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专题 13 函数中的三角形、四边形存在性问题
函数中三角形、四边形的存在性问题是中考中的常考点，考查内容主要包括等腰三角形、直角三角形、
平行四边形、特殊的平行四边形以及三角形全等和相似的存在性。在解决此类问题时，首先要用坐标把三
角形或四边形的边长表示出来（可以根据勾股定理），在设坐标时，通常只设一个未知数横坐标或者纵坐
标，另一个坐标一般根据函数解析式进行表示，其次根据等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的判定
定理列出方程，并求出未知数。
（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，
0），过点A作AC x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），
求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点
的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PG y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示
PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数
式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得
点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
(2)P点坐标为（ ， ）
(3)h的取值范围为3≤h≤4
(4)存在，点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）
【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，过P作PG y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，
3＝3k，
解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S OPE＝S OPG+S EPG
△ △ △
PG•AE
3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）
（m ）2 ，
∵ 0，
∴当m 时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝ ，
∴P点坐标为（ ， ）；
（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m 或 ，
∵m ＞2，不合题意，舍去，
∴m ，
此时m2﹣4m+3＝ ，
∴P的坐标为（ ， ）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m 或m ，
1 2
∵ ＞2，不合题意，舍去，
∴m＝ ，
此时m2﹣4m+3＝ ，
∴P的坐标为（ ， ）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m 或m ；
1 2∵ ＜2，不合题意，舍去，
∴m＝ ，
此时m2﹣4m+3＝ ，
P的坐标为（ ， ）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m 或 （舍），
P的坐标为：（ ， ）；
综上所述，点P的坐标是：（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．
（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝
ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的
坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的
菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的
面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【答案】(1)y＝﹣ x2﹣ x+4
(2)S ＝ ，D（﹣ ，5）
最大(3)存在，Q（﹣2， ）
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时， x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣1）•（x+3）＝﹣ x2﹣ x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣ ﹣ m+4），E（m， m+4），
∴DE＝﹣ ﹣ m+4﹣（ m+4）＝﹣ m2﹣4m，∴S ADC＝ OA＝ •（﹣ m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
△
∵S ABC＝ ＝ ＝8，
△
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，S ＝ ，
最大
当m＝﹣ 时，y＝﹣ ＝5，
∴D（﹣ ，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝ ，
∴P（﹣1， ），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣ ＝ ，
∴Q（﹣2， ）．
本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函
数和菱形性质
（2022·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交
于点C．(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)把 ， 代入 即可得出抛物线的表达式；
（2）①求出直线BC解析式： ，再由直线MN： 及抛物线的对称轴： ，即可得出
．进而得出直线CD的解析式为： ，即可得出答案；②分以BC为边时，即 ，
，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ．
【答案】(1)
(2)① ；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为 时，
点D的坐标： 或 ；当点F的坐标为 时，点D的坐标： ．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 得：解得
∴抛物线的表达式为 ．
（2）①由（1）可知： ，
设直线BC： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线BC： ，则直线MN： ．
∵抛物线的对称轴： ，
把 代入 ，得 ，
∴ ．
设直线CD： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线CD： ．
当 时，得 ，
∴ ，∴ ．
②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 ．
由点D在直线MN上，设 ．
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 ．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ．∴ ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 ．
同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ．
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 ．
设 ， ，同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ．
解得
∴ ， ．综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；
当点F的坐标为 时，点D的坐标： ．
本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关
知识，正确进行分类讨论是解题的关键.
1．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟）已知如图，直线 与两坐标轴分别交于点 、 ，
点 关于 轴的对称点是点 ，直线 经过点 ，且与 轴相交于点 ，点 是直线 上一动点，
过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，再以 为边向右边作正方形 ．
(1)①求 的值；
②判断 的形状，并说明理由；
(2)连接 、 ，当 的周长最短时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 的
坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)① ②等边三角形，理由见解析(2)
(3)在 轴上存在一点 ，使得 是等腰三角形， 点坐标为 或 或
或
【思路分析】（1）求出 与y轴的交点即可求出b的值，由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理
求出 ， 的长即可判断 的形状；
（2）设 点关于直线 的对称点为 ，求出点 的坐标，连接 ，则 与直线 的
交点为 点，则当 、 、 三点共线时， 的周长最小，求出直线 的解析式，与 联立求出点
P的坐标，进而可求出点F的坐标；
（3）分3种情况求解即可．
【详解】（1）解：①令 ，则 ，
，
直线 经过点 ，
；
② 是等边三角形，理由如下：
令 ，则 ，
解得 ，
，
点 关于 轴的对称点是点 ，
，
， ， ，是等边三角形；
（2）解： ，
直线 ，
令 ，则 ，
，
设 点关于直线 的对称点为 ，
，
，
，
，
，
连接 ，则 与直线 的交点为 点，
，
的周长 ，
当 、 、 三点共线时， 的周长最小，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，联立方程组 ，
解得 ，
，
轴，
，
，
四边形 是正方形，
；
（3）解：在 轴上存在一点 ，使得 是等腰三角形，理由如下：
设 ，
， ， ，
当 时， ，
解得 或 ，
或 ；
当 时， ，
解得 ，；
当 时， ，
解得 或 舍 ，
；
综上所述： 点坐标为 或 或 或 ．
2．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2， 是抛物线 轴下方的抛物线上一点，连接 、 、 ，若 的面积是 面积
的3倍，求点 的坐标
(3)如图3，连接 ､ ，在抛物线上是否存在点 （不与点 重合），使得 ？若存在求
出点 的横坐标，若不存在说明理由
【答案】(1) ；
(2)
(3)抛物线上存在一点N，使得 ，点N的坐标是
【思路分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）先用待定系数法求出直线 的解析式为 ，设点M的坐标是 ，过点M作直
线 轴交 于点N，则点P的是 ，求出 ，得到 ，
，根据 的面积是 面积的3倍，列方程求得m的值，即可求得点M的坐标；
（3）抛物线上存在一点N，使得 ，过点B作 交 于点E，则 ，证明
得到 ，求出点E的坐标是 ，待定系数法求出直线 的解析式，
联立直线 的解析式与抛物线的解析式即可求出点N的坐标．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，
对于 ，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，代入 ， 得，，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设点M的坐标是 ，过点M作直线 轴交 于点N，
则点P的是 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ 的面积是 面积的3倍，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）或 ，
当 时， ，
∴点M的坐标是 ；
（3）抛物线上存在一点N，使得 ，过点B作 交 于点E，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点E的坐标是 ，
设直线 的解析式为 ，代入 ， 得，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 与 得，
，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴抛物线上存在一点N，使得 ，点N的坐标是 ．
3．（2022·四川德阳·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于点
和点 ，与 轴交于点 ，连接 ．(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)如图，点 为线段 上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交抛物线于点
，求线段 长度的最大值．
(3)动点 以每秒 个单位长度的速度在线段 上由点 向点 运动，同时动点 以每秒 个单位长度的
速度在线段 上由点 向点 运动，在平面内是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形
是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)当 时，
(3)存在， 或 或
【思路分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令 ，可得 ，求解即可得点
的坐标；
（2）由 两点坐标求出直线 的解析式，进而设出点 的坐标，进而得出结论；
（3）要使点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，只需 为等腰三角形，所以 ，
或 ，结合图形得到答案即可．
【详解】（1）解：由题意，将点 、 代入 ，
可得 ，解得 ，
∴ ，
当 时，可有 ，解得 ， ，
∴ ；
（2）设直线 的解析式为 ，将点 、 代入，
可得 ，解得 ，
∴ ，
设点 ， ，
∴ ，
∴当 时，有 ；
（3）如图1，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
作 轴于 ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，由 得，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，
当 时，作 轴于 ，作 轴于 ，
∴ ，
可得四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，当 时，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述： 或 或 ．
4．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与y轴交于点C，与x轴交于 、 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段
BC上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设
的面积为S，点M运动时间为t秒，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使 为直角三角形﹖若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；当 时，
(3)存在， 或 时， 为直角三角形，理由见解答过程
【思路分析】（1）把点 、 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 、 的解析式，通过解方程
组求得它们的值；（2）设运动时间为 秒，利用三角形的面积公式列出 与 的函数关系式，利用二次函数的图象性质进
行解答；
（3）分当 和 两种情况，据余弦函数，可得关于 的方程，解方程，可得答案．
【详解】（1）解：把点 、点 分别代入 得：
，
解得 ，
所以该抛物线的解析式为： ；
（2）解：设运动时间为 秒，则 ， ，
，
由题意得，点 的坐标为 ，
在 中， ，
如图，过点 作 于点 ，
，
，
，即 ，
，
，， ， 、 中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
当 存在时， ，
当 时， ，
答：运动1秒使 的面积最大，最大面积是 ；
（3）解：存在，理由：如图，在 中， ，
设运动时间为 秒，则 ， ， ，
当 时， ，即 ，
化简，得： ，
解得： ；
当 时， ，
（即在图中，当 时，
化简，得： ，
解得 ，
综上所述： 或 时， 为直角三角形．
5．（2021·贵州遵义·校考模拟）如图，直线 与 轴、 轴分别交于B、C两点，抛物线
经过点B、C的，与 轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得 是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请
说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 或 或 或
(3) 或
【思路分析】（1）先求出B、C坐标，然后把B、C坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（2）设点E的坐标为 ，则 , , ，再分三种情况：当 ，
当 ，当 讨论求解即可；
（3）如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作 于F，先证明 是等腰直角三角形，则可
设 ，则 ，进而得到 ，求出 得到点P的坐标，
利用对称性求出点P在x轴下方时的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴、 轴分别交于B、C两点，
∴ ，
把 代入抛物线解析式 中得：，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
设点E的坐标为 ，
∴ , , ，
当 时，则 ，
解得 ，
∴点E的坐标为 或 ；
当 时，则 ，
解得 或 ，
∴点E的坐标为 或 ；
当 时，则 ，
解得 ，
∴点E的坐标为 ；
综上所述，点E的坐标为 或 或 或 或 ；
（3）解：如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作 于F，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴可设 ，则 ，
∴ ，
由对称性可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴由对称性可知当点P在x轴下方时，点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或
6．（2022·四川泸州·校考模拟）如图1，已知抛物线过三点 )， 过线段 的
中点 ，若点 为 所在圆的圆心．(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的度数；
(3)求圆心点 的坐标，并判断点 是否在这条抛物线上；
(4)若弧 的中点为 ，是否在 轴上存在点 ，使得 与 相似？若存在，请求出点 的坐标，
若不存在说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点 在抛物线上，理由见解析
(4)存在，点M的坐标是
【思路分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）过点 作 于 ，分别求得 的长，根据 即可求解；
（3）连接 ， ，过点 作 轴，求得 的坐标，证明 是等边三角形，进而根据
，求得 的坐标，进而即可求解；
（4）①点 是弧 的中点， ，则 ，由（3）可得 ，则
，即可求得点 的坐标是 ，②连结 ， ， ，得出四边形 是菱形，
根据 得出 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：把 ，代入抛物线解析式 中，得把 ，分别代入抛物线解析式 中，
得 ，
解得 ，
则这条抛物线解析式 ；
（2）如图1，过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图2，连接 ， ，过点 作 轴，
∵∴ ，
∵线段 的中点是 ，
∴点 ，
∴
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴
∴ 是直角三角形，
∵
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴点 的坐标为 ，
∵ ，
∴点 在抛物线上；
（4）存在，
如图3，①∵点 是弧 的中点，
当 时，
∴ ，又 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的坐标是 ，
②连结 ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，∴ ，
若 ，
则 ，
∴
，
∴ 的坐标是 ，
则点 的坐标是 ．
7．（2022·山东日照·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，点
M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线 与抛物线在第一象限交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 ，若过点O的直线交线段 于点P，将三角形 的面积分成 的两部分，请求出点P的
坐标；
(3)若Q是直线 上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当 的面积等于 的面积时，
求出Q点的坐标；
(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 或 ；
(3) 或 ；
(4) 或 或 ．
【思路分析】（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）OP将 的面积分成1：2的两部分，则 或 ，由 或
，可得： 或 ，再求解直线 为 ，即可求解；
（3）如图， 先求解 ，可得 ，把直线 向上平移4个单位可得一次函数的解析式为：
，则直线 与抛物线的交点 满足 ，再建立方程组可得答案；
（4）如图，先求解抛物线的对称轴为：直线 ，设 ， ，再分三种
情况讨论：当 为对角线时，当 为对角线时，当 为对角线时，则 ，再利用中点坐标
公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点 、 的坐标代入抛物线表达式得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）如图，点 、 ，∴ ，
将 的面积分成 的两部分，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
设直线 为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 为 ，
当 时，则 ，当 时，则 ，
∴点 或 ；
（3）如图，由（2）可得直线 为 ，
当 时， ，则 ，此时 ，
把直线 向上平移4个单位可得一次函数的解析式为： ，
则直线 与抛物线的交点 满足 ，∴ ，解得： 或 ，
∴ 或 ；
（4）如图， ， ，
∵抛物线为： ，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
设 ， ，
当 为对角线时，则 ，
解得： ，则 ，
当 为对角线时，如图，则 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
当 为对角线时，则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
综上： 的坐标为： 或 或 ．
8．（2022·重庆·重庆八中校考模拟）平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，
，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)如图1，连接 ，点P是线段 上方抛物线上的一个动点，过点P作PZ x轴交 于点Z，过点P
作PQ CB交直线 于点Q，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移 个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点 ．点
S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以 、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在，
请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 最大值为 ，
(3) 或
【思路分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设 ，过P作 轴交 于M，过Q作 轴交 于N，根据待
定系数法求直线 ， 解析式，则可求M，Z的坐标，从而求出 ， ，然后证明 可得
， ，再证明 ，得出 ，进而得出
，最后利用二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质可得新抛物线为 ， ，然后分①以 ， 为对角线；②以
， 为对角线；③以 ， 为对角线三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
∵
∴顶点坐标为 ；
（2）解：设 ，
过P作 轴交 于M，过Q作 轴交 于N，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 轴，
∴P、M的横坐标相同，
∴ ，∴ ，
易求 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 轴，
∴P、Z的纵坐标相同，
∴Z的纵坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， ， 轴 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴， 与x轴所交的锐角为
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴当 时， 有最大值为 ，
此时 ，
∴ ；
（3）解：抛物线 向下平移 个单位，向右平移3个单位，得到新抛物线 ，
向下平移 个单位，向右平移3个单位，得到
设 ， ，
令 ，则 ，解得 ， ，
∴ ，
①以 ， 为对角线时，
，解得 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴
②以 ， 为对角线时，
，
解得 ，，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴无解，
∴不符合题，舍去；
③以 ， 为对角线时，
，
解得 ，
又 ，
∴ ，
∴ （正跟舍去），
∴ ，
综上， 或 ．
9．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图， 拋物线 交 轴于点 ，交 轴于点 、C两点，点 为线段 上的一个动点（不与 重合)，过点 作 轴，交 于点 ，交抛物线
于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 和 ，当 的面积最大时，求出点 的坐标及 的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点 ，使得以点A，M，N，P为顶点，以 为边的四边形是菱形？若存在，请求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)当 时， 有最大值，最大值为8，此时D ；
(3)P 或 ．
【思路分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；
（2）设D ，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达
的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意，易证 ，由此得出 和 的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当
时，②当 时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点 ，点 代入抛物线 ，
∴ ，
∴ ．∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：∵点 ，点 ，
∴直线 的解析式为： ；
设D ，
∵ 轴，点M在直线 上，点N在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为8，此时D ；
（3）解：存在，如图，过点M作 轴于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
根据题意，需要分两种情况讨论：
① 时，如图，
此时 ，
解得 或t=0（舍），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点P在y轴上，
∴ ，
∴P ；
②当 时，如图，此时 与 互相垂直平分，设 与 交于点F，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 或 （舍），
∴ ，
∴P ．
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以 为边的四边形是菱形，此时P 或 ．
10．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，点A的坐标为
，点B的坐标 ，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D
作 轴于点H，过点A作 交DH的延长线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求 的周长最小值；
(3)在（2）问的条件下，将得到的 沿射线AE平移得到 ，记在平移过程中，在抛物线上是否
存在这样的点Q，使 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出 平移的距离；若
不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， ，理由见解析【思路分析】（1）将A，B两点的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接
，则 的周长为最小值为 的长，勾股定理即可求解；
（3）在（2）的基础上，证明四边形 是菱形，求得 的长，求得直线 与坐标轴的交点坐标，
证明 ，即可求得平移距离．
【详解】（1）解：∵已知抛物线 与x轴交于A，B两点，点A的坐标为 ，点B的坐
标 ，
∴ ，
解得 ，
；
（2）如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
连接 ，交AE、DE于M′、N′，
，
，
的周长为 ，当 四点共线时，取得最小值，即 与
重合， 与 重合，的周长为最小值为 的长，
轴于点H，
三点共线， 三点共线，
根据题意可知点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
轴，
由
对称轴为 ，则
，
与 轴的交点为 ，即点 ，
点A的坐标为 ，
，
，
，
∴ ，
，
，
，
， ，
，
在 中， ，
即 的周长最小值为 ；
（3）存在， ，理由如下，由（2）可知
又
在 轴上，是等边三角形，
又
，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，
设 为直线 上一点，
, ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
解得 或 ，，
，
，
，
， ，
的中点坐标为 ，与点 重合，
，
根据题意，使 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，则，平移距离为 ．
