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专题 13 一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质
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【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 一次函数的图象与性质】................................................................................................................1
【考向二 反比例函数的图象与性质】............................................................................................................4
【考向三 二次函数的图象与性质】................................................................................................................8
【直击中考】
【考向一 一次函数的图象与性质】
例题：（2022秋·浙江·八年级专题练习）对于一次函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象与x轴的交点坐标为（0，4）
D．函数的图象向下平移4个单位长度得到 的图象
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和性质，平移的规律以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
【详解】解：A、∵k=-2<0，∴函数值随自变量的增大而减小，故选项不符合题意；
B、∵k=-2<0，b=4>0，函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选项不符合题意；
C、当y=0时，x=2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故选项符合题意；
D、函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x+4-4=-2x，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象平移，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的
增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
【变式训练】
1．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）对于函数 ，下列结论正确的是
A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当 时， D． 的值随 值的增大而增大
【答案】C
【分析】把点 代入到函数 中看是否成立，据此判断选项A；根据直线 中， ，
的符号判断其所经过的象限，据此判断选项B；把 代入到函数 中，求得 的值，即可判断
选项C；直接根据 的符号判断选项D．【详解】解：A、 当 时， ，它的图象不经过点 ，故A错误；
B、 ， ，它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、当 时， ，故C正确；
D、 ， 的值随 值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，对于一次函数 来说，
，直线过一三象限，在每个象限内， 随 增大而增大； ，直线过二四象限，在每个象限内，
随 增大而减小．
2．（2022春·云南临沧·八年级统考期末）已知一次函数 的图象经过点 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．y随x的增大而减小 B．
C． 的解集是 D．直线不经过第二象限
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，故选项A错误；
∵一次函数y＝2x＋b的图象经过点（0，4），
∴b＝4，故选项B错误；
∵一次函数y＝2x＋b随x的增大而增大，经过点（0，4），
∴2x＋b＞4的解集是x＞0，故选项C正确；
∵k＞0，b＞0，
∴一次函数y＝2x＋4的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合是求解的关键．
3．（2021春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知一次函数 的图象过点
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．y随x增大而增大
C．图象不经过第一象限 D．函数的图象一定经过点
【答案】D
【分析】将点 坐标代入一次函数解析式，解出k，再判断即可．
【详解】点 坐标代入一次函数解析式，得：
解得：A选项错误
一次函数解析式为：
k＜0，b＞0
图像经过一，二，四象限
y随x增大而减小
故B选项错误，C选项错误
时，
D选项正确
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系，注意 时，k被抵消，此时 ，意味着不管k为多少，
直线过定点 ．
4．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数 的图象中， 的值随着 值的增大而增大；
②方程组 的解为 ；
③方程 的解为 ；
④当 时， ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的
交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：由一次函数 的图象过一，二，四象限， 的值随着 值的增大而减小；
故①不符合题意；由图象可得方程组 的解为 ，即方程组 的解为 ；
故②符合题意；
由一次函数 的图象过 则方程 的解为 ；故③符合题意；
由一次函数 的图象过 则当 时， ．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与
坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
【考向二 反比例函数的图象与性质】
例题：（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）已知反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）．
A．图象经过点
B． 随 的增大而增大
C．若点 和点 在函数图象上，则
D．图象既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】D
【分析】依据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】解：A.当 时， ，故点 不在图像上，此选项错误，不符合题意；
B.在每一象限内 随 的增大而增大，故说法错误，不符合题意；
C.当 时， ，当 时， ，故 ，选项错误，不符合题意；
D.图象既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过点（2，3）
C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】直接利用反比例函数的性质， ，当k＞0时，每个象限内，y随x增大而减小，结合图象分
布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析求出答案．【详解】解：A．反比例函数 ，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意；
B．当x=2时，y=3，即图象必经过点（2，3），故此选项B正确，不合题意；
C．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意；
D．每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键．
2．（2023·湖北武汉·校考一模）若点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 得到反比例函数 图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象
限内，y随x的增大而增大，得出A点在第四象限，B、C点在第二象限，最后得出 ．
【详解】解： 在反比例函数 中， ，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
，
A点在第四象限，B、C点在第二象限，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据k的值得出反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限，
且在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
3．（2022春·九年级课时练习）正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，B，数学小
组在探究时得到以下结论：
①点A、B关于原点对称；②若点 ，则 的解集是 或 ；③k的值可以为 ；④当
时，k的值是1．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】①根据反比例函数的对称性，可得①正确；②观察图象得当 时，正比例函数图象在反比例
函数图象上方，此时 或 ，可得②正确；③根据题意可得正比例函数 的图象经过
第一、三象限，可得③错误；设点A在点B的左侧，过点B作 轴于点H，根据反比例函数的对称性，可得 ，设点B的横坐标为m，可得 ，再由勾股定理可得 ，再根据点B
在 的图象上，可得 ，从而得到 ，可得④错误．
【详解】解：如图，
①正比例函数 与反比例函数 的图象的交点A、B关于原点对称，故本选项正确；
②∵ ，点A与点B关于原点中心对称，
∴点 ，
当 时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时 或 ，
∴若点 ，则 的解集是 或 ，故本选项正确；
③∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，B，反比例函数图象在第一、三象限，
∴正比例函数 的图象经过第一、三象限，
∴ ，故k不可能为 ，故本选项错误；
④如图，设点A在点B的左侧，过点B作 轴于点H，
∵ ，
∴由对称性得 ，
设点B的横坐标为m，
∵点B在 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵点B在 的图象上，∴ ，
∴ ，
将 代入 中，得 ，
∴ ．解得 ，故本选项正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，
利用数形结合思想解答是解题的关键．
4．（2022春·九年级课时练习）已知函数 与函数 的部分图像如图所示，
有以下结论：
①当 时， ， 都随x的增大而增大；
②当 时， ；
③ 与 的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数 的最小值是2．则下列结论正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】补全函数图像，根据图像即可判断．
【详解】解：补全函数图像，如图所示：
①当 时， 随x的增大而减小， 随x的增大而增大，故①错误；②当 时， ，故②正确；
③ 与 的图像的两个交点之间的距离是2，故③正确；
④∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴函数 的最小值是2，故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，
数形结合是解决问题的关键．
【考向三 二次函数的图象与性质】
例题：（2022·江苏徐州·校考二模）关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据抛物线解析式求出顶点坐标和对称轴，利用二次函数的性质即可判断．
【详解】解∵a＝1＞0，
∴开口向上，
故A正确；
∵ ，
∴顶点坐标（2，0），对称轴x＝2，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴与x轴有两个重合的交点，
故B、C正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
故D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法全等抛物线的
顶点坐标，对称轴，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023·湖南衡阳·校考一模）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是
D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的表达式和二次函数的性质逐一求解即可．
【详解】解： 中，
的系数为 ， ，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是 ，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为 ，C错误；
函数图象的对称轴为 ， 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大，D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，相关知识点有：开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性
等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
2．（2022·四川成都·校考三模）已知抛物线 经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛
物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为 B．图象开口向下
C．图象与 轴有两个交点 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)，
∴ ，
将(0，5)代入 得 ，
解得 ，
∴ ，故选项A不符合题意；
∵a=1>0，
∴图象开口向上，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上，
∴图象与 轴没有有两个交点，故选项C不符合题意；
∵a=1>0，且对称轴为直线x=2，
∴ 时， 随 增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
3．（2023·广东云浮·校考一模）已知抛物线 经过 两点，下列结论：①
②抛物线在 处取得最值；③无论m取何值，均满足 ；④若 为该抛物线上
的点，当 时， 一定成立．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由于m的值不确定，无法判断抛物线与x轴有没有交点，可以判断①；根据抛物线
经过 两点，可以求出抛物线的对称轴为 ，故可以判断②；把
代入 可以判断③；根据 和 时，由函数的性质可以判断④．
【详解】解：当 时，抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∵m的值不确定，
∴ 不一定成立，
故①错误；
∵抛物线过 两点，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，抛物线取得最值，
故②正确；
∵ 两点均在抛物线上，
∴ ，
解得 ，
故无论m取何值，均满足 ，
故③正确；
当 时，抛物线开口向上，
∴在直线 1的左侧，y随x的增大而减小，
∴当 时， ；
当 时，抛物线开口向下，
∴在直线 的左侧，y随x的增大而增大，
当 时，此时 ，
故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是对二次函数性质的掌握和运用．
4．（2023·陕西西安·统考一模）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 6 …
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的开口向下 B．这个函数的图像与x轴无交点
C．当 时，y的值随x的增大而减小 D．这个函数的最小值小于6
【答案】D
【分析】根据抛物线经过点 ， ，可得抛物线对称轴为直线 ，由抛物线经过点 可
得抛物线开口向上，进而求解．
【详解】解：∵抛物线经过点 ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线经过点 ，
∴当 时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴ 时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在 处取得最小值，且最小值小于 ．故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质．
5．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点
、点B与y轴相交于点 ，下列结论：① ；②B点坐标为 ；③抛物线的顶点坐标
为 ；④直线 与抛物线交于点D、E，若 ，则h的取值范围是 ；⑤在抛物线的对称
轴上存在一点Q，使 的周长最小，则Q点坐标为 ．其中正确的有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】①代入点 的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入
公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把 带入后，即可表示出 ，进而求出h的取值范围；⑤连接
交对称轴于点Q，此时 的周长最小，再列出方程组即可求出Q点坐标．
【详解】解：①∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴相交于点 ，
∴可得： ，
∴ ，故①正确；
②∵函数 函数值为0，
∴ ，
∴ ，
∴ 时， ，
∴B点坐标为 ，故②正确；
③抛物线的顶点坐标为 ，故③错误；
④把 带入后， ，
解得： ，
∴h的取值范围是 ，故④正确；
⑤连接 交对称轴于点Q，此时 的周长最小，
直线 和对称轴 联立方程组，
可得 ，
解得 ，
∴Q点坐标为 ，故⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结
合思想是解题的关键．
6．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知抛物线 上的部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表：… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线 的顶点坐标为
B．当 时，y随x增大而增大
C．方程 的根为0和2
D．当 时， 的取值范围是
【答案】D
【分析】根据对称性即可得到顶点，由点 与 即可判断增减性，根据对称性即可得到方程的根，
根据二次函数的开口及交点即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
由点 ， 可得，对称轴为 ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，故A正确；
由点 与 可得 ，开口向上，当 时，y随x增大而增大，故B正确；
由对称性可得， 、 对称，故C正确；
∵ ，开口向上，故当 时， 或 ，故D错
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据表中点的对称性即可得到顶点、对称轴及与x轴的
交点．
