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专题 13 三角形与多边形的有关概念及性质
一、三角形有关概念及性质
1．三角形的分类
（1）三角形按角分类： 三角形、 三角形、 三角形.
（2）三角形按边分类：
① 一般三角形：三边都不等的三角形；
② 等腰三角形：两边相等的三角形；
③ 等边三角形：三边都相等的三角形
2．三角形的边的关系
（1）三角形任意两边之和 第三边.
（2）三角形任意两边之差 第三边
3．三角形的角的关系
（1）三角形三个内角的和等于 ；特别地，当有一个内角是 90° 时，其余的两个内角互余.
（2）三角形的外角和等于 .
（3）三角形的任意一个外角 和它不相邻的两个内角的和，三角形的任意一个外角 任意一个和
它不相邻的内角
4．三角形的中线
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边 的线段，叫做这个三角形的中线.
（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，三条中线交于一点，这点叫做三角形的 .
（3）三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分
5．三角形的高
（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的 .（2）一个三角形有三条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部
6．三角形的角平分线
（1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的
. 它区别于一个角的平分线在于它是线段，而一个角的平分线是射线.
（2）三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做 .这个点也是这个三角形
内切圆的圆心.三角形的内心到三角形三条边的距离
7．三角形的中位线
（1）连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.
（2）一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.
（3）三角形的中位线 于第三边，且等于第三边的
二、多边形
1．多边形的内角和、外角和n边形的内角和为 ，外角和为 .
2．正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.
3．多边形的对角线：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段.
【考点1】三角形的相关概念与计算
【例1】（三角形的特性）（2022·湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（三角形三边关系）（2022·四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（
）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
【例3】（三角形内角和）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C=1：1：2；那么△ABC的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用
（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.
（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.
（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A. 梯形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 平行四边形
2．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
3．（2021·湖南娄底市） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
4．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，这个三角形一定是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【考点2】三角形的角平分线，中线，高，内心，外心
【例4】（三角形的高）（2022·广西玉林）请你量一量如图 中 边上的高的长度，下列最接近的
是( )
A． B． C． D．
【例5】（中线）如图，已知点 是 中 边上的中线，若 的面积是4，则 的面积是
（ ）A. 4 B. 1 C. 2 D. 不确定
1．如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，
下列判断，其中正确的个数是（ ）
①BG是△ABD中边AD上的中线； AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平
分线； ②
③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S ＝2S
△ABC △ABF
4．（2022·河北）如图，将 ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是 ABC的（
） △ △A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
5．（2022·黑龙江哈尔滨）在 中， 为边 上的高， ， ，则 是
___________度．
【考点3】三角形的中位线定理
【例6】（中位线）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，
连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
1．（2020•内江）如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点，S 四边形BCED ＝15，则 S △ABC ＝
（ ）
A．30 B．25 C．22.5 D．20ABC D AB AD AC,AE CD E F BC
2．如图，在 中， 是 上一点， 于点 ，点 是 的中点，若
BD10，则EF 的长为（ ）
8 6 5 4
A． B． C． D．
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝ CD，连接
OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．
4．如图，在 中， 是 边的中线， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．求证：
．
【考点4】多边形的内角和与外角和
【例7】（求内角和）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°【例8】（判定多边形的形状）（1）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，
则这个多边形是________边形．
（2）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;
（2）多边形的外角和：360°.
1．已知一个 边形的每一个外角都相等，一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是 ，则 的值是
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是_____．
3．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
4．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形是__________．（填形状）
