x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
11．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品
每千克生产成本y(单位：元)，销售价y(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．
1 2
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段AB所表示的y 与x之间的函数表达式；
1
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【类型】三、由表格信息求表达式
12．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4 C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x … － －1 － 0 1 …
y … － －2 － －2 － 0 …
则该二次函数的表达式为______________．
【类型】四、几何应用中求二次函数的表达式
14．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方
形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形
EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图像大致是( )【类型】五、实际问题中求二次函数表达式
15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一
个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数表达式；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考
虑树的粗细)，求花园面积的最大值．
参考答案
1．解：(1)∵把C点坐标(0，－6)代入二次函数的表达式得c＝－6，把A点坐标(－2，0)代入y＝x2＋bx－6
得b＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝x2－x－6.
即y＝－.
∴顶点D的坐标为.
(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移个单位长度所得图像对应的函数表达式为y＝(x＋2)2－.
令y＝0，得(x＋2)2－＝0，
解得x＝，x＝－.
1 2
∵a>0，
∴当y<0时，x的取值范围是－<x<.
2．D
3．解：设二次函数图像的顶点坐标为(x，2)，则2＝x＋1，所以x＝1，所以图像的顶点坐标为(1，2)．设
二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋2，将点(3，－6)的坐标代入上式，可得a＝－2.所以该函数的表达式为y＝－2(x－1)2＋2，即y＝－2x2＋4x.
4．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB＝5，OB＝4.
又∵BC＝AB，∴BC＝5.
在Rt△BCO中，OC＝＝＝3，
∴C点的坐标为(0，3)或(0，－3)．
设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a
＝－.
将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a＝.
∴该抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x＋4)或y＝(x－1)(x＋4)，即y＝－x2－x＋3或y＝x2＋x
－3.
点拨：若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离，通常可设交点式
求解．
5．y＝2x2＋4x
6．解：(1)2；0
(2)原函数的表达式为y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.
∴其图像的顶点坐标为(－1，－1)．
(3)原函数图像的顶点为(－1，－1)，新函数图像的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的
距离为.
7．y＝－x2＋2x＋3
8．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a＋k.
把点(2，0)，(0，3)的坐标代入，得解得
∴y＝－＋，
即y＝－x2－x＋3.
(2)由y＝0，得－＋＝0，
解得x＝2，x＝－3，∴B(－3，0)．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
1 2
①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰三角形，∴当M点在原点O处时，△MBC是等
腰三角形．
∴M点坐标为(0，0)．
②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝＝3，∴BM＝3.
∴M点坐标为(3－3，0)．
综上所述，点M坐标为(0，0)或(3－3，0)．9．解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2－x＋.
方法二：设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解
得a＝－.
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－(x＋2)2＋4.
即y＝－x2－x＋.
方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，与x轴的另一个交点坐标为(－5，0)．
设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，
解得a＝－.
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x＋5)，
即y＝－x2－x＋.
点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题
目条件灵活选择方法，如本题中，第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量
小．
10．D
11．解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价相
等，都为42元．
(2)设线段AB所表示的y 与x之间的函数表达式为y＝kx＋b.
1 1 1 1
因为y＝kx＋b 的图像过点(0，60)与(90，42)，
1 1 1
所以
解方程组得
这个一次函数的表达式为y＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．
1
(3)设y 与x之间的函数表达式为y＝kx＋b.
2 2 2 2
因为y＝kx＋b 的图像过点(0，120)与(130，42)，
2 2 2
所以
解方程得
这个一次函数的表达式为y＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．
2
设产量为x kg时，获得的利润为W元．
当0≤x≤90时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2 250.
所以，当x＝75时，W的值最大，最大值为2 250.当90<x≤130时，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2 535.
当x＝90时，W＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2 160.
由－0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，所以90<x≤130时，W<2 160.
因此，当该产品产量为75 kg时，获得的利润最大，最大利润是2 250元．
12．A 13. y＝x2＋x－2
14．A 点拨：先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数
表达式．
S ＝AE×AF＝x2，S ＝DG×DE＝×1×(3－x)＝，
△AEF △DEG
S ＝S －S －S ＝9－x2－＝－x2＋x＋，
五边形EFBCG 正方形ABCD △AEF △DEG
则y＝4×＝－2x2＋2x＋30.
∵0＜AE<AD，∴0＜x<3，
∴y＝－2x2＋2x＋30(0<x<3)．
故选A.
15．解：(1)∵AB＝x m，∴BC＝(28－x) m.
于是易得S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x.
即S＝－x2＋28x(0＜x＜28)．
(2)由题意可知，
解得6≤x≤13.
由(1)知，S＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.
易知当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S ＝195，即花园面积的最大值为195 m2.
最大值
【题型讲解】
【题型】一、二次函数的图象及性质
例1、二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）A．若 ， 是图象上的两点，则
B．
C．方程 有两个不相等的实数根
D．当 时，y随x的增大而减小
【答案】D
【提示】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可
得．
【详解】由函数的图象可知，二次函数 的对称轴为
则当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知， 时的函数值与 时的函数值相等
则当 时，函数值为
，则选项A正确
又 当 时，
，即 ，选项B正确由函数的图象可知，二次函数 的图象与x轴有两个交点
则将二次函数 的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数 与x轴也
有两个交点
因此，关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
即方程 有两个不相等的实数根，选项C正确
故选：D．
【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系
例2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下
列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【提示】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝
0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正
确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【题型】三、二次函数的对称性
例3、抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，其部分图象如
图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】由函数的对称性可得结论．
【详解】
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，
∴ ，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【题型】四、二次函数的最值
例4、点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
【答案】C【提示】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可
求出m﹣n的最大值．
【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故选：C．
【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式
例5、已知二次函数 （ 是常数， ）的 与 的部分对应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：
① ；
②当 时，函数最小值为 ；
③若点 ，点 在二次函数图象上，则 ；
④方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【提示】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质
可判断②；把点 和点 代入解析式求出y、y 即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根
1 2
的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：，解得： ，
∴二次函数的解析式是 ，
∴a=1＞0，故①正确；
当 时，y有最小值 ，故②错误；
若点 ，点 在二次函数图象上，则 ， ，∴ ，故③正确；
当y=﹣5时，方程 即 ，∵ ，∴方程 有
两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【题型】六、二次函数平移问题
例6、把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【题型】七、二次函数解决实际问题
例7、如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆
围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析．
【提示】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；
（2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出
函数关系式．
【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S ＝2S ，
矩形AMDND 矩形MEFN
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即 ，
∴
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则 ，
∵ ，∴ ，
解得 ，
∴ ．
二次函数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·广东广州·一模）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P
的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a-b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，
本题得以解决．
【详解】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x=-1时，y=a-b＜0，
∴y=（a-b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
2．（2022·山东烟台·二模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y)，(4，y)在抛物线上，则y<y；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的
1 2 1 2
有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=-2a＜0，抛物线与y轴的交点在x轴下
方得到c＜0，可对①进行判断；通过点（-3，y）和点（4，y）离对称轴的远近对②进行判断；观察图象，
1 2
抛物线与x轴的一个交点−1<x<0，可对③进行判断；由当x=-2时，y＞0，则4a-2b+c＞0，得到8a+c＞0，
则可对④进行判断．
【详解】解：①抛物线开口向上，则a＞0，抛物线与y交于负半轴，则c＜0，
x=- =1，即b=-2a，则b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵（-3，y）离对称直线x=1的距离为1-（-3）=4，
1
（4，y）离对称直线x=1的距离为4-1=3，
2
∴点（-3，y）离对称轴要比点（4，y）离对称轴要远，
1 2
又∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4＞3，
∴y＞y，故②错误；
1 2
③观察图象，抛物线与x轴的一个交点为−1<x<0，
∴当−1<x<3时，y不一定小于0；故③错误；
④当x=-2时，y＞0，则4a-2b+c＞0，
∵b=-2a，
∴8a+c＞0，所以④正确；
综上，正确的有①④，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、
对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．3．（2022·河南新乡·二模）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A． ，x＝2 B． ，x＝2 C． ，x＝－2 D． ，x＝2
【答案】A
【分析】将题目中函数解析式化为顶点式，从而可以得到该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决．
【详解】解：∵y=-x2+4x+7
=-（x-2）2+11，
∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的顶点式解答．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线 向左平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度，则
平移后得到的抛物线解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=- x2先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析
式为：y=- （x+2）2+1．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（2022·福建福州·一模）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义： 进行判断即可．【详解】A、 不是二次函数，不符合题意；
B、 是二次函数，符合题意；
C、 ，不是二次函数，不符合题意；
D、 ，不是二次函数，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的概念．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·河南·驻马店市第二初级中学模拟预测）观察函数 与 的图像，写出一条它
们的共同特征：______．
【答案】都过 等
【分析】从函数图像的分布，图像过点等角度去探索答案．
【详解】∵函数 与 的图像都经过点（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点睛】本题考查了函数图像的特点，熟练掌握图像的特点是解题的关键．
7．（2022·甘肃·一模）已知抛物线 的部分图像如图所示，则方程 的解是
___________
【答案】 或
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程 的解．
【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
设抛物线与x轴的另一个交点为 ，则 ，
解得： ．
∴方程 的解为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物
线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．
三、解答题
8．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线 与x轴相交于点 ，与y轴相交于点
C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上不同的两点．
①若 ，求 之间的数量关系．
②若 ，求 的最小值．
【答案】(1)(2)① ；②最小值为
【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若 ，则 ，化简即可得到 的
关系；② 代入化简成顶点式即可得到最小值．
（1）
抛物线 与x轴相交于点
解得
；
（2）
①点 是抛物线上不同的两点．
若 ，则 ．
；
②
= = ，
当 =1时， 的最小值为-2．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待
定系数法是解题的关键．二次函数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）已知二次函数 的图象如图所示，有下列
结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ ，m为实数），其
中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】直接根据二次函数的图像与系数的关系及性质进行求解即可．
【详解】解：由图像可知：对称轴为直线
即
∴① ，
故错误．
②由二次函数的图像可知与x轴的一个交点在0和 之间，根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另
外一个交点在2和3之间，
∴当 时，即
故正确．
③ 时 即
故正确．
④ 时， 即
又∵对称轴故错误．
⑤由图像可得当 时，函数取得最大值，即
当 时，
故正确．
所以正确的有：②③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像跟性质，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系及性质是解题的关
键．
2．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）在二次函数 的图像上有点
．则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据三点到对称轴的距离大小求解，即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的图象和性质．3．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）二次函数 与一次函数 在同一平面
直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】逐一分析每个选项图象与函数解析式中的系数的关系，结论一致的就是正确的，结论不一致的就
是错误的，从而可得答案．
【详解】解：选项A中的一次函数 抛物线中的图象开口向下，顶点坐标为 ，则
对称轴是直线 故符合题意，
选项B中的一次函数 抛物线中的图象开口向下，顶点坐标为 ，则 但是对称轴
不是直线 故不符合题意，
选项C中的一次函数 抛物线中的图象开口向上，顶点坐标为 ，则 故不符合
题意，
选项D中的一次函数 抛物线中的图象开口向上，顶点坐标为 ，则 对称轴不是
直线 故不符合题意，
故选A【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“结合一次函数与二次函数的系数与
图象的关系进行分析”是解本题的关键．
4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b＞0，根据与y轴的交点确定出c＜
0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，即－a＜0，
又∵对称轴为直线x＝－ ＜0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝－ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数 图象在第二、四象限，
只有A选项图象符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
5．（2022·浙江嘉兴·一模）已知 是二次函数
图象上的点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据函数的表达式求出函数的对称轴，根据函数开口方向的不同进行分类讨论即可．
【详解】解：∵ ，
∴该函数的对称轴直线为：x=﹣1，
∵函数经过 ，
∴函数经过 ，
当a>0时，函数开口向上，此时当x>-1时，y随x在增大而增大；
∵0<1<2<3，
∴ ，
A：若 ，则 或 ，故A不一定正确，
B：若 ，则 或 ，故B不一定正确，
C：若 ，则 或 ，故C不一定正确，
D：若 ，则 ，故D一定正确；
当a<0时，函数开口向下，此时，当x>-1时，y随x的增大而减小，
∵0<1<2<3，
∴ ，A：若 ，则 或 ，故A不一定正确，
B：若 ，则 或 ，故B不一定正确，
C：若 ，则 或 ，故C不一定正确，
D：若 ，则 ，故D一定正确；
综上：D一定正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质，能够根据函数表达式求出函
数的对称轴，根据开口方向和对称轴分析函数的增减性是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图， 和 是边长分别为5和2的等边三角形，点 、 、
、 都在直线 上， 固定不动，将 在直线 上自左向右平移．开始时，点 与点 重合，
当点 移动到与点 重合时停止．设 移动的距离为 ，两个三角形重叠部分的面积为 ，请写出
与 之间的函数关系式_________．
【答案】
【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当 时，两个三角形重叠部分为 的面积，当
时，两个三角形重叠部分为 的面积，当 时，两个三角形重叠部分为 的面积，
分别求解即可．【详解】当 时，如图1所示，两个三角形重叠部分为 的面积，
由题意得， ，
和 是边长分别为5和2的等边三角形，
是边长x的等边三角形，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
，
即 ；
当 时，如图2所示，两个三角形重叠部分为 的面积，
由题意得， ，
过点 作 于点E，
，
，
即 ；
当 时，如图3所示，两个三角形重叠部分为 的面积，
由题意得， ，
和 是边长分别为5和2的等边三角形，
是等边三角形，且 ，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
即 ；综上，写出 与 之间的函数关系式为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，
熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．
7．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）二次函数 （ ）的图像与
直线 交于点 、 两点 ，则关于 的不等式 的解集为
_______．
【答案】 ##
【分析】由题意，可大致画出函数图像，根据图形的对称性，求出点C、D的横坐标，即可求解．
【详解】解：由题意，可大致画出函数图像如下，
则直线 关于y轴对称的直线为 ，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点D、C，
则点C、D的横坐标分别为-1、2，
观察函数图像 的解集为 ，即关于 的不等式 解集为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，解题关键是熟练运用数形结合的思想分析问题．
三、解答题
8．（2022·浙江宁波·一模）已知：一次函数 ，二次函数为 （b，c为常数）.
(1)如图，两函数图象交于点 .求二次函数的表达式，并写出当 时x的取值范围.
(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.
【答案】(1) ，-2＜x＜3；
(2)b=2，c=-2，（答案不唯一）
【分析】（1）将（3，m），（n,-6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可
得 时x的取值范围．
（2）令 ，由Δ=0求解．
（1）
将（3，m）代入 得m=6-2=4，将（n,-6）代入 得-6=2n-2，
解得n=-2，
∴抛物线经过点（3，4），（-2，-6），
将（3，4），（-2，-6）代入 得
，
解得 ，
∴ ，
由图象可得-2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴ 时x的取值范围是-2＜x＜3．
（2）
令 ，整理得 ，
当 时，两函数图象只有一个公共点，
∴b=2，c=-2，满足题意．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象
与系数的关系．