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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 （ 全国通用 ）
专题13二次函数与胡不归型最值问题
胡不归问题：
模型分析：“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常
规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．
过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．
A A
M M
P Q P
B N B N
C D C
证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．
由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．
所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．
【例1】（2022•济南）抛物线y＝ax2+ x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点
C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+ PQ的最大
值．
【例2】（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于
点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边
的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+
PM的最小值．
【例3】（2022•东西湖区模拟）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A
在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）
2的值．
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+ AP的最小值，并求出此时点P的坐标．
【例4】（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y
轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP ＝S△ACB ，求点P的坐标；
（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值．
1．（2022•河北区二模）已知抛物线y＝﹣ x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两
点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；
（Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，
点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQ+ NQ的最小值．
2．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、
右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件
的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求 AM+OM的最小值．
3．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物
线解析式；
（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2
两部分时，求点M的坐标；
（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝ OQ，求BP+
BQ的最小值并求此时点P的坐标．
4．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+ x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点
C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与
抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．
（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中， AD+CD取得最小值时，求此时n的值．
（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+ CE的最小值．
5．（2021•射阳县三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对
称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相
似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，
请说明理由；
（4）点E是y轴上的动点，连接ME，求ME+ CE的最小值．
6．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（﹣3，0），与
y轴交于点C（0，3），点D为抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECA＝∠CAD，求点E的坐标；
（3）如图2，点P为线段AC上方的抛物线上任一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与AC交于点M．
①求△APC的面积最大时点P的坐标；
②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求HN+ CN的最小值．
7．（2021•深圳模拟）已知：如图，点A（1，0），B（3，0），D（2，﹣1），C是y轴上的点，且OC＝
3．
（1）过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形；
（2）若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标；
（3）设Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若
不存在，请说明理由．
8．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，
3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，
求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点
M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当 D'N+CN的
值最小时，求MN的长．
9．（2022•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线 y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，
与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
①求线段PM长度的最大值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+ CF的最小值．
10．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于
点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+ OQ的最小值．
11．（2022•中山市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的
对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；
（3）点M是线段BE上的一点，求 的最小值，并求出此时点M的坐标．
12．（2021•南山区校级三模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明
理由；
（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使 PC+PD值最小，若存在，请求
出最小值，若不存在，请说明理由．
13．（2021•津南区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+c交x轴于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），其对
称轴交x轴于点C．
（Ⅰ）求该抛物线的顶点D的坐标；
（Ⅱ）设P是线段CD上的一个动点（点P不与点C，D重合）．
①过点P作y轴的垂线l交抛物线（对称轴右侧）于点Q，连接QB，QD，求△QBD面积的最大值；
②连接PB，求PD+ PB的最小值．
14．（2021•防城区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，
与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣ x+ 与抛物线的另一交点为 D，且点D的横坐标为﹣
5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD ＝S△ABP ，求点P的坐标；
（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最
小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．15．（2021秋•沈北新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c
与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，
连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若△PCE的面积为S ，△OCE的面积为S ，当 ＝ 时，求点P的坐标；
1 2
（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，
①求满足条件的所有点H的坐标；
②当点H在线段AB上时，平面内点M，且HM＝1，直接写出 AM+CM的最小值．
16．（2021•香洲区校级三模）如图，抛物线y＝﹣ x2﹣6 x+7 交x轴于A，B两点（点A在点B左
侧），交y轴于点C，直线y＝ x+7 经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重
合）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+ AM的最小值及此时点M的坐标；
（3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．17．（2021•涪城区校级模拟）已知：如图所示，抛物线 y＝﹣ x2﹣ x+c与x轴交于A、B两点，与y轴
的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣ x2﹣ x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的
坐标；
（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+ AM的最小值．
18．（2021•青山区模拟）已知抛物线 y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且
OC＝ OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段
BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求 EF+ BF的最小值．
（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
19．（2021•罗湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其
顶点C的坐标为（2，4）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△PAC面积的最大值；
（Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+ QA的最小值．
20．（2020•东胜区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，
0），B（0， ），C（1，0），其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点 Q，使得以B，C，P，
Q为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标；
（3）若M为y轴上的一个动点，连接ME，求 MB+ME的最小值．
