文档内容
专题 13 二次函数的应用（10 个高频考点）（强化训练）
【题型1 图形面积或周长问题】
1．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边
BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角
坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(00，
∴在对称轴的右侧，函数y的值随x的增大而增大，
15 15 2 225
∴当x= 时，y取最大值为y=( ) = ；
4 4 16
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
∵△ADE∽△ABC，
DE AN
∴ = ，
BC AM
而AN=AM−MN=AM−EP，
x 6−EP
∴ = ，
10 6
3
解得EP=6− x．
53
所以y=x(6− x)，
5
3 15
即y=− x2+6x( 0)个单位长度，平移后的函数图
象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
1
【答案】（1）y=− x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
4
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
1
（2）把：x =1，代入y=− x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
4
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
1
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：a=− ，
4
1 1
∴二次函数的解析式为：y=− (x-8)x=− x2+2x（0≤x≤8）；
4 4
1 1 7
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=− x2+2x，得y=− ×12+2×1= ＞1.68，
4 4 4
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
1
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y= x2-2x，
4
1
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=- x2+2x，
4∴新函数表达式为：y=¿，
∵将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，
∴O′（m，0），A′（m+8，0），B′（m+4，-4），如图所示，
根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大
而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次
函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
15．（2022·河南·模拟预测）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是
1
4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=− x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离
6
17
为3m，到地面OA的距离为 m．
2
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否
安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那
么两排灯的水平距离最小是多少米？1
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，
6
理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是4√3m．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根
据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y
的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
( 17)
【详解】解：（1）由题知点B(0,4),C 3, 在抛物线上
2
所以¿，
解得¿，
1
∴y=− x2+2x+4，
6
b
∴当x=− =6时，y=10
2a
1
∴抛物线解析式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10米；
6
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
22
当x=2或x=10时，y= >6，
3
所以可以通过；
1
（3）令y=8，即− x2+2x+4=8，可得x2−12x+24=0，解得x =6+2√3，x =6−2√3
6 1 2
x −x =4√3
1 2
答：两排灯的水平距离最小是4√3m
【题型4 销售问题】
16.（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售
单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x
（元）满足一次函数关系，且当x=15时，y=50；当x=17时，y=30．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y=−10x+200
(2)这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得w=(x−12)()，进而根据二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意得：
¿，解得：¿，
∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+200；
（2）解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得：
w=(x−12)(−10x+200)=−10x2+320x−2400=−10(x−16) 2+160，
∵12≤x≤18，且-10＜0，
∴当x=16时，w有最大值，最大值为160；
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的
关键．
17．（2022·辽宁·统考中考真题）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定
其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满
足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x
…… 20 22 24 ……
（元）
日销售量y
…… 66 60 54 ……
（千克）
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少
元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126
(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：¿，
解得：¿，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数
的性质．
18．（2022·辽宁营口·统考中考真题）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5
本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款
纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本
时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下
表所示：
售价（元/本） … 22 23 24 25 …
每天销售量（本） … 80 78 76 74 …
(1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
(2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数
不变，设A款纪念册每本降价m元．
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)①B款纪念册销售量为(80-2m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即
可；
（2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-
2m)本；
②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每
本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案．
(1)
解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，
依题意得¿，
解得¿，
答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)
解：①设A款纪念册每本降价m元，
则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元），
∵这两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，
∴¿，
解得¿，
∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124，
由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本，
售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)，
设该店每天所获利润为w元，
则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m)
=-4m2+48m+1120
=-4(m-6)2+1264，
∵-4<0，
∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32-6=26(元)，答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和
函数关系式．
19．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．
2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每
吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村
产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=−2x+20，4≤x≤5.5
(2)将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函
数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（1）
解：根据题意得y=12−2(x−4)=−2x+20(4≤x≤5.5)，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式y=−2x+20，
自变量x的取值范围是4≤x≤5.5
（2）
解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得
w=(−2x+20)(x−2)=−2x2+24x−40=−2(x−6) 2+32，
∵−2<0，
∴当x<6，W随x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴当x=5.5时，w有最大值，最大值为−2×（5.5−6）2+32=31.5，
∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
20．（2022·湖北武汉·统考中考真题）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克） … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y（千克） … 30 27.5 25 12.5 10 …
(1)根据表中的数据在下图中描点(x,y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关
系式；
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本），
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w=240（元）时的销售单价．
【答案】(1)图象见解析，y与x的函数关系式为：y=−x+50
(2)①w关于x的函数关系式为：w=−x2+68x−900；当w取最大值，销售单价为34元；
②w=240（元）时的销售单价为30元
【分析】（1）根据表格描点连线即可做出函数图像，然后利用待定系数法，将表格中数值代入进行求参
数即可；
（2）①由（1）中关系式可求得w=−x2+68x−900，结合函数的性质可知当w取最大值，销售单价为34
元；
②解方程−x2+68x−900=240，可知x =30，x =38，根据超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原
1 2
则，可知x=30符合题意．
【详解】（1）解：作图如图所示，由图可知，y与x是一次函数关系，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
20k+b=30
将x=20，y=30；x=40，y=10，代入y=kx+b得，{ ，
40k+b=10
k=−1
解得：{ ，
b=50
即y与x的函数关系式为：y=−x+50；
（2）①由题意可知w关于x的函数关系式为：w=(−x+50)(x−18)=−x2+68x−900=
−（x−34) 2+256，
∴当x=34时，w取最大值，最大值为：256元，
即：当w取最大值，销售单价为34元；
②当w=240时，−x2+68x−900=240，
解得：x =30，x =38，
1 2
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x=30，
即w=240（元）时的销售单价为30元．
【点睛】本题主要考查的是一次函数及二次函数得应用，掌握函数及图象的性质，能够整合题中条件是解
题的关键．
【题型5 投球问题】
21．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1
是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数5
关系如图2所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平
距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
4 8 5
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设y=a(x−3) 2+3，
5
∵y=a(x−3) 2+3经过点(0， )，
3
5
∴ =a(0−3) 2+3
3
4
解得∶a=− ,
27
4 4 8 5
∴y=− (x−3) 2+3=− x2+ x+ ，
27 27 9 3
4 8 5
∴y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
4 8 5 4 8 5
∵对于二次函数y=− x2+ x+ ，当y=0时，有− x2+ x+ =0
27 9 3 27 9 3
∴4x2−24x−45=0，15 3
解得∶x = ， x =− (舍去)，
1 2 2 2
15
∵ >6.70，
2
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题
的关键．
22．（2022·河北保定·校考一模）图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图，水平台
面的长和宽分别为2.8m和1.6m，中间球网高度为0.15m，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向
右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为0.4m．乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v
（单位：m/s）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明：
P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当t=1时，ℎ =5；P，Q的水
平距离是vt（单位：m），如图2．
(1)设v=10m/s．用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范
围）
(2)在（1）的条件下，①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，
判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；
②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线0.3m，边线0.3m），问发球点O在底线
上的哪个位置？（参考数据：√7≈2.6）
(3)将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，
就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接写出v的取值范围．（结果保留根号）
x2 2
【答案】(1)x=10t，y=0.4−5t2，y=− +
20 5
(2)①能，理由见解析；②发球点O在底线上距离边线1.6m的位置（即左上角）14
(3)
√50.15；
20 5
2.82 2
底线可看成一个点且点的坐标为(2.8,0)，当x=2.8时，y=− + =0.008>0，
20 5
∴这次发球能过网，但出界了．
②如图，分别过点O，M作底线，边线的平行线MN,ON，交于点N，
在Rt△MON中，ON=2.8−0.3=2.5m，
x2 2
当y=0时，− + =0，
20 5
解得x=2√2或x=−2√2（根据题意舍去）
∴OM=2√2m，
√7
∴MN=√OM2−ON2= ≈1.3m,1.3+0.3=1.6m，
2
∴发球点O在底线上距离边线1.6m的位置（即左上角）．
(3)
解：当垂直底线发球，恰巧过网，此时v值最小，
∵中间球网高度为0.15m，
∴y=0.15m，
∴h=0.4-0.15=0.25m，
∴ℎ =5t2=0.25，
√5 √5
解得t= 或− （舍去），
10 10
∵底线到中网的距离为1.4m ，
1.4 14√5
t= =
∴ √5 5 ；
10
当斜发球恰巧与右下底线与边线边缘相碰，此时v值最大，如图，连接OA，作NB⊥底线于B点，√212
∴OA=√OB2+AB2=√2.82+0.82=
，
5
∵这时的h=0.4，
∴ℎ =5t2=0.4，
√2 √2
∴t= 或t=− （舍去），
5 5
√212
OA 5
∴v= = =√106 ，
t √2
5
14
∴ √56.5，
6 96
∴能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，理清题目中各量之间的关系解题的关键.注意数形结合思
想的应用.
37．（2022·湖南邵阳·统考中考模拟）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点
离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立
平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽
2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？
5
【答案】（1）y=− x2 ，x的取值范围是−3≤x≤3；（2）能够通过此隧道．
9
【分析】（1）根据所建坐标系设解析式为y=ax2，由A点或B的坐标易求解析式，根据隧道口的有限性结
合图象易知x的取值范围；
（2）能否通过是比较当x=1.4时[5-（-y）]的值与1的大小．
【详解】（1）设所求函数的解析式为y=ax2．
由题意，得函数图象经过点B（3，-5），
∴-5=9a．
5
∴a=− ．
9
5
∴所求的二次函数的解析式为y=− x2 ．
9
x的取值范围是−3≤x≤3．5 9.8 49
（2）当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应y=− ×1.42=− =− ，
9 9 45
49 45 49 45
EN长为 ，车高1= 米，∵ > ，
45 45 45 45
∴农用货车能够通过此隧道．
38．（2022·安徽芜湖·校联考三模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度
OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM
上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队
计算一下．
1
【答案】（1）M（12，0），P（6，6）；（2）y=− x2+2x；（3）15米．
6
【详解】试题分析：确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛
物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆
AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．
试题解析：（1）M（12，0），P（6，6）
（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6
1
∴a=−
6
1 1
∴这条抛物线的函数解析式为y=− （x﹣6）2+6，即y=− x2+2x；
6 6
（3）设A（x，y）1
∴A（x，− （x﹣6）2+6）
6
∵四边形ABCD是矩形，
1
∴AB=DC=− （x﹣6）2+6，
6
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
1 1 1
∴令L=AB+AD+DC=2[− （x﹣6）2+6]+12﹣2x=− x2+2x+12=− （x﹣3）2+15．
6 3 3
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
考点：二次函数的应用．
39．（2022·山东德州·统考二模）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM
为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使 C 、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，则这个
“支撑架”总长的最大值是多少？
【答案】（1） M（12，0） ，P（6，6）；
1
（2）y=− x2+2x；
6
（3）当m=3时，AD+DC+CB有最大值为15米.
【分析】（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；
（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，
再求其和的表达式，运用函数性质求解．
【详解】(1)易知底部宽度为12米所以OM=12.则M(12，0)，最大高度为6米，所以P(6，6).(2)设此函数关系式为：y=a(x−6) 2+6.
∵函数y=a(x−6) 2+6经过点(0，0)，
1
∴0=a(0−6) 2+6，即a=− .
6
∴此函数解析式为：
1 1
y=− (x−6) 2+6=− x2+2x.
6 6
(3)设A(m，0)，则
B(12-m，0)，C ( 12−m,− 1 m2+2m ) ，D ( m,− 1 m2+2m ) .
6 12
∴“支撑架”总长AD+DC+CB = ( − 1 m2+2m ) +(12−2m)+ ( − 1 m2+2m )
6 6
1
=− m2+2m+12.
3
1
=− (m−3) 2+15
3
∵此二次函数的图象开口向下.
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．
点评：
本题难度在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在根据图形特点选取一个合适的参数
表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．
40．（2022·江苏南京·统考二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM
为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2．5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明．
1
【答案】（1）y=- x2+2x．（0≤x≤12）；（2）不能行驶宽2．5米、高5米的特种车辆．
6
【详解】试题分析：（1）根据所建坐标系知顶点P和与X轴交点M的坐标，可设解析式为顶点式形式求
解，x的取值范围是0≤x≤12；
（2）根据对称性当车宽2．5米时，x=3或9，求此时对应的纵坐标的值，与车高5米进行比较得出结论．
试题解析：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y=a（x-6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），
1
∴a（0-6）2+6=0，解得a=- ，
6
1
∴这条抛物线的函数解析式为y=- （x-6）2+6，
6
1
即y=- x2+2x．（0≤x≤12）；
6
（2）当x=6-0．5-2．5=3（或x=6+0．5+2．5=9）时
y=4．5＜5
故不能行驶宽2．5米、高5米的特种车辆．
考点：二次函数的应用．
【题型9 行程问题】
41．（2022·江苏南通·统考二模）某人做跑步健身运动，每千米消耗的热量y（单位：kcal）与其跑步的速
度x（单位：km/h）之间的函数关系如图所示，其中线段AB的表达式为y＝2x＋50（2.5≤x≤10），点C的
坐标为（14，82），即步行速度为14 km/h时他每步行1 km的消耗热量是82 kcal．
（1）求线段BC的表达式；
（2）若从甲地到乙地全程为26 km，其中有6 km是崎岖路，他步行的最高速度是5km/h，20 km是平坦路，
他步行的最高速度是12 km/h，那么在不考虑其他因素的情况下，他从甲地到乙地至多消耗多少kcal的热
量？【答案】（1）y=3x+40,(10≤x≤14)；（2）他从甲地到乙地至多消耗1880kcal的能量．
【分析】（1）由题意易得点B的坐标，则设线段BC的解析式为y=kx+b,(10≤x≤14)，进而把点B、C
的坐标代入求解即可；
（2）分别求出x=5，x=12时y的值，即可求解．
【详解】解：（1）由图象可得：把x=10代入线段AB的解析式得：y=2×10+50=70，
∴点B(10,70)，
设线段BC的解析式为y=kx+b,(10≤x≤14)，则由B、C的坐标可得：
¿，解得：¿，
∴线段BC的解析式为y=3x+40,(10≤x≤14)；
（2）x=5时，y=2×5+50=60，
x=12时，y=3×12+40=76，
∴60×6+76×20=1880（kcal），
答：他从甲地到乙地至多消耗1880kcal的热量．
【点睛】本题考查一次函数的应用，主要考查待定系数法求函数表达式的技能．
42．（2018·安徽蚌埠·统考中考模拟）台州人民翘首以盼的乐清湾大桥于2018年9月28日正式通车，经统
计分析，大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220
辆/千米的时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度
为80千米/小时，研究证明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为50/辆千米时的车流速度；
（2）在某一交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于60千米/小时且小于80千米/小时，应把大桥上的
车流密度控制在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度，求
大桥上车流量y的最大值．【答案】（1）车流速度68千米/小时；（2）应把大桥上的车流密度控制在20千米/小时到70千米/小时之
间；（3）车流量y取得最大值是每小时4840辆
【分析】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，列式求出函数解析式，将x=50代入即可
得到答案；
（2）根据题意列不等式组即可得到答案；
（3）分两种情况：0≤x≤20、20≤x≤220时分别求出y的最大值即可.
【详解】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得
¿，
解得¿，
2
∴当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数为v=− x+88，
5
2
当x=50时，v=− ×50+88=68（千米/小时），
5
∴大桥上车流密度为50/辆千米时的车流速度68千米/小时；
（2）由题意得¿，
解得200，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=20时，y有最大值1600，
当20≤x≤220时，
2 2
y=(− x+88)x=− (x−110) 2+4840，
5 5
当x=110时，y有最大值4840，
∵4840>1600，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆.
【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次不等式组的实际应用，二次函数最大值的确
定，正确掌握各知识点并熟练解题是关键.
43．（2018·湖北襄阳·校联考中考模拟）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与k
y轴交于点B，与滑道y= （x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，
x
从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h
（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时
运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v 米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右
乙
侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v 的范围．
乙
1 2 89
【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=﹣5t2+18，y=− x2+ x+ ，当y=13时，运动员在与正下
5 5 5
方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v ＞7.5
乙
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v ．
乙
k
【详解】（1）由题意，点A（1，18）代入y= ，
x
k
得：18= ，
1
∴k=18，
设h=at2，把t=1，h=5代入，
∴a=5，
∴h=5t2；
（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，∴y=﹣5t2+18，
由x=5t+1，
1
则t= （x-1），
5
1 1 2 89
∴y=﹣ （x-1）2+18=− x2+ x+ ，
5 5 5 5
1
当y=13时，13=﹣ （x-1）2+18，
5
解得x=6或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
18
把x=6代入y= ，
x
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；
（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18
81
得t2= ，
25
解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
18
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y= 上，
x
此时，乙的坐标为（1+1.8v ，1.8），
乙
由题意：1+1.8v ﹣（1+5×1.8）＞4.5，
乙
∴v ＞7.5．
乙
【点睛】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，综合性较强，有一定的难度，读懂题意，正确
应用反比例函数和二次函数的知识解决问题是关键．本题也考查了函数图像上的临界点问题．
44．（2017·河北·模拟预测）我市某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口
出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将拖回．如图，折线段O－A－B表示救援船在整个航行
过程中离港口的距离y（海里）随航行时间x（分钟）的变化规律．抛物线y=ax2+k表示故障渔船在漂移
2
过程中离港口的距离y（海里）随漂移时间x（分钟）的变化规律．已知救援船返程速度是前往速度的 ．
3根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）救援船行驶了 海里与故障渔船会合；
（2）求救援船的前往速度；
（3）若该故障渔船在发出救援信号后40分钟内得不到营救就会有危险，请问求援船的前往速度每小时至
少是多少海里，才能保证渔船的安全．
【答案】解：（1）16．
（2）救援船的前往速度为每分钟0.5海里．
219
（3）援船的前往速度每小时至少是 海里
8
【详解】分析：（1）读图可知，点A的纵坐标16即为所求．
（2）根据图示，救援船的前往的时间等于返航的时间减16，据此列方程求解．
2
解：救援船的前往速度为每分钟V海里，则返航速度为每分钟 V海里，
3
16 16
= −16
由题意得V 2 ，解得V=0.5．
V
3
经检验，V=0.5是原方程的解．
答：救援船的前往速度为每分钟0.5海里．
（3）求出点A坐标，将A（32，16）和C（0，12）代入y=ax2+k，求出抛物线解析式，从而得到距离，
除以时间即得速度．
解：由（2）知，t=16÷0.5=32，则A（32，16）．
将A（32，16）和C（0，12）代入y=ax2+k，得
1
1024a+k=16 a=
{ ，解得{ 256．
k=12
k=121
∴抛物线解析式为y= x2+12．
256
1 73 73 40 219
当t=40时，y= ×402+12= ， ÷ = ．
256 4 4 60 8
219
∴援船的前往速度每小时至少是 海里．
8
45．（2022·江苏宿迁·统考二模）大桥上正在行驶的甲车，发现正前方27m处沿同一方向行驶的乙车（此
时v >v ）后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）与速度v（单位：m/s）的关系式
甲 乙
1
s=− v2+128(0≤v≤16)；甲车行驶的速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系可以用一次函数
2
表示，其图像如图所示．
(1)求当甲车减速5s时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车一直匀速行驶，经过多长时间两车相距的最近距离是2.5m？
【答案】(1)当甲车减速5s时，它行驶的路程是67.5m
(2)7s
1 1
【分析】（1）先求出v=−t+16(0≤t≤16)从而得到s=− v2+128=− (t−16) 2+128据此求解即可；
2 2
（2）根据当v >v 时，两车之间的距离逐渐变小，当v v 时，两车之间的距离逐渐变小，当v 7，
当x=6时，y=0<7，
当y=7时，7=−x2+4x+12，
解得x=−1或5，
∴抛物线与台阶T 有交点，设交点为R(5,7)，
4
∴点P会落在台阶T 上；
4
（2）
解：由题意抛物线C:y=−x2+bx+c，经过R(5,7)，最高点的纵坐标为11，
−4c−b2
=11
∴ { −4 ，
−25+5b+c=7
b=14 b=6
解得{ 或{ （舍弃），
c=−38 c=2
∴抛物线C的解析式为y=−x2+14x−38．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找
特殊点解决问题，属于中考压轴题．
49.（2022·河北邯郸·校联考三模）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时1 1 1
可近似用函数p= t− 刻画；当2525，
∴ℎ =29；
(2)
解：①由表格可知，m是p的一次函数，设m=kp+b，
则¿，解得¿
∴m=100p−20；
1 1
②当10≤t≤25时，p= t− ，
50 5
( 1 1)
∴m=100 t− −20=2t−40；
50 5
1
当25
