专题 13 二次函数的应用（10 个高频考点）（强化训练）
【题型1 图形面积或周长问题】
1．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边
BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角
坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(0<m≤6)，
求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计方案，
请你从中选择一种，求出该方案下矩形P P P P 面积的最大值，及取最大值时点P 的横坐标的取值范围
1 2 3 4 1
（P 在P 右侧）．
1 4
1
【答案】(1)y＝− x2＋8
6
1
(2)（ⅰ）l＝− m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，−√30＋9≤P 横坐标≤√30；
2 1
81 9
方案二：最大面积 −√21＋ ≤P 横坐标≤√21
4 2 1【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
1
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P 的坐标为（m，－ m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数
2 6
的性质分析最值；
（ⅱ）设PP＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数
2 1
形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
1
解得：a＝− ，
6
1
∴抛物线对应的函数表达式为y＝− x2＋8；
6
（2）（ⅰ）∵点P 的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形PPPP 为矩形，点P，P 在抛物线AED上，
1 1 2 3 4 2 3
1
∴P 的坐标为（m，− m2＋8），
2 6
1
∴PP＝PP＝MN＝− m2＋8，PP＝2m，
1 2 3 4 6 2 3
1 1 1
∴l＝3（− m2＋8）＋2m＝− m2＋2m＋24＝− （m－2）2＋26，
6 2 2
1
∵− ＜0，
2
∴当m＝2时，l有最大值为26，
1
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝− m2＋2m＋24，l的最大值为26；
2
（ⅱ）方案一：设PP＝n，则PP＝18－3n，
2 1 2 3
∴矩形PPPP 面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
1 2 3 4
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时PP＝3，PP＝9，
2 1 2 3
1
令− x2＋8＝3，
6
解得：x＝±√30，∴此时P 的横坐标的取值范围为−√30＋9≤P 横坐标≤√30，
1 1
方案二：设PP＝n，则PP＝9－n，
2 1 2 3
9 81
∴矩形PPPP 面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－ ）2＋ ，
1 2 3 4 2 4
∵－1＜0，
9 81
∴当n＝ 时，矩形面积有最大值为 ，
2 4
9 9
此时PP＝ ，PP＝ ，
2 1 2 2 3 2
1 9
令− x2＋8＝ ，
6 2
解得：x＝±√21，
9
∴此时P 的横坐标的取值范围为−√21＋ ≤P 横坐标≤√21．
1 2 1
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用
数形结合思想解题是关键．
2.（2022·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费
为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
【答案】（1）S=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，理由见解析；（3）当x=4米时，矩形的最大面积为16
平方米，设计费最多，最多是32000元．
【分析】（1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．
【详解】解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为（8﹣x）米，
∴S=x（8﹣x）=−x2+8x，其中0＜x＜8，
即S=−x2+8x（0＜x＜8）；
（2）能，理由如下：
∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），
即−x2+8x=12，解得：x=2或x=6，
∴设计费能达到24000元．
（3）∵S=−x2+8x=−(x−4) 2+16，
∴当x=4时，S =16，
最大值
∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
3．（2022·河北廊坊·统考二模）如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方
形和抛物线构成，长方形的长AD=4米，宽AB=3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．
(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．
(2)现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架
FGMN，点G、M在AD上，点N、F在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设M(m,0)，且
1
满足 ≤m≤1，当窗户框架FGMN的周长最大时，每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房
2
的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架FGMN成本）
(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，每月能售出100个，而
单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售
B型活动板房所获利润W（元）最大？最大利润是多少？
1
【答案】(1)y=− x2+1
4
(2)每个B型活动板房的成本是450元
(3)销售单价n（元）定为550元时，每月销售B型活动板房所获利润W（元）最大，最大利润是20000元
【分析】（1）根据图形和平面直角坐标系可设该抛物线的解析式为y=ax2+c，易得点D和点E坐标，代入 y=ax2+c求解即可；
（2）根据点M、N的横坐标相等，求出点N的坐标，再根据长方形的周长公式和二次函数的性质求法解
答即可；
（3）根据题意得到W与n的二次函数，根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：由题意，设该抛物线的解析式为y=ax2+c，
∵长方形的长AD=4米，宽AB=3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米，
∴OH=AB=3，OD=OA=2，OE=EH-OH=1，
∴E（0，1），D（2，0），
将E（0，1），D（2，0）代入y=ax2+c，得：
¿，解得：¿，
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+1．
4
(2)
1
解： ∵M（m，0），∴N（m，− m2+1），
4
1
由题意，MN=FG=− m2+1，GM=FN=2OM=2m，
4
1 1 1
∴窗户框架FGMN的周长为2（2m+− m2+1）=− m2+4m+2=− (m−4) 2+10，
4 2 2
1 1
∵− ＜0， ≤m≤1，
2 2
∴当m=1时，周长最大，最大值为5.5，
此时，每个B型活动板房的成本是395+5.5×10=450元．
(3)
解：根据题意，得：
600−n
W=（(n−450)(100+20× )
10
= =−2n2+2200n−585000
= −2(n−550) 2+20000，
∵-2＜0，
∴当n=550时，W最大，最大值为20000，故销售单价n（元）定为550元时，每月销售B型活动板房所获利润W（元）最大，最大利润是20000元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，正确列出二次函数的解析式并熟练掌握二次函数的性
质是解答的关键．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各
边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．
1
【答案】(1) y＝－ x2＋3x；(2) 当x＝3时，y有最大值，为4.5.
2
【详解】分析：（1）由矩形的周长为12，AB=x，结合矩形的性质可得BC=6-x，然后由E，F，G，H为矩
形ABCD的各边中点可得四边形EFGH的面积是矩形面积的一半，从而列出函数关系式；
（2）由关系式为二次函数以及二次项系数小于0可得四边形EFGH的面积有最大值，然后利用配方法将
抛物线的解析式写成顶点式，从而得到x取什么值时，y取得最大值，以及最大值是多少.
详解：(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，
1
∴BC＝ ×12－x＝6－x.
2
∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，
1 1
∴y＝ x(6－x)＝－ x2＋3x，
2 2
1
即y＝－ x2＋3x.
2
1 1
(2)y＝－ x2＋3x＝－ (x－3)2＋4.5，
2 2
1
∵a＝－ ＜0，
2
∴y有最大值，
当x＝3时，y有最大值，为4.5.点睛：本题是一道有关二次函数应用的题目，解题的关键是依据矩形的性质结合已知列出二次函数关系式，
然后利用二次函数的最值解决问题.
5．（2022·四川绵阳·统考二模）如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间
矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面
积为S.
(1)求养殖房的最大面积.
(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不
少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？
【答案】(1)108平方米
(2)5种购买方案.
小鹅 0 5 10 15 20
小鸡 80 73 66 59 52
【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，
∴养殖房的最大面积为108平方米；
（2）设买小鸡a只，小鹅b只，
则5a+7b＝400，且a≥2b，
400−7b 7b
∴a＝ ＝80﹣ ≥2b，
5 5
400
则b≤ ，且b≥0，
17
又∵a，b都为非负整数，∴b可为0，5，10，15，20，
此时a对应为80，73，66，59，52，
∴该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅0只；方案2：小鸡73只，小鹅5只；方案3：
小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52只，小鹅20只．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式．
【题型2 图形运动问题】
6．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）如图，在△ABC中，BC=10，BC边上的高AM=6，
D，E分别是边AB，AC上的两个动点（点D不与点A、B重合），DE与AM交于点N，且DE∥BC，
以DE为边，在点A的下方做正方形DEFG．
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长．
(2)设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，则当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
15
【答案】(1)正方形DEFG的边长为 ；
4
(2)当x=5时，y有最大值为15．
DE AN
【分析】（1）由相似三角形的对应边成比例，可得 = ，又由正方形DEFG的各边都相等，即可
BC AM
求得DE的长，即正方形DEFG的边长；
（2）①由正方形DEFG在△ABC的内部，可得△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的
面积，根据正方形面积的求解方法，易得y=x2，s根据二次函数的性质求得此时y的最大值；②当正方形
DEFG的一部分在△ABC的外部时，由△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例，可得
3 15
y=− x2+6x( <x<10)，根据二次函数的性质求得此时二次函数的最大值；比较后即可求得y的最大
5 4
值．
【详解】（1）解：当正方形DEFG的边GF在BC上时，则DE∥BC，∵△ADE∽△ABC，
DE AN
∴ = ，
BC AM
∵BC=10，AM=6，
∴AN=AM−MN=6−DE，
DE 6−DE
∴ = ，
10 6
15
解之得DE= ，
4
15
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为 ；
4
（2）解：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG
的面积，
∵DE=x，
15
∴y=x2 (0<x≤ )，
4
∵1>0，
∴在对称轴的右侧，函数y的值随x的增大而增大，
15 15 2 225
∴当x= 时，y取最大值为y=( ) = ；
4 4 16
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
∵△ADE∽△ABC，
DE AN
∴ = ，
BC AM
而AN=AM−MN=AM−EP，
x 6−EP
∴ = ，
10 6
3
解得EP=6− x．
53
所以y=x(6− x)，
5
3 15
即y=− x2+6x( <x<10)，
5 4
3 3 15 3
∵y=− x2+6x=− (x−5) 2+15( <x<10)，且− <0，
5 5 4 5
∴当x=5时，y有最大值为15，
225 1
∵ =14 <15，
16 16
∴△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为15．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质与二次函数的性质．此题综合性很强，
解题时要仔细分析．
7．（2022·安徽黄山·统考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm．现有动点P从点A出
发，沿线段AC向点C方向运动；动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是
8cm/s，点Q的速度是4cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间
为t秒．求：
(1)当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？
(2)若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
(3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】(1)20m
(2)s=−16t2+80t
40
(3)t=3秒或t= 秒
11
【分析】(1)在Rt ΔCPQ中，当t＝3时，可求得CP，CQ的长，利用勾股定理即可求解；
(2)已知点P、Q的运动速度和运动时间，又知AC、BC的长，可求得CP，CQ的长，利用三角形的面积公
式即可求解；
(3)应分两种情况进行求解：①ΔPQC∽ΔABC；②ΔQPC∽ΔABC，利用相似三角形的性质即可求解．(1)
解：由题意得，AP=8t，CQ=4t，则CP=AC−AP=40−8t，
当t=3时，CP=AC−AP=40−8×3=16，CQ=4×3=12，
在Rt ΔCPQ中，PQ=√CP2+CQ2=√162+122=20，
∴当t＝3时，P、Q两点之间的距离是20m．
(2)
解：由题意得，AP=8t，CQ=4t，则CP=AC−AP=40−8t，
1 1
∴s= CP·CQ= ×(40−8t)×4t=−16t2+80t；
2 2
(3)
解：由题意得，AP=8t，CQ=4t，则CP=AC−AP=40−8t，AC＝40，BC＝30，
CP CQ 40−8t 4t
若ΔPQC∽ΔABC，则 = ，即 = ，解得t=3；
AC BC 40 30
CQ CP 4t 40−8t 40
若ΔQPC∽ΔABC，则 = ，即 = ，解得t= ，
AC BC 40 30 11
40
综上可知，t=3秒或t= 秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
11
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用等，分类讨论的思想是解题的关键．
8．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．设P，
Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C
作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t秒（0＜t≤4）．
（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
3 5 15 5 15 5 25 40
【答案】（1）S＝﹣ （t﹣ ）2+ ，当t＝ 时，S有最大值 ；（2）t＝ 或 或 ．
10 2 8 2 8 2 13 13
【分析】（1）过点P作PM⊥BC，垂足为M，从而得到ΔBPM∽ΔBDC，根据相似比例求出PM的长，
可以得到用t表示面积的函数解析式，再求最大值；（2）分三种情况讨论三角形PBQ为等腰三角形，即BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ，再分别求t的值．
【详解】解：（1）矩形ABCD中，BD=√AB2+AD2=√32+42=5，
过点P作PM⊥BC，垂足为M，
∴ΔBPM∽ΔBDC
5−t PM
∴ = ，
5 3
3
∴PM= (5−t)，
5
1 3 3 5 2 15
∴S= ×t× (5−t)=− (t− ) + ，
2 5 10 2 8
5 15
∴当t= 时，S有最大值 ；
2 8
（3）①当BP=BQ时，5−t=t，
5
∴t= ，
2
②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，
1 5−t
此时，BE= BP= ，
2 2
∵∠BEQ=∠C,∠EBQ=∠CBD,∴ΔBQE∽ΔBDC
5−t
BE BQ
∴ = 即 2 t ，
BC BD =
4 5
25
∴t= ．
13
③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，1 1
此时，BF= BQ= t，
2 2
∵∠PFB=∠C,∠PBF=∠DBC,∴ΔBPF∽ΔBDC
t
BF BP
∴ = 即2 5−t，
BC BD =
4 5
40
∴t= ．
13
5 25 40
∴t= 或 或 均使ΔPBQ为等腰三角形．
2 13 13
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和相似三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解题关键．
9．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，AB＝5√5，BD＝4√5．
动点P从点A出发，沿AB—BC向终点C运动，点P在AB上的运动速度是每秒5√5个单位长度，在BC上
的运动速度是每秒5个单位长度．当点P不与△ABC顶点重合时，以PB为角的一边作∠BPQ＝∠A，角的
另一边交BC边或AB边于点Q，以PQ为一边在PQ的下方作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒，正
方形PQMN与△ABC重合部分图形的面积为S．
（1）求∠C的正切值．
（2）用t的代数式表示PB的长．
（3）当点P在AB上运动时，求S的最大值以及S取得最大值时t的值．
（4）当正方形PQMN的顶点在边AC上时，直接写出t的值．5 5 41 39
【答案】（1）2；（2）5t−5；（3）t= 时，S有最大值为25；（4）t= 或 或
9 9 21 19
【分析】（1）利用勾股定理求出∠C的邻边，然后利用锐角三角函数定义求即可
（2）当0<t<1时，求出AP=5√5t，可得PB=AB−AP=5√5−5√5t，当1＜t≤3时，可得PB=5(t−1)
即可；
（3）当点N在AC上时，由AB=AC，可得∠ABC=∠C，根据四边形OQMN为正方形，可证
5 5 ( 1) 2 5
PBQ∽△ABC，由性质解得t= ；当0＜t＜ 时，可得S PQGF=-100 t− +25，当 ≤t＜1时，可
9 9 矩形 2 9
△
得S=125(t−1) 2， 求出最值比较即可；
5
（4）当点P在AB上时，由（2）得t= ，当点P在BC上时，过Q作QR⊥BC于R，BP=5（t-1）=PQ，可
9
证 BQP∽△BAC，可确BQ=2√5(t−1)，再证 QRP∽△BDA，可求QR=4(t−1),RP=3(t−1)，根据点M
与△点N的位置可分两种情况，点N在AC上，过△N作NS⊥BC于S， QRP≌△PSN（AAS），可确CS =19-
△
NS 3(t−1)
9t，由三角函数tanC= = =2，当点M在AC上，过P作PZ⊥AB于Z，MY⊥AB于Y，求出
CS 19−9t
1
BZ=ZQ= BQ=√5(t−1),由勾股定理PZ=2√5(t−1)，可证 ZQP≌△YMQ（AAS），可确AY=
2
△
√5(t−1) 4
9√5−4√5t，根据三角函数tanA= = 即可求
9√5−4√5t 3
【详解】解：（1）在Rt ABD中
∵AB＝5√5，BD＝4√5．△
由勾股定理AD=√AB2−BD2=√(5√5) 2 −(4√5) 2=3√5
∴DC=AC−AD=5√5−3√5=2√5，
BD 4√5
∴在Rt BCD中，tanC= = =2；
CD 2√5
△
（2）∵AB=5√5，AP=5√5t，，当AP=AB时，即，5√5t=5√5，t=1，
在Rt△BDC中，由勾股定理，BC=√BD2+DC2=√(4√5) 2+(2√5) 2=10，
PB=5(t−1)=BC=10
∴t=3，当0<t<1时，
∴PB=AB−AP=5√5−5√5t，
当1＜t≤3时，PB=5(t−1)=5t−5；
（3）当点N在AC上时，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵四边形OQMN为正方形，
∴PQ∥AC，
∴∠BQP=∠C=∠PBQ，
∴PB=PQ=PN=ED，
∴△PBQ∽△ABC，
PQ BE
∴ = ，
AC BD
∵BE=BD-DE=4√5-(5√5−5√5t)=5√5t−√5
5√5−5√5t 5√5t−√5
∴ = ，
5√5 4√5
5
解得t= ；
9
5
当0＜t＜ 时，
9
BD 4√5 4
∵sin∠BAD= = = ，∠BPQ=∠BAC，
AB 5√5 5
BE 4
∴sin∠BPQ= = ，
PB 5
4 4
∴BE= PB= (5√5−5√5t)=4√5(1−t)，
5 5
∴DE=BD-BE=4√5−4√5(1−t)=4√5t，( 1) 2
∴S PQGF=DE·PQ=4√5t×5√5(1−t)=100t(1−t)=-100 t− +25，
矩形 2
1
所以，当t= 时，S =25，
2 最大值
5
当 ≤t＜1时，S=PQ2=125(t−1) 2，
9
5 2000 56
所以，当t= 时，S = =24 ，
9 最大值 81 81
56 1
由于24 <25，所以t= 时，S =25；
81 2 最大值
（4）当点P在AB上时，如图，
5
由（2）得t= ，
9
当点P在BC上时，过Q作QR⊥BC于R，BP=5（t-1）=PQ，∵∠BPQ=∠A，∠PBQ=∠CBA，
∴△BQP∽△BAC，
BQ BP BQ 5(t−1)
∴ = 即 = ，
BC AB 10 5√5
∴BQ=2√5(t−1)，
∵∠BPQ=∠A，∠QRP=∠BDA=90°，
∴△QRP∽△BDA，
QR RP PQ 5(t−1) QR RP 5(t−1)
∴ = = = 即 = = ，
BD AD AB 5√5 4√5 3√5 5√5
分两种情况
点N在AC上，过N作NS⊥BC于S，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PQ=PN=PB，∠QPN=90°，
∴∠RPQ+∠RQP=∠RPQ+∠NPS=90°，
∴∠RQP=∠SPN，
在△QRP和△PSN中，
¿，
∴△QRP≌△PSN（AAS），
∴QR=PS=4(t−1)，RP=SN=3(t−1)，
∴CS=BC-BP-PS=10-5(t−1)-4(t−1)=19-9t，
NS 3(t−1)
∴tanC= = =2，
CS 19−9t
41
∴t= ，
21
当点M在AC上，过P作PZ⊥AB于Z，MY⊥AB于Y，
∵PB=PQ，PZ⊥AB，1
∴BZ=ZQ= BQ=√5(t−1),
2
在Rt△ZPB中，
由勾股定理PZ=√BP2−ZB2=√ [5(t−1)] 2 −[√5(t−1)] 2 =2√5(t−1)，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PQ=PN=QM，∠MQP=90°，
∴∠ZPQ+∠ZQP=∠ZQP+∠MYQ=90°，
∴∠ZQP=∠YMQ，
在△ZQP和△YQM中，
¿，
∴△ZQP≌△YMQ（AAS），
∴PZ=QY=2√5(t−1)，QZ=YM=√5(t−1)，
∴AY=AB-BQ-QY==5√5−2√5(t−1)−2√5(t−1)=9√5−4√5t，
MY √5(t−1) BD 4
在Rt△AYM中tanA= = = = ，
AY 9√5−4√5t AD 3
39
解得t= ，
19
5 41 39
∴当正方形PQMN的顶点在边AC上时， t的值为 ， ， ．
9 21 19
【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数，用含t的式子表示线段，以及正方形与三角形重叠面积， 还
考查三角形相似判定与性质，三角形全等判定与性质，分类讨论思想，掌握勾股定理，锐角三角函数，函
数的性质， 三角形相似判定与性质，三角形全等判定与性质，分类讨论思想是解题关键．
10．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，连接AC，点O为AC
的中点，点E为边BC上的一个动点，连接OE，作OF⊥OE，交边AB于点F．已知点E从点B开始，以
1cm/s的速度在线段BC上移动，设运动时间为t(s)(0<t<6)．解答下列问题：（1）当t为何值时，OE//AB？
（2）连接EF，设△OEF的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S :S =51:384？若存在，求出t的值；若不存在，
△OEF 矩 形ABCD
请说明理由；
（4）连接OB，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OB恰好将△OEF分成面积比为1:2的两部分？若
存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
3 9 75 75 75
【答案】（1）3；（2）y= t2− t+ (0<t<6)；（3）2s或4s；（4）t= s, s
8 4 8 41 17
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式得方程，求解即可；
3
（2）证明△OFM∽ΔOEN，求得FM= |3−t|，分0<t≤3和3<t<6两种情况，结合
4
S =S −S −S −S 求解即可；
ΔEOF ΔABC ΔOCE ΔOAF ΔBEF
（3）根据S :S =51:384列出方程求解即可；
△OEF 矩 形ABCD
（4）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可求解．
【详解】解：（1）∵OE//AB
CE OC 1
∴ = =
CB AC 2
6−t 1
∴ =
6 2
解得，t=3
∴当t=3s时，OE//AB；
（2）取AB的中点M，BC的中点N，连接OM，ON，如图①∵AO=OC
1 1
∴OM//BC，OM//AB,OM= BC=3，ON= AB=4
2 2
∴∠AMO=∠ABC=90°，∠ONC=∠ABC=90°
∴四边形OMBN是矩形
∴∠MON=90°
∴∠NOE+∠EOM=90°，∠EOM+∠FOM=90°
∴∠NOE=∠FOM
∴△OFM∽ΔOEN
FM OM 3
∴ = =
EN ON 4
∵EN=|3−t|，
3
∴FM= |3−t|
4
9 3
①当0<t≤3时，EN=3−t,FM= − t，（如图①）
4 4
25 3
∴FB=FM+MB= − t，CE=NE+CE=3−t+3=6−t,
4 4
1 1
∴S = ON⋅EC= ×4(6−t)=12−2t，
ΔOEC 2 2
1 1 3 7 9 21
S = AF⋅OM= ( t+ )×3= t+ ，
ΔAOF 2 2 4 4 8 8
1 1 25 3 3 25
S = BC⋅BF= ⋅t⋅( − t)=− t2+ t
ΔEBF 2 2 4 4 8 8
∴S =S −S −S −S
ΔEOF ΔABC ΔOCE ΔOAF ΔBEF
1 9 21 3 25
= ×6×8−(12−2t)−( t+ )−(− t2+ t)
2 8 8 8 8
3 9 75
=
t2− t+
8 4 8
3 9 75
∴y= t2− t+ (0<t≤3)；
8 4 8
②当3<t<6时，如图②3 9
此时，EN=t−3，FM= t− ，
4 4
3 7
∴AF=AM+FM= t+ ,CE=6−t,
4 4
1 1 3 7 9 21
∴S = AF⋅OM= ( t+ )×3= t+
ΔAOF 2 2 4 4 8 8
1
S = ×4(6−t)=12−2t
ΔCOE 2
1 3 25 3 25
S = t(− t+ )=− t2+ t
ΔBEF 2 4 4 8 8
∴S =S −S −S −S
ΔEOF ΔABC ΔOCE ΔOAF ΔBEF
1 9 21 3 25
= ×6×8−(12−2t)−( t+ )−(− t2+ t)
2 8 8 8 8
3 9 75
=
t2− t+
8 4 8
3 9 75
∴y= t2− t+ (3<t<6)
8 4 8
3 9 75
综上所述，y= t2− t+ (0<t<6)
8 4 8
（3）∵S :S =51:384
△OEF 矩 形ABCD
3 9 75
∴( t2− t+ ):48=51:384
8 4 8
解得，t =4,t =2(0<t<6)
1 2
∴当t=2s或4s时，S :S =51:384；
△OEF 矩 形ABCD
EG 1
（4）当S :S =2:1时，即 = ，作GP⊥BC,GQ⊥AB，如图③
ΔOFG ΔOEG EF 3∵∠GEP=∠GEP，∠CPG=∠EBF=90°
∴△EGP∽ΔEPB
GP EG 1 1
∴ = = ，则GP= BF
BF EF 3 3
25 1 25 1
∴GP= − t，则QB=GP= − t
12 4 12 4
∵∠EFB=∠GFQ，∠FQF=∠PBE=90°
∴ΔFGO∽ΔFEB
GQ FG 2 2
∴ = = ，则GQ= BE
BE FE 3 3
2
∴GQ= t
3
GQ OM
∵tan∠OBM= =
QB MB
2
t
3 3
∴ =
25 1 4
− t
12 4
75
解得，t=
41
EG 2
当S :S =1:2时，即 = ，如图④，
ΔOFG ΔOEG EF 32 25 1 1 1
同上可得，QB= BF= − t，GQ= BE= t
3 6 2 3 3
OM GQ
∵tan∠OBM= =
MB QB
1
t
3 3
∴ =
25 1 4
− t
6 2
75
解得，t=
17
75 75
综上所述，t= s, s
41 17
【点睛】本题是四边形综合题，考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，准学会正确寻找相似三角形是解决问题．
【题型3 拱桥问题】
11．（2022·浙江绍兴·模拟预测）一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．
(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
1
【答案】(1)①抛物线解析式为：y=− x2+4；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10多少米；
25
(2)①圆的半径为14.5米；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过4√7米．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；
②在Rt△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5−1=13.5，根据勾股定理知：GF2=W F2−WG2，
求出即可．
【详解】（1）解：①设抛物线解析式为：y=ax2+c，
∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，
∴A(−10，0)，B(10，0)，D(0，4)，
∴¿，解得：¿，
1
∴抛物线解析式为：y=− x2+4；
25
②∵要使高为3米的船通过，
1
∴y=3，则3=− x2+4，
25
解得：x=±5，
∴EF=10米；
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米；
（2）解：①设圆半径r米，圆心为W，
∵BW2=BC2+CW2，
∴T2=(r−4) 2+102，
解得：r=14.5；即圆的半径为14.5米；
②在Rt△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5−1=13.5，
根据勾股定理知：GF2=W F2−WG2，
即GF2=14.52−13.52=28，
所以GF=2√7，此时宽度EF=4√7米．
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过4√7米．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、垂径定理以及勾股定理的应用等知识，利用图象上的点得
出解析式是解决问题关键．
12．（2022·甘肃定西·统考模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为
10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？
4
【答案】(1)y=− (x−5) 2+4
25
96
(2)在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 m
25
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点(0,0)，代入即可求解；
（2）根据对称轴为：x=5，得出对称轴右边1m处为：x=6，代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：抛物线顶点坐标为(5,4)，
设抛物线解析式为：y=a(x−5) 2+4，
∵抛物线过点(0,0)，
4
∴0=a(0−5) 2+4，解得：a=− ，
25
4
∴这条抛物线所对应的函数关系式为：y=− (x−5) 2+4．
25
（2）解：对称轴为：x=5，则对称轴右边1m处为：x=6，4 4 96
将x=6代入y=− (x−5) 2+4，可得：y=− (6−5) 2+4，解得：y= ，
25 25 25
96
答：在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 m．
25
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
13．（2022·广西河池·统考二模）如图1是一座抛物线型拱桥C 侧面示意图．水面宽AB与桥面长CD均为
1
24m，点E在CD上，DE=6m，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建
立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O离水面的距离；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的
抛物线C ，C ，其最低点与桥面CD的距离均为1m．求拱桥抛物线C 与钢缆抛物线C 的垂直距离的最小
2 3 1 2
值．
【答案】(1)6m
(2)2m
【分析】（1）设y =a x2，由题意得F(6,−1.5)，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y 的值
1 1 1
即可；
（2）由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，设y =a (x−6) 2+1，将点H代入求值即可；设拱桥抛物线C
2 2 1
与拱桥抛物线C 的垂直距离为Lm，则L= y −y ，代入求值即可．
2 1 2
（1）
解：设拱桥C 为y =a x2
1 1 1
将F(6，−1.5)代入得−1.5=36a
1
1
求得a =− ，
1 241
∴y =− x2
1 24
1
当x=12时，y =− ×122=−6，
1 24
∴桥拱顶部离水面高度为6m；
（2）
解：右边钢缆所在抛物线C 的顶点坐标为(6，1)
2
设其表达式为y =a (x−6) 2+1
2 2
将H(0，4)代入其表达式得4=a (0−6) 2+1，
2
1
解得a =
2 12
1
∴右边钢缆所在抛物线C 表达式为y = (x−6) 2+1
2 2 12
1
注：同理可得左边钢缆所在抛物线C 的顶点坐标为(−6，1)，表达式为y = (x+6) 2+1
3 3 12
设拱桥抛物线C 与拱桥抛物线C 的垂直距离为Lm
1 2
1 1 1
则L= y −y = (x−6) 2+1−(− x2 )= x2−x+4
2 1 12 24 8
1
= (x−4) 2+2
8
∴当x=4时，L =2
最小值
即拱桥抛物线C 与拱桥抛物线C 的垂直距离的最小值是2m
1 2
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数
形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
14．（2022·河北唐山·统考二模）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视
为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．
有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设
船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA
在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图
象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
1
【答案】（1）y=− x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
4
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
1
（2）把：x =1，代入y=− x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
4
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
1
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：a=− ，
4
1 1
∴二次函数的解析式为：y=− (x-8)x=− x2+2x（0≤x≤8）；
4 4
1 1 7
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=− x2+2x，得y=− ×12+2×1= ＞1.68，
4 4 4
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
1
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y= x2-2x，
4
1
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=- x2+2x，
4∴新函数表达式为：y=¿，
∵将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，
∴O′（m，0），A′（m+8，0），B′（m+4，-4），如图所示，
根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大
而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次
函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
15．（2022·河南·模拟预测）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是
1
4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=− x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离
6
17
为3m，到地面OA的距离为 m．
2
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否
安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那
么两排灯的水平距离最小是多少米？1
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，
6
理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是4√3m．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根
据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y
的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
( 17)
【详解】解：（1）由题知点B(0,4),C 3, 在抛物线上
2
所以¿，
解得¿，
1
∴y=− x2+2x+4，
6
b
∴当x=− =6时，y=10
2a
1
∴抛物线解析式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10米；
6
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
22
当x=2或x=10时，y= >6，
3
所以可以通过；
1
（3）令y=8，即− x2+2x+4=8，可得x2−12x+24=0，解得x =6+2√3，x =6−2√3
6 1 2
x −x =4√3
1 2
答：两排灯的水平距离最小是4√3m
【题型4 销售问题】
16.（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售
单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x
（元）满足一次函数关系，且当x=15时，y=50；当x=17时，y=30．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y=−10x+200
(2)这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得w=(x−12)()，进而根据二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意得：
¿，解得：¿，
∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+200；
（2）解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得：
w=(x−12)(−10x+200)=−10x2+320x−2400=−10(x−16) 2+160，
∵12≤x≤18，且-10＜0，
∴当x=16时，w有最大值，最大值为160；
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的
关键．
17．（2022·辽宁·统考中考真题）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定
其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满
足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x
…… 20 22 24 ……
（元）
日销售量y
…… 66 60 54 ……
（千克）
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少
元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126
(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：¿，
解得：¿，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数
的性质．
18．（2022·辽宁营口·统考中考真题）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5
本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款
纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本
时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下
表所示：
售价（元/本） … 22 23 24 25 …
每天销售量（本） … 80 78 76 74 …
(1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
(2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数
不变，设A款纪念册每本降价m元．
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)①B款纪念册销售量为(80-2m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即
可；
（2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-
2m)本；
②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每
本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案．
(1)
解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，
依题意得¿，
解得¿，
答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)
解：①设A款纪念册每本降价m元，
则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元），
∵这两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，
∴¿，
解得¿，
∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124，
由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本，
售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)，
设该店每天所获利润为w元，
则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m)
=-4m2+48m+1120
=-4(m-6)2+1264，
∵-4<0，
∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32-6=26(元)，答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和
函数关系式．
19．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．
2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每
吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村
产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=−2x+20，4≤x≤5.5
(2)将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函
数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（1）
解：根据题意得y=12−2(x−4)=−2x+20(4≤x≤5.5)，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式y=−2x+20，
自变量x的取值范围是4≤x≤5.5
（2）
解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得
w=(−2x+20)(x−2)=−2x2+24x−40=−2(x−6) 2+32，
∵−2<0，
∴当x<6，W随x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴当x=5.5时，w有最大值，最大值为−2×（5.5−6）2+32=31.5，
∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
20．（2022·湖北武汉·统考中考真题）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克） … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y（千克） … 30 27.5 25 12.5 10 …
(1)根据表中的数据在下图中描点(x,y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关
系式；
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本），
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w=240（元）时的销售单价．
【答案】(1)图象见解析，y与x的函数关系式为：y=−x+50
(2)①w关于x的函数关系式为：w=−x2+68x−900；当w取最大值，销售单价为34元；
②w=240（元）时的销售单价为30元
【分析】（1）根据表格描点连线即可做出函数图像，然后利用待定系数法，将表格中数值代入进行求参
数即可；
（2）①由（1）中关系式可求得w=−x2+68x−900，结合函数的性质可知当w取最大值，销售单价为34
元；
②解方程−x2+68x−900=240，可知x =30，x =38，根据超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原
1 2
则，可知x=30符合题意．
【详解】（1）解：作图如图所示，由图可知，y与x是一次函数关系，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
20k+b=30
将x=20，y=30；x=40，y=10，代入y=kx+b得，{ ，
40k+b=10
k=−1
解得：{ ，
b=50
即y与x的函数关系式为：y=−x+50；
（2）①由题意可知w关于x的函数关系式为：w=(−x+50)(x−18)=−x2+68x−900=
−（x−34) 2+256，
∴当x=34时，w取最大值，最大值为：256元，
即：当w取最大值，销售单价为34元；
②当w=240时，−x2+68x−900=240，
解得：x =30，x =38，
1 2
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x=30，
即w=240（元）时的销售单价为30元．
【点睛】本题主要考查的是一次函数及二次函数得应用，掌握函数及图象的性质，能够整合题中条件是解
题的关键．
【题型5 投球问题】
21．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1
是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数5
关系如图2所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平
距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
4 8 5
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设y=a(x−3) 2+3，
5
∵y=a(x−3) 2+3经过点(0， )，
3
5
∴ =a(0−3) 2+3
3
4
解得∶a=− ,
27
4 4 8 5
∴y=− (x−3) 2+3=− x2+ x+ ，
27 27 9 3
4 8 5
∴y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
4 8 5 4 8 5
∵对于二次函数y=− x2+ x+ ，当y=0时，有− x2+ x+ =0
27 9 3 27 9 3
∴4x2−24x−45=0，15 3
解得∶x = ， x =− (舍去)，
1 2 2 2
15
∵ >6.70，
2
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题
的关键．
22．（2022·河北保定·校考一模）图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图，水平台
面的长和宽分别为2.8m和1.6m，中间球网高度为0.15m，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向
右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为0.4m．乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v
（单位：m/s）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明：
P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当t=1时，ℎ =5；P，Q的水
平距离是vt（单位：m），如图2．
(1)设v=10m/s．用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范
围）
(2)在（1）的条件下，①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，
判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；
②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线0.3m，边线0.3m），问发球点O在底线
上的哪个位置？（参考数据：√7≈2.6）
(3)将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，
就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接写出v的取值范围．（结果保留根号）
x2 2
【答案】(1)x=10t，y=0.4−5t2，y=− +
20 5
(2)①能，理由见解析；②发球点O在底线上距离边线1.6m的位置（即左上角）14
(3)
√5<v<√106
5
【分析】（1）利用待定系数法分别求出v与t，h与t的函数，得出点Q的纵坐标为y=0.4−5t2，从而推
出y与x的函数关系式；
（2）①看图得出中网的坐标为(1.4,0.15)，把x=1.4代入（1）抛物线的解析式求y值和0.15作比较；再
读出底线的坐标为(2.8,0)，把x=2.8代入抛物线的解析式求y值和0作比较即可判断；②分别过点O，M
作底线，边线的平行线MN,ON，交于点N，先求出ON长，然后把y=0代入抛物线解析式求出OM长，
在Rt△MON中，根据勾股定理求出MN长，即可解决问题；
（3）根据题意得出，当垂直底线发球，恰巧过网，此时v值最小，当斜发球恰巧与右下底线与边线边缘相
碰，此时v值最大．分别求出两种情况下的h长，利用h和t的函数分别求出时间，再分别求出球行走的水
平距离，根据速度公式分别求两种速度，即可得出速度的范围．
(1)
解：（1）根据题意，当v=10时，∵P，Q的水平距离为vt，
∴点Q的横坐标x=10t；
设ℎ =kt2，将t=1,ℎ =5代入得ℎ =5t2，
∵P，Q的竖直距离为
ℎ
=5t2，
∴点Q的纵坐标y=0.4−5t2；
( x ) 2
∴y=0.4−5 ，
10
x2 2
即y=− + ．
20 5
(2)
解：①能过网，但出界 ，理由如下：
x2 2
由（1）可知y=− + ，
20 5
由题可知，中网在坐标系中可看成一个点且点的坐标为(1.4,0.15)；
1.42 2
当x=1.4时，y=− + =0.302>0.15；
20 5
2.82 2
底线可看成一个点且点的坐标为(2.8,0)，当x=2.8时，y=− + =0.008>0，
20 5
∴这次发球能过网，但出界了．
②如图，分别过点O，M作底线，边线的平行线MN,ON，交于点N，
在Rt△MON中，ON=2.8−0.3=2.5m，
x2 2
当y=0时，− + =0，
20 5
解得x=2√2或x=−2√2（根据题意舍去）
∴OM=2√2m，
√7
∴MN=√OM2−ON2= ≈1.3m,1.3+0.3=1.6m，
2
∴发球点O在底线上距离边线1.6m的位置（即左上角）．
(3)
解：当垂直底线发球，恰巧过网，此时v值最小，
∵中间球网高度为0.15m，
∴y=0.15m，
∴h=0.4-0.15=0.25m，
∴ℎ =5t2=0.25，
√5 √5
解得t= 或− （舍去），
10 10
∵底线到中网的距离为1.4m ，
1.4 14√5
t= =
∴ √5 5 ；
10
当斜发球恰巧与右下底线与边线边缘相碰，此时v值最大，如图，连接OA，作NB⊥底线于B点，√212
∴OA=√OB2+AB2=√2.82+0.82=
，
5
∵这时的h=0.4，
∴ℎ =5t2=0.4，
√2 √2
∴t= 或t=− （舍去），
5 5
√212
OA 5
∴v= = =√106 ，
t √2
5
14
∴ √5<v<√106．
5
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理的实际应用，以及行程问题，解题的关键是读懂题意，
根据题干提供的数据建立函数关系式，以及确定球过网时速度最小和最大时的落点位置．
23．（2022·山东青岛·统考一模）北京2022年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区进行，如图是某跳台滑雪
训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直
1 7
角坐标系，图中的抛物线C :y=− x2+ x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正
1 12 6
1
上方4米处的A点滑出，滑出后沿段抛物线C :y=− x2+bx+c运动．
2 8(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C 的函数关系式（不要
2
求写出自变量x的取值范围）；
(2)在（1）的条件下，求运动员在落在小山坡上之前滑行的水平距离，并求出在滑行期间距离小山坡的最
大高度是多少米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过2.3米时，求b的取值范围．
1 3
【答案】(1)y=- x2+ x+4；
8 2
(2)运动员运动的水平距离为(4+2√22)米时，运动员落在小山坡上；运动员在滑行期间距离小山坡的最大高
11
度为 米；
3
691
(3)b＞ ．
12
1
【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C ：y=- x2+bx+c求出b、c的值即可写出C 的函数
2 8 2
解析式；
1 3 1 7
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员落在小山坡上，依题意得：- m2+ m+4=- m2+ m+1，
8 2 12 6
解出m即可；设运动员运动的水平距离为n米时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为h，依题意
1 3 1 7
得：h=- n2+ n+4-(- n2+ n+1)，利用二次函数的性质即可求解；
8 2 12 6
61 1 61
（3）求出山坡的顶点坐标为（7， ），根据题意即- ×72+7b+4＞2.3+ ，再解出b的取值范围即可．
12 8 12
(1)
1
解：由题意可知抛物线C ：y=- x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
2 8¿，解得：¿，
1 3
∴抛物线C 的函数解析式为：y=- x2+ x+4；
2 8 2
(2)
解：设运动员运动的水平距离为m米时，运动员落在小山坡上，
1 3 1 7
依题意得：- m2+ m+4=- m2+ m+1，
8 2 12 6
解得：m=4+2√22，m=4-2√22（舍去），
1 2
故运动员运动的水平距离为(4+2√22)米时，运动员落在小山坡上；
设运动员运动的水平距离为n米时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为h，
1 3 1 7 1 11
依题意得：h=- n2+ n+4-(- n2+ n+1)=- (n-4)2+ ，
8 2 12 6 24 3
1
∵- <0，
24
11
∴当n=4时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为 米；
3
(3)
1 7 1 61
解：C ：y=- x2+ x+1=- （x-7）2+ ，
1 12 6 12 12
当x=7时，运动员到达坡顶，
1 61
根据题意得：- ×72+7b+4＞2.3+ ，
8 12
691
解得：b＞ ．
12
【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次
函数模型相结合是解决本题的关键．
24．（2022·河北承德·统考模拟预测）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平
20
距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面 m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度
9
4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．(1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，
防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高
度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
1
【答案】(1)y=− (x−4) 2+4
9
(2)①小丽的判断是正确的；②小明应向前走0.3m才能命中篮圈中心
(3)1.3米
20
【分析】(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为(0， )，设抛物线的解析式为
9
y=a(x−4) 2+4，由待定系数法求解即可；
(2) ①求得当x = 7.3时的函数值，与3比较即可说明小丽判断的正确性；
②由题意可知出手的角度和力度都不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物
1
线的解析式为y=− (x−4+m) 2+4，将(7.3， 3)代入求得m的值，根据抛物线左右平移时左加右减的
9
特点，可得答案；(3)将y=3.19代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案．
20
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为(0， )，
9
设抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+4，
20 20
将(0， )代入y=a(x−4) 2+4，得： =16a+4，
9 9
1
解得：a=− ，
9
1
∴抛物线的解析式为y=− (x−4) 2+4；
9
1
（2）解：①∵抛物线的解析式为y=− (x−4) 2+4，
9
1
∴当x = 7.3时，y=− (7.3−4) 2+4=2.79，
9
∵2.79≠3，
∴小丽的判断是正确的；
②∵出手的角度和力度都不变，
1
∴设抛物线的解析式为y=− (x−4+m) 2+4，
9
1 1
将(7.3， 3)代入y=− (x−4+m) 2+4，得：3=− (7.3−4+m) 2+4，
9 9
解得：m =−0.3，m =−6.3 (舍去)，
1 2
∴小明应向前走0.3m才能命中篮圈中心；
1
（3）解：∵抛物线的解析式为y=− (x−4) 2+4，
9
1
∴当y= 3.19时，3.19=− (x−4) 2+4，
9
解得：x =1.3，x =6.7 (不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效)，
1 2
∴小亮应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（2022·山东青岛·统考二模）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处
发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度
为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关
系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O
在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）
【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；
1
（2）当y＝0时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2＝8.4，即
50
可求解．
【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
1
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣ ，
50
1
故抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣7）2+2.88；
50
1
当x＝9时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
50
1
当x＝18时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，
50
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
1
当y＝0时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
50∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6√2＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二
次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此
题的关键.
【题型6 喷水问题】
26．（2022·江西·模拟预测）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴
上表示−8的点A处弹出后，呈抛物线y=−x2−8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向
右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二
次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
(1)根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
(2)当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
(3)若弹球经过n（n为正整数）次自由弹出后恰好落在数轴上的点B处，请用含n的代数式直接写出点B表
示的数．
【答案】(1)16
(2)y=−(x−4√2)(x−4√2−4)
8
(3)
4√2+4+2√2+⋯
n−1
(√2)
【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；
（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．
（1）解：根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：
∵抛物线解析式为y=−x2−8x=−(x+4) 2+16，
∴函数最大值为16，
∴弹球第一次弹出的最大高度为16；
（2）
当y=0时，则−x2−8x=0，
解得：x =0，x =−8，
1 2
∴第一次相邻两落点之间的距离为：|−8−0|=8，
设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y=−x(x−b)，
b 1
当x= 时，y=16× =8，
2 2
b b
∴− ×(− )=8，
2 2
解得b=4√2或b=−4√2（舍去），
∴所求抛物线的解析式为y=−x(x−4√2)，
∴第二次相邻两落点之间的距离为4√2，
设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y=−(x−4√2)(x−c)，
√2+c 1
当x= 时，y=16× =4，
2 22
解得c=4√2+4或c=4√2−4（舍去），
∴所求抛物线的解析式为y=−(x−4√2)(x−4√2−4)，
∴第三次相邻两落点之间的距离为|4√2+4−4√2|=4，∴相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y=−(x−4√2)(x−4√2−4)．
（3）
由（2）知，第一次相邻两落点之间的距离为8，
8
第二次相邻两落点之间的距离为4√2= ，
√2
8
第三次相邻两落点之间的距离为4= ，
2
(√2)
……
8
第n次相邻两落点之间的距离为 ，
n-1
(√2)
8
故点B表示的数为
4√2+4+2√2+⋯+
．
n−1
(√2)
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意建立坐标系，写出函数解析式．
27．（2022·北京昌平·统考二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多
灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，
于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流
的最高点到地面的距离记为y．
y与x的几组对应值如下表：
1 3 5
x（单位：m） 0 1 2 3 4 …
2 2 2
9 5 11 3 13 7
y（单位：m） 1 2 …
8 4 8 2 8 4(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________m；
(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图像；
(3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为
________m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________m（精确到1m）
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)3，18
【分析】(1)令x=0时，求得y值即可．
(2)按照描点，连线的基本步骤画函数图像即可．
(3)先确定直线y=kx+b，当x=8时，求得y=3，设抛物线解析式为y=a(x−8) 2+3，把(0，1)代入解析式，
1
确定a=− ，得到抛物线解析式，令y=0，求得x的值即可．
32
【详解】（1）令x=0时，得y=1，
故答案为：1．
（2）根据题意，画图如下：．
（3）设直线为y=kx+b，根据题意，得
¿，
解得¿，
1
故直线的解析式为y= x+1，
4
当x=8时，
1
得y= ×8+1=3(m)，
4
故抛物线的顶点坐标为(8，3)，
设抛物线解析式为y=a(x−8) 2+3，
把(0，1)代入解析式，
1
解得a=− ，
32
1
∴y=− (x−8) 2+3，
32
1
令y=0，得− (x−8) 2+3=0，
32
解得x=8+4√6，或 x=8−4√6（舍去），
且x=8+4√6≈17.79≈18(m)，
故答案为：3，18．
【点睛】本题考查了一次函数图像的画法，待定系数法确定一次函数的解析式，顶点式确定抛物线的解析
式，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，选择顶点式确定二次函数的解析式是解题的关键．
28．（2022·浙江台州·模拟预测）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离
为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s
（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满
水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，
b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【答案】（1）s2=−4(ℎ−10) 2+400，当ℎ =10时，s
max
=20；（2）a=b或a+b=20；（3）垫高的高
度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm
【分析】（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；
（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为cm，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)，
∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，
∴当h=10时，s2有最大值400，
∴当h=10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：最大射程是20cm.
(2) ∵s2=4h(20-h)，
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20-a)=4b(20-b)，∴20a-a2=20b-b2，
∴a2-b2=20a-20b，
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，
∴(a-b)(a+b-20)=0，
∴a-b=0或a+b-20=0，
∴a=b或a+b=20.
故答案为：a=b或a+b=20.
20+m 2
(3)设垫高的高度为cm，则s2=4ℎ(20+m−ℎ)=−4(ℎ− ) +(20+m) 2
2
20+m
∴当ℎ = 时，s =20+m=20+16
2 max
20+m
∴m=16时，此时ℎ = =18
2
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的
关键．
29．（2022·山东临沂·统考一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷
灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌底部的距离）是1米，当喷射出的水
流距离喷灌架水平距离为20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，
草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不
能被喷灌．
(1)求水流运行轨迹满足的函数关系式；
(2)若将喷灌向后移动5米，通过计算说明是否可避开对这棵石榴树的喷灌？
(3)设喷射水流与坡面OA之间的铅直高度为h，求h的表达式，并求出x为何值时，h有最大值，h最大值是多少？
1
【答案】(1)y=− x2+x+1
40
(2)可避开对这棵石榴树的喷灌
(3)当x＝18时，h有最大值，最大值为9.1m
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，用待定系数法求得解析式；
（2）先写出喷灌移动后的函数解析式，再求x＝30时，y的值，求出点B的纵坐标进行比较即可；
（3）写出水流与坡面OA之间的铅直高度为h的函数解析式，再根据函数的性质求最值．
（1）
解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+k，
将（0，1），（20，11）分别代入，
得：¿，
解得：¿，
1 1
∴y＝- （x−20）2+11＝- x2+x+1，
40 40
1
∴水流运行轨迹满足的函数关系式y=− x2+x+1；
40
（2）
解：移动后的解析式为：
1 1
y＝﹣ （x-20+5）2+11＝﹣ （x-15）2+11，
40 40
1
将x＝30代入得：y＝﹣ ×152+11＝11﹣5.625＝5.375（m），
40
∵坡度为1:10，
∴B点纵坐标为2.3+3＝5.3（m），
∵5.375m＞5.3m，
∴可避开对这棵石榴树的喷灌；
（3）
解：设点A的坐标为(x，y)，
∵坡度为1:10，即y:x=1:10，
∴直线OA的解析式为y＝0.1x，
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，1
则h＝﹣ x2+x+1﹣0.1x
40
1 9
=− x2+ x+1
40 10
1
＝﹣ （x﹣18）2+9.1，
40
1
∵﹣ ＜0，
40
∴当x＝18时，h有最大值，最大值为9.1m
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性
质是解题的关键．
30．（2022·北京门头沟·统考一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，
水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离
湖面高度为ℎ米．
d
0 d 1 2.0 3 d …
（米） 1 2
ℎ
ℎ 1.6 2.1 2.5 2.1 0 …
（米） 1
(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．
(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？
(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点
的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为
了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通
过计算说明理由．【答案】(1)见解析；
(2)2.5米；
(3)2.5米；
(4)水枪高度调节到2.1米以上，理由见解析．
【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）直接由图像可得结果；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
（1）
以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）
由图象可知水柱最高点距离湖面的高度为2.5米；
（3）
根据图象设二次函数的解析式为h=a（d-2）2+2.5
2
将（1，2.1）代入h=a（d-2）2+2.5得a=- ，
5
2 5 2 8 9
∴抛物线的解析式为ℎ =− (d−2) 2+ ，即ℎ =− d2+ d+ ，
5 2 5 5 10
2 8 9
令h=0，则− d2+ d+ =0，
5 5 10
解得：d =4.5，d =−0.5，
1 2
4.5-2=2.5，
∴水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是2.5米；（4）
设水枪高度至少向上调节m米，
2 8 9
由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为ℎ =− d2+ d+ +m，
5 5 10
3
当横坐标为2+ =3.5时，纵坐标的值大于等于2 ++0.8=2.8，
2
2 8 9
∴− ×3.52+ ×3.5+ +m≥2.8，
5 5 10
解得：m≥1.2，
∴水枪高度至少向上调节1.2米
0.9+1.2=2.1
∴水枪高度调节到2.1米以上．
【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练
掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
【题型7 增长率问题】
31．（2022·浙江丽水·校联考三模）你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，
便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两
天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
11 11 10 10
A．（1+x）2= B．x+2x= C．（1+x）2= D．1+2x=
10 10 9 9
【答案】C
【详解】解：设票股价的平均增长率x.
则90%(1+x) 2=1，
10
即(1+x) 2= ，
9
故选C
32．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某
药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为
______．
【答案】20%
【分析】设每次降价的百分率为x，由题意得100(1−x) 2=64，求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意得
100(1−x) 2=64，
解得x =0.2=20%,x =1.8（舍去），
1 2
∴每次降价的百分率为20%，
故答案为：20%．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题列方程的方法是解题的关键．
33．（2022·安徽·统考中考真题）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与
上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=________．
【答案】a（1+x）2
【详解】试题分析：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为a(1+x)，∴三月份的研发资金为y=a(1+x)(1+x)=a(1+x) 2．
故答案为a(1+x) 2．
考点：根据实际问题列二次函数关系式．
34．（2022春·江苏无锡·一模）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生
活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之
间的函数关系是y=－2x+50．
（1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得
的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是
多少万元？
（2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，
与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月
份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）．
（参考数据：√51=7.14，√52=7.21，√53=7.28，√54=7.35）【答案】(1)4000万；(2)a=13
【详解】试题分析：（1）根据图象可以知道利润p（万元）与月份x是一次函数关系，并且随着月份的增
加利润也增加，首先根据图象确定利润p与x的函数关系，然后利用函数的增减性即可确定今年哪月份，
该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元；
（2）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，
每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%．
试题解析：（1）根据图象知道当x=1，p=80，
当x=4，p=95，
设p=kx+b，
80=k+b k=5
∴ { ，解得{ ，
95=4k+b b=75
∴p=5x+75；根据k＞0，y随x增大而增大，
∴当x=5时，p最大，p=5×5+75=100万元；
∴5月份的利润是：100万×40=4000万元；
（2）（2）∵该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，
而当x=5时，y=40，
∴6月份的二氧化碳排放量为40（1-a%），
7月份的二氧化碳排放量为40（1-a%）2，
5月份的利润为4000万元，
∴6月份的利润为100（1+50%）×40（1-a%），
7月份的利润为100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2，
∴100（1+50%）×40（1-a%）+100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2=3×4000，
∴a=13．
考点：二次函数的应用.
35．（2022秋·河北保定·九年级二模）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价
为200元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y（元）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为128元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)y=200(1−x) 2
(2)20%
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格=原价× ( 1−每次降价的百分率) 2，即可找出y与x之间了函数
关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为128元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合
题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y（元）
∴依题意得：y=200(1−x) 2，
∴y与x之间的函数关系式为y=200(1−x) 2；
（2）依题意得：200(1−x) 2=128，
解得：x =0.2=20%，x =1.8（不符合题意，舍去），
1 2
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的
关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【题型8 车过隧道问题】
36．（2022·安徽·校联考一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA 12米，
OB 4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为=y轴建
立直=角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面
的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为05m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于
05m，才能安全通行，问这辆特殊货.车能否安全通过隧道？
.
1
【答案】（1）所求抛物线的解析式为：y=− (x−6) 2+10；（2）两排灯的水平距离最小是4√3米；
6
（3）这辆特殊货车能安全通过隧道．
【分析】(1)抛物线顶点坐标为D(6,10)，设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10，把点B的坐标代入即可；
(2)由图象可知，高度越高，两排灯间的距离越近，把y=8代入(1)所得解析式，求得一元二次方程的两个
根，它们的差即为答案；
(3)由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的纵坐标为x=6.25+4，代入(1)所得
解析式，判断是够大于6.5即可．
【详解】(1)根据题意，顶点D的坐标为(6,10)，点B的坐标为(0,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10，
把点B(0,4)代入得：36a+10=4，
1
解得：a=− ，
6
1
即所求抛物线的解析式为：y=− (x−6) 2+10；
6
(2)由图象可知，高度越高，两排等间的距离越近，
1
把y=8代入y=− (x−6) 2+10得：
6
1
− (x−6) 2+10=8，
6
解得：x =6+2√3，x =6−2√3，
1 2
所求最小距离为：x −x =4√3，
1 2答：两排灯的水平距离最小是4√3米；
(3)根据题意，当x=6.25+4=10.25时，
1 671
y=− (10.25−6) 2+10= >6.5，
6 96
∴能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，理清题目中各量之间的关系解题的关键.注意数形结合思
想的应用.
37．（2022·湖南邵阳·统考中考模拟）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点
离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立
平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽
2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？
5
【答案】（1）y=− x2 ，x的取值范围是−3≤x≤3；（2）能够通过此隧道．
9
【分析】（1）根据所建坐标系设解析式为y=ax2，由A点或B的坐标易求解析式，根据隧道口的有限性结
合图象易知x的取值范围；
（2）能否通过是比较当x=1.4时[5-（-y）]的值与1的大小．
【详解】（1）设所求函数的解析式为y=ax2．
由题意，得函数图象经过点B（3，-5），
∴-5=9a．
5
∴a=− ．
9
5
∴所求的二次函数的解析式为y=− x2 ．
9
x的取值范围是−3≤x≤3．5 9.8 49
（2）当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应y=− ×1.42=− =− ，
9 9 45
49 45 49 45
EN长为 ，车高1= 米，∵ > ，
45 45 45 45
∴农用货车能够通过此隧道．
38．（2022·安徽芜湖·校联考三模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度
OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM
上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队
计算一下．
1
【答案】（1）M（12，0），P（6，6）；（2）y=− x2+2x；（3）15米．
6
【详解】试题分析：确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛
物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆
AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．
试题解析：（1）M（12，0），P（6，6）
（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6
1
∴a=−
6
1 1
∴这条抛物线的函数解析式为y=− （x﹣6）2+6，即y=− x2+2x；
6 6
（3）设A（x，y）1
∴A（x，− （x﹣6）2+6）
6
∵四边形ABCD是矩形，
1
∴AB=DC=− （x﹣6）2+6，
6
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
1 1 1
∴令L=AB+AD+DC=2[− （x﹣6）2+6]+12﹣2x=− x2+2x+12=− （x﹣3）2+15．
6 3 3
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
考点：二次函数的应用．
39．（2022·山东德州·统考二模）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM
为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使 C 、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，则这个
“支撑架”总长的最大值是多少？
【答案】（1） M（12，0） ，P（6，6）；
1
（2）y=− x2+2x；
6
（3）当m=3时，AD+DC+CB有最大值为15米.
【分析】（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；
（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，
再求其和的表达式，运用函数性质求解．
【详解】(1)易知底部宽度为12米所以OM=12.则M(12，0)，最大高度为6米，所以P(6，6).(2)设此函数关系式为：y=a(x−6) 2+6.
∵函数y=a(x−6) 2+6经过点(0，0)，
1
∴0=a(0−6) 2+6，即a=− .
6
∴此函数解析式为：
1 1
y=− (x−6) 2+6=− x2+2x.
6 6
(3)设A(m，0)，则
B(12-m，0)，C ( 12−m,− 1 m2+2m ) ，D ( m,− 1 m2+2m ) .
6 12
∴“支撑架”总长AD+DC+CB = ( − 1 m2+2m ) +(12−2m)+ ( − 1 m2+2m )
6 6
1
=− m2+2m+12.
3
1
=− (m−3) 2+15
3
∵此二次函数的图象开口向下.
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．
点评：
本题难度在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在根据图形特点选取一个合适的参数
表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．
40．（2022·江苏南京·统考二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM
为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2．5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明．
1
【答案】（1）y=- x2+2x．（0≤x≤12）；（2）不能行驶宽2．5米、高5米的特种车辆．
6
【详解】试题分析：（1）根据所建坐标系知顶点P和与X轴交点M的坐标，可设解析式为顶点式形式求
解，x的取值范围是0≤x≤12；
（2）根据对称性当车宽2．5米时，x=3或9，求此时对应的纵坐标的值，与车高5米进行比较得出结论．
试题解析：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y=a（x-6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），
1
∴a（0-6）2+6=0，解得a=- ，
6
1
∴这条抛物线的函数解析式为y=- （x-6）2+6，
6
1
即y=- x2+2x．（0≤x≤12）；
6
（2）当x=6-0．5-2．5=3（或x=6+0．5+2．5=9）时
y=4．5＜5
故不能行驶宽2．5米、高5米的特种车辆．
考点：二次函数的应用．
【题型9 行程问题】
41．（2022·江苏南通·统考二模）某人做跑步健身运动，每千米消耗的热量y（单位：kcal）与其跑步的速
度x（单位：km/h）之间的函数关系如图所示，其中线段AB的表达式为y＝2x＋50（2.5≤x≤10），点C的
坐标为（14，82），即步行速度为14 km/h时他每步行1 km的消耗热量是82 kcal．
（1）求线段BC的表达式；
（2）若从甲地到乙地全程为26 km，其中有6 km是崎岖路，他步行的最高速度是5km/h，20 km是平坦路，
他步行的最高速度是12 km/h，那么在不考虑其他因素的情况下，他从甲地到乙地至多消耗多少kcal的热
量？【答案】（1）y=3x+40,(10≤x≤14)；（2）他从甲地到乙地至多消耗1880kcal的能量．
【分析】（1）由题意易得点B的坐标，则设线段BC的解析式为y=kx+b,(10≤x≤14)，进而把点B、C
的坐标代入求解即可；
（2）分别求出x=5，x=12时y的值，即可求解．
【详解】解：（1）由图象可得：把x=10代入线段AB的解析式得：y=2×10+50=70，
∴点B(10,70)，
设线段BC的解析式为y=kx+b,(10≤x≤14)，则由B、C的坐标可得：
¿，解得：¿，
∴线段BC的解析式为y=3x+40,(10≤x≤14)；
（2）x=5时，y=2×5+50=60，
x=12时，y=3×12+40=76，
∴60×6+76×20=1880（kcal），
答：他从甲地到乙地至多消耗1880kcal的热量．
【点睛】本题考查一次函数的应用，主要考查待定系数法求函数表达式的技能．
42．（2018·安徽蚌埠·统考中考模拟）台州人民翘首以盼的乐清湾大桥于2018年9月28日正式通车，经统
计分析，大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220
辆/千米的时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度
为80千米/小时，研究证明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为50/辆千米时的车流速度；
（2）在某一交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于60千米/小时且小于80千米/小时，应把大桥上的
车流密度控制在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度，求
大桥上车流量y的最大值．【答案】（1）车流速度68千米/小时；（2）应把大桥上的车流密度控制在20千米/小时到70千米/小时之
间；（3）车流量y取得最大值是每小时4840辆
【分析】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，列式求出函数解析式，将x=50代入即可
得到答案；
（2）根据题意列不等式组即可得到答案；
（3）分两种情况：0≤x≤20、20≤x≤220时分别求出y的最大值即可.
【详解】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得
¿，
解得¿，
2
∴当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数为v=− x+88，
5
2
当x=50时，v=− ×50+88=68（千米/小时），
5
∴大桥上车流密度为50/辆千米时的车流速度68千米/小时；
（2）由题意得¿，
解得20<x<70，符合题意，
∴为使大桥上的车流速度大于60千米/小时且小于80千米/小时，应把大桥上的车流密度控制在20千米/小
时到70千米/小时之间；
（3）由题意得y=vx，
当0≤x≤20时，y=80x，
∵k=80>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=20时，y有最大值1600，
当20≤x≤220时，
2 2
y=(− x+88)x=− (x−110) 2+4840，
5 5
当x=110时，y有最大值4840，
∵4840>1600，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆.
【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次不等式组的实际应用，二次函数最大值的确
定，正确掌握各知识点并熟练解题是关键.
43．（2018·湖北襄阳·校联考中考模拟）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与k
y轴交于点B，与滑道y= （x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，
x
从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h
（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时
运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v 米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右
乙
侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v 的范围．
乙
1 2 89
【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=﹣5t2+18，y=− x2+ x+ ，当y=13时，运动员在与正下
5 5 5
方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v ＞7.5
乙
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v ．
乙
k
【详解】（1）由题意，点A（1，18）代入y= ，
x
k
得：18= ，
1
∴k=18，
设h=at2，把t=1，h=5代入，
∴a=5，
∴h=5t2；
（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，∴y=﹣5t2+18，
由x=5t+1，
1
则t= （x-1），
5
1 1 2 89
∴y=﹣ （x-1）2+18=− x2+ x+ ，
5 5 5 5
1
当y=13时，13=﹣ （x-1）2+18，
5
解得x=6或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
18
把x=6代入y= ，
x
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；
（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18
81
得t2= ，
25
解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
18
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y= 上，
x
此时，乙的坐标为（1+1.8v ，1.8），
乙
由题意：1+1.8v ﹣（1+5×1.8）＞4.5，
乙
∴v ＞7.5．
乙
【点睛】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，综合性较强，有一定的难度，读懂题意，正确
应用反比例函数和二次函数的知识解决问题是关键．本题也考查了函数图像上的临界点问题．
44．（2017·河北·模拟预测）我市某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口
出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将拖回．如图，折线段O－A－B表示救援船在整个航行
过程中离港口的距离y（海里）随航行时间x（分钟）的变化规律．抛物线y=ax2+k表示故障渔船在漂移
2
过程中离港口的距离y（海里）随漂移时间x（分钟）的变化规律．已知救援船返程速度是前往速度的 ．
3根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）救援船行驶了 海里与故障渔船会合；
（2）求救援船的前往速度；
（3）若该故障渔船在发出救援信号后40分钟内得不到营救就会有危险，请问求援船的前往速度每小时至
少是多少海里，才能保证渔船的安全．
【答案】解：（1）16．
（2）救援船的前往速度为每分钟0.5海里．
219
（3）援船的前往速度每小时至少是 海里
8
【详解】分析：（1）读图可知，点A的纵坐标16即为所求．
（2）根据图示，救援船的前往的时间等于返航的时间减16，据此列方程求解．
2
解：救援船的前往速度为每分钟V海里，则返航速度为每分钟 V海里，
3
16 16
= −16
由题意得V 2 ，解得V=0.5．
V
3
经检验，V=0.5是原方程的解．
答：救援船的前往速度为每分钟0.5海里．
（3）求出点A坐标，将A（32，16）和C（0，12）代入y=ax2+k，求出抛物线解析式，从而得到距离，
除以时间即得速度．
解：由（2）知，t=16÷0.5=32，则A（32，16）．
将A（32，16）和C（0，12）代入y=ax2+k，得
1
1024a+k=16 a=
{ ，解得{ 256．
k=12
k=121
∴抛物线解析式为y= x2+12．
256
1 73 73 40 219
当t=40时，y= ×402+12= ， ÷ = ．
256 4 4 60 8
219
∴援船的前往速度每小时至少是 海里．
8
45．（2022·江苏宿迁·统考二模）大桥上正在行驶的甲车，发现正前方27m处沿同一方向行驶的乙车（此
时v >v ）后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）与速度v（单位：m/s）的关系式
甲 乙
1
s=− v2+128(0≤v≤16)；甲车行驶的速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系可以用一次函数
2
表示，其图像如图所示．
(1)求当甲车减速5s时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车一直匀速行驶，经过多长时间两车相距的最近距离是2.5m？
【答案】(1)当甲车减速5s时，它行驶的路程是67.5m
(2)7s
1 1
【分析】（1）先求出v=−t+16(0≤t≤16)从而得到s=− v2+128=− (t−16) 2+128据此求解即可；
2 2
（2）根据当v >v 时，两车之间的距离逐渐变小，当v <v 时，两车之间的距离逐渐变大，则当两车
甲 乙 甲 乙
速度相等时，两车之间距离最小，由此建立方程求解即可．
（1）
解：设甲车行驶的速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系式为v=kt+b，
∵一次函数经过(3,13)、(6,10)，
∴¿，
解得：¿，
∴v=−t+16(0≤t≤16)，1 1
∴s=− v2+128=− (t−16) 2+128，
2 2
1
∴当t=5时，s=− (5−16) 2+128=67.5，
2
答：当甲车减速5s时，它行驶的路程是67.5m．
（2）
解：∵当v >v 时，两车之间的距离逐渐变小，当v <v 时，两车之间的距离逐渐变大，
甲 乙 甲 乙
∴当两车速度相等时，两车之间距离最小；
根据题意，得：s +2.5=27+s ，
甲 乙
1
∴− (t−16) 2+128+2.5=27+(t−16)⋅t
2
化简，得：t2=49，
∴t =7，t =−7（舍），
1 2
答：经过7s两车相距的最近距离是2.5m．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的应用，正确理解题意求出v=−t+16(0≤t≤16)是解题的
关键．
【考点10 其他问题】
46．（2022·浙江宁波·统考中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的
种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数
关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1
株，单株产量减少0.5千克．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】(1)y=−0.5x+5（2≤x≤8，且x为整数）
(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次
函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y=4−0.5(x−2)=−0.5x+5（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W千克，w=x(−0.5x+5)=−0.5x2+5x=−0.5(x−5) 2+12.5．
∴当x=5时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
47.（2022·河北唐山·统考三模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台
滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面
1 4 4
直角坐标系，图中的抛物线C :y=− x2+ x+ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小
1 12 3 3
1
张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C :y=− x2+bx+c运动．
2 8
17
(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为 米，则b=______，c=______．
2
4
(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为 米？
3
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
3
【答案】(1) ，4
2
(2)8米
5
(3)跳台滑出点的最小高度为 米
3
( 17)
【分析】(1)根据题意将点(0,4)和 6, 代入C 求出b、c的值即可；
2 2
(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意列出方程，解出m即可；
b
( 20) − =8
(3)求出山坡的顶点坐标为 8, ，根据题意当x=8时，运动员到达坡顶，即 ( 1) ，可求得b
3 2× −
8( 1)
4× − ⋅c−4
1 8 20
的值，再由C :y=− x2+2x+c，根据题意可知 ≥3+ ，再解出c的取值范围即可解
2 8 ( 1) 3
4× −
8
答．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线C :y=− 1 x2+bx+c过点(0,4)和 ( 6, 17) ，
2 8 2
将其分别代入解析式得：¿，
解得¿
3
故答案为： ，4；
2
4
（2）解：设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为 米，
3
依题意得：− 1 m2+ 3 m+4− ( − 1 m2+ 4 m+ 4) = 4 ，
8 2 12 3 3 3
整理得：(m−8)(m+4)=0，
解得：m =8，m =−4（舍去），
1 2
4
故运动员运动的水平距离为8米时，运动员与小山坡的竖直距离为 米；
3
1 4 4 1 20
（3）解：抛物线C :y=− x2+ x+ =− (x−8) 2+ ，
1 12 3 3 12 3
故当x=8时，运动员到达坡顶，
b
− =8
即 ( 1) ，解得b=2，
2× −
8
( 1)
4× − ⋅c−4
1 8 20
C :y=− x2+2x+c，即 ≥3+ ，
2 8 ( 1) 3
4× −
8
5 5
解得：c≥ ．即跳台滑出点的最小高度为 米．
3 3
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二
次函数模型相结合是解决本题的关键．
48.（2022·山东·统考三模）如图，是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO=2，在ON上方有五个台阶T ~T （各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T 到
1 5 1
x轴距离OK=10．从点A处向右上方沿抛物线L:y=−x2+4x+12发出一个带光的点P．
(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求抛物线
C的表达式．
【答案】(1)点A的横坐标为−2；作图见解析；点P会落在台阶T 上
4
(2)y=−x2+14x−38
【分析】（1）由题意台阶T 的左边端点(4.5,7)，右边端点的坐标(6,7)，求出x=4.5，6时的y的值，即
4
可判断；
（2）由题意抛物线C:y=−x2+bx+c，经过R(5,7)，最高点的纵坐标为11，构建方程组求出b，c，可
得结论．
（1）
解：图形如图所示，由题意台阶T 左边的端点坐标(4.5,7)，右边的端点(6,7)，
4
对于抛物线y=−x2+4x+12，
令y=0，x2−4x−12=0，解得x=−2或6，
∴A(−2,0)，
∴点A的横坐标为−2，
当x=4.5时，y=9.75>7，
当x=6时，y=0<7，
当y=7时，7=−x2+4x+12，
解得x=−1或5，
∴抛物线与台阶T 有交点，设交点为R(5,7)，
4
∴点P会落在台阶T 上；
4
（2）
解：由题意抛物线C:y=−x2+bx+c，经过R(5,7)，最高点的纵坐标为11，
−4c−b2
=11
∴ { −4 ，
−25+5b+c=7
b=14 b=6
解得{ 或{ （舍弃），
c=−38 c=2
∴抛物线C的解析式为y=−x2+14x−38．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找
特殊点解决问题，属于中考压轴题．
49.（2022·河北邯郸·校联考三模）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时1 1 1
可近似用函数p= t− 刻画；当25<t≤37时可近似用函数p=− (t−ℎ) 2+0.4刻画．
50 5 160
(1)求h的值；
(2)按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系如表：
生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数m（天） 0 5 10 15
①请运用已学的知识，求m关于p的函数解析式；
②请用含t的代数式表示m．
(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度，在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本
为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市（一次售完），销售额可增加800元．
因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天
时增加的利润最大？并求这个最大利润．（农作物上市后大棚暂停使用）
【答案】(1)ℎ =29
(2)①m=100p−20；②m=¿
(3)提前上市20天时增加的利润最大，最大值为19000元
1
【分析】（1）将(25,0.3)代入p=− (t−ℎ) 2+0.4，即可求得ℎ的值；
160
（2）①分析表格中的数据，可知m是p的一次函数，利用待定系数法进行求解；②将m是p的函数，p是t
的函数，只需将后者代入前者，即可得到m与t的函数关系；
（3）先用待定系数法求出w与t的函数关系式，由此可写出增加的利润与t的函数关系式，分析其最大值，
并计算此时m的值．
(1)
1
解：将(25,0.3)代入p=− (t−ℎ) 2+0.4，
1601
得0.3=− (25−ℎ) 2+0.4，
160
解得ℎ =29或ℎ =21，
∵ℎ >25，
∴ℎ =29；
(2)
解：①由表格可知，m是p的一次函数，设m=kp+b，
则¿，解得¿
∴m=100p−20；
1 1
②当10≤t≤25时，p= t− ，
50 5
( 1 1)
∴m=100 t− −20=2t−40；
50 5
1
当25<t≤37时，p=− (t−29) 2+0.4，
160
[ 1 ] 5
∴m=100 − (t−29) 2+0.4 −20=− (t−29) 2+20；
160 8
综上，m=¿
(3)
解：①当20≤t≤25时，设w=at+c，
将点(20,200)，(25,300)代入上式，
得¿，解得¿，
∴ w=20t−200．
∴增加的利润为：800m+[200×30−w(30−m)]=40t2−200t−12000，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线t=2.5，
∴当t=25时，增加的利润最大，最大值为40×252−200×25−12000=8000元；
②当25<t≤37时，w=300，
1375
∴增加的利润为800m+[6000−w(30−m)]=− (t−29) 2+19000．
2
∴当t=29时，增加的利润最大，最大值为19000元，此时，m=20．
综上，提前上市20天时增加的利润最大，最大值为19000元．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是理清题目中各变量之间的关系，从而建立等量关系，求出函数表达式，再结合题意进行分析．
50．（2022·江苏扬州·统考二模）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件．A城生产产品的
成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为y=ax2+bx+c，当x=10时，y=400；当x=20时，
y=1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
(1)A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；
(2)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件？
(3)从A城把该产品运往C、D两地的费用分别为2万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C、D两地的
费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，求该公司在A、B两城将这批产品生
产出来以及将产品运往C、D两地所花费的总成本的和的最小值．
【答案】(1)y＝x2＋30x
(2)A城生产20件，B城生产80件
(3)当x=18或20时，该公司在A、B两城将这批产品生产出来以及将产品运往C、D两地所花费的总成本的
和的最小值为6730万元
【分析】（1）先根据题意得出产品数量为0时，总成本y也为0，再利用待定系数法即可求出a、b、c的
值；
（2）先根据（1）的结论得出y与x的函数关系式，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再
根据二次函数的性质即可得；
（3）先设从A城运往C地的产品数量为m件，则从A城运往D地的产品数量为（x﹣m）件，从B城运往
C地的产品数量为（90﹣m）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣x＋m）件，然后求生产成本（A城
生产成本x2+30x和B城生产成本70(100−x)）和各运费成本之和，即可得到关于x的一元二次函数，求
出最小值即可．
(1)
由题意得：当x=0时，y=0；当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000，则有：
¿，解得：¿．
∴A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式为：y＝x2＋30x；
(2)
设A、B两城生产这批产品的总成本为w，
则w=x2+30x+70(100−x)=x2−40x+7000=(x−20) 2+6600，
由二次函数的性质可知，当x=20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．∴A城生产20件，B城生产80件；
(3)
设从A城运往C地的产品数量为m件，则从A城运往D地的产品数量为（x﹣m）件，从B城运往C地的
产品数量为（90﹣m）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣x＋m）件，该公司在A、B两城将这批产
品生产出来以及将产品运往C、D两地所花费的总成本的和为p ，
∴p＝x2+30x+70(100−x)＋2m＋3（x﹣m）＋（90﹣m）＋2（10﹣x＋m），
整理得：p＝x2﹣39x＋7110，
∵对称轴为x＝19.5
∴当x＝18或20时，p最小为6730万元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解方程，巧妙地设出未知数，
是解题的关键．
