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专题 14 直角三角形、等腰三角形、等边三角形
1. 等腰三角形
（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;
②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;
④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴,对称轴是底边的 .
（3）判定:
①有两条边相等的三角形是等腰三角形;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.
2. 等边三角形
（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.
（2）性质:
①等边三角形的三边相等，三角相等,且都等于60°;
②“三线合一”;
③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
（3）判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
3. 直角三角形（1）性质:
①直角三角形的两锐角互余;
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的 ;
③直角三角形中,斜边上的 长等于斜边长的一半.
（2）判定:有一个角是 的三角形是直角三角形.
（3）勾股定理及其逆定理
①勾股定理:直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方;
②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.
考点1：等腰三角形的性质与判定
【例1】（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长
是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【例2】（2022·浙江台州·中考真题）如图，点 在 的边 上，点 在射线 上（不与点 ，
重合），连接 ， ．下列命题中，假命题是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【例3】（2021·江苏扬州市）如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找
一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
2．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
3．如图，点P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是
（ ）
A．120° B．75° C．60° D．30°
4．（2022·云南·中考真题）已知 ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则 ABC的顶角度数是____．
5．（2022·山东滨州·中考真题）△如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其△中 ，立柱 ，且顶
角 ，则 的大小为_______．
6．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰
三角形，这样的点B最多有 个．
7．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长
三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．考点2：等边三角形的性质与判定
【例4】如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于
BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5】（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____
填上一个适当的条件．
（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;
（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.
1．如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
2．如图， ， ， 三点在同一直线上， ， 都是等边三角形，连接 ， ， ：下列
结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③ 平分 ；④△BPO≌△EDO．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．下列条件不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是 的三角形 B．有一个角是 的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形
4．（2021·广东）如图，在四边形ABCD中， ，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 ，且 ，证明： 为等边三角形．5．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一点，且 ，小亮以 为边作等边三角形
，如图1，求 的长；
（2） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，
如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为3的等边三角形，M是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，
如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形 的边长为3，E是边 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B
为顶点作正方形 ，其中点F、G都在直线 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B
重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
考点3：直角三角形的性质
【例6】（2022·广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例7】（2022·湖南永州）如图，在 中， ， ，点 为边 的中点，
，则 的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
1．（2022·广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，
如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为 ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．如图，在等腰 中， ，点P是 内一点，且 ， ， ，
以 为直角边，点C为直角顶点，作等腰 ，下列结论：①点A与点D的距离为 ；②
；③ ；④ ，其中正确结论有是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④
3．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在 中， 与
相交于点F，且 ，则 之间的数量关系是_____________．
4．（2020·南通市通州区平潮初级中学初二期中）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若
EC=1，则EF= ．5．（2022·贵州遵义）如图，在等腰直角三角形 中， ，点 ， 分别为 ， 上的
动点，且 ， ．当 的值最小时， 的长为__________．
考点4：勾股定理及其逆定理
【例8】（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线 上湖的另
一边的 处同时施工．取 ， ， ，则 ， 两点的距离是_________
．
【例9】在 中， ， ，则 （ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.
（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.
（3）用于证明平方关系的问题.1．（2022·贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的
直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 ．若 ， ，则点 到 的
距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知 中， ，BD是AC边上的高线， ，那么BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2021·广东·高州市长坡中学八年级期中）在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．2
4．已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则
△ABE的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
6．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差
为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾
股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）在△ABC中， ， ， ，则 ______________．
