文档内容
专题 12 新定义型几何图形综合问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 与三角形有关的新定义型问题】....................................................................................................1
【考向二 与四角形有关的新定义型问题】..................................................................................................11
【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】..............................................................................................23
【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】..............................................................................................31
【直击中考】
【考向一 与三角形有关的新定义型问题】
例题：（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边
相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原
三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD
就是△ABC的“华丽分割线”．
【定义感知】
(1)如图1，在 中， ， AB=BD．求证：AD是 的“华丽分割线”．
【问题解决】
(2)①如图2，在 中， ，AD是 的“华丽分割线”，且 是等腰三角形，则
的度数是________；
②如图3，在 中，AB=2，AC= ，AD是 的“华丽分割线”，且 是以AD为底边的等
腰三角形，求华丽分割线AD的长．
【变式训练】1．（2022·山东济宁·三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．如图，在
中，AB=AC，顶角 的正对记作 ，这时 ，容易知道一个角的大小与这个角的
正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：
(1) ___________， ___________；
(2)如图，已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
2．（2022春·福建龙岩·九年级校考期中）在一个三角形中，如果有两个内角 与 满足 ，那
么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然 ，则这个三角形的第三个角
为 ，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
(1)【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为 ，请求出它的两个锐角的度数；
(2)【尝试运用】:如图1，在 中， ， ， ，点 在边 上，连接 ，且
不平分 ．若 是“亚直角三角形”，求线段 的长；
(3)【素养提升】:如图2，在钝角 中， ， ， ， 的面积为15，求证：
是“亚直角三角形”．
3．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为 ，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)已知 ABC是“准直角三角形”，且 ．
①若 △ ，则 ______ ；
②若 ，则 ______ ；
【巩固新知】
(2)如图①，在 中， ，点D在 边上，若 是“准直角三角
形”，求 的长；
【解决问题】
(3)如图②，在四边形 中， ，且 是“准直角三角
形”，求 的面积．
4．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在 和 中， 分别是 和 边上的高线，且 ，则 和
是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用 ， 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②，D是 的边 上的一点．若 ，则 __________；
(2)如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点．若 ， ， ，则
__________， _________；
(3)如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点，若 ， ， ，
则 __________．
【考向二 与四角形有关的新定义型问题】例题：（2022·陕西西安·校考三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)问题发现：如图1，筝形 中， ， ，若 ，求筝形 的面积的最
大值；
(2)问题解决：如图2是一块矩形铁片 ，其中 厘米， 厘米，李优想从这块铁片中裁
出一个筝形 ，要求点E是 边的中点，点F、G、H分别在 、 、 上（含端点），是否存
在一种裁剪方案，使得筝形 的面积最大？若存在，求出筝形 的面积最大值，若不存在，请说
明理由．
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互
余四边形．
(1)问题 ．利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（ ）
①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形．
(2)如图①，在对角互余四边形 中， ，且 ， ．若 ，求四边形的面积和周长．
(3)问题 ．如图②，在对角互余四边形 中， ， ， ， ，
，求四边形 的面积和周长．
(4)问题 ．如图③，在对角互余四边形 中， ， ， ，
，求 面积的最大值．
2．（2023春·江西抚州·九年级金溪一中校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等
邻边四边形”．
【问题探究】
(1)如图①，已知矩形 是“等邻边四边形”，则矩形 ___________（填“一定”或“不一
定”）是正方形；
(2)如图②，在菱形 中， ， ，动点 、 分别在 、 上（不含端点），若
，试判断四边形 是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不
是，请说明理由；此时，四边形 的周长的最小值为___________；
【尝试应用】
(3)现有一个平行四边形材料 ，如图③，在 中， ， ， ，点 在
上，且 ，在 边 上有一点 ，使四边形 为“等邻边四边形”，请直接写出此时四
边形ABEP的面积可能为的值___________．3．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如
图①， ，则四边形 为“等邻角四边形”．
(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．
(2)深入探究：
①已知四边形 为“等邻角四边形”，且 ，则 ________．
②如图②，在五边形 中， ，对角线 平分 ，求证：四边形 为等邻角四边
形．
(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形 中， ，点P为边BC上的一动点，过点P作
，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中， 的值是否会发生变化？请说明
理由．
【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】
例题：（2022·江西上饶·统考一模）定义：如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是
，那么称该三角形为“特异角平分三角形”，这条角平分线称为“特异角平分线”．(1)如图1， 是一个“特异角平分三角形”， 是一条“特异角平分线”
①当 时，试求 的值．
②在 中，过点D作 于点E，延长至点H， ，若 ，证明：
．
(2)如图2． 是 的直径， 是 的切线，点C为切点， 于点A且交 于点H，连接
交 于点E， ， ．试证明 是一个“特异角平分三角形”．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所
成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．
(1)如图1，∠E是 中∠A的“好角”，若 ，则 ______；（用含 的代数式表示）
(2)如图2，四边形ABCD内接于 ，点D是优弧ACB的中点，直径 弦AC，BF、CD的延长线于点
G，延长BC到点E．求证：∠BGC是 中∠BAC的“好角”．(3)如图3， 内接于 ，∠BGC是 中∠A的“好角”，BG过圆心O交 于点F， 的直
径为8， ，求FG．
2．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）我们不妨定义：有两边之比为1：
的三角形叫敬“勤业三角形”．
(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含 角的直角三角形；④含 角的等腰三角形．
(2)如图1，△ 是⊙O的内接三角形， 为直径， 为 上一点，且 ，作 ，交线
段 于点 ，交⊙O于点 ，连接 交 于点 ．试判断△ 和△ 是否是“勤业三角形”？如
果是，请给出证明，并求出 的值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求 的余弦值．
【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】
例题：（2022秋·九年级课时练习）定义：有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．(1)如图1，若
▱
ABCD的一组邻边AB＝4，AD＝7，且它的面积为14 ．求证：
▱
ABCD为半矩形．
(2)如图2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD内）到AB的距离为1，⊙O的半径＝5，
求AD的长．
(3)如图3，半矩形ABCD中，∠A＝45°
①求证：CD是△ABD外接圆的切线；
②求出图中阴影部分的面积．
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为
“对角互余四边形”．
(1)如图1，在“对角互余四边形” 中， ，
，求四边形 的面积．
(2)如图2，在四边形 中，连接 ， ，点O是 外接圆的圆心，连接 ，
．求证：四边形 是“对角互余四边形”；
(3)在（2）的条件下，如图3，已知 ，连接 ，求 的值．（结果用带有
a，b的代数式表示）2．（2022·江苏淮安·统考一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆
美四边形．
(1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是 ；
(2)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接
DE，若四边形ABED为圆美四边形，则 的值是
(3)如图2，在△ABC中，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接AE、BD交于点F，若在
四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC=∠ADP=α，连接PE交BD于点G，连接PA，若PA⊥PD，
PB⊥PE．
①试说明：四边形ABED为圆美四边形；
②若 ， ， ，求DE的最小值．
