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专题 16 函数的图像变换问题
函数图像的变换问题的考查一般难度较大，但关键是要理清图像变换前后的解析式的关系，图像变换的规
律以二次函数为例：
1．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
2．二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变
化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
（2022·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点
．(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x
轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为
直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使
得以B、N、T三点为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若将抛物线 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接
写出拋物线 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；
（3）由 ，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（4）如图，作 且与抛物线只有1个交点，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是等腰
直角三角形，作 于 ，进而求得直线 与 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，
将顶点坐标平移即可求解．
【答案】(1)(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析
(3)存在， 或 ，
(4)最短距离为 ，平移后的顶点坐标为
【详解】（1）解：∵抛物线 与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
（2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
的顶点坐标为
依题意得，
平移后的抛物线解析式为
令 ，解
得
令 ，则 ，即
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
（3）存在， 或 ，理由如下，
， ，是等腰直角三角形
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
联立
解得 ，
， ， 是等腰直角三角形
，
设直线 的解析式为 ,
直线 的解析式为
当 时，设 的解析式为 ，由NT过点
则
解得
的解析式为 ，
令
解得
，
②当 时，则即
解得
综上所述， 或
（4）如图，作 ，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是等腰直角三角形，作
于
直线 的解析式为
设与 平行的且与 只有一个公共点的直线 解析式为
则
整理得：
则
解得
直线 的解析式为，
即拋物线 平移的最短距离为 ，方向为 方向
∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为 ，即
本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，
勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．
（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 经过点
和点 与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．
(1)①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， 的面积记为 ，
的面积记为 ，当 时，求点E的坐标；(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线
为 ，点C的对应点 ，点G的对应点 ，将曲线 ，沿y轴向下平移n个单位长度（ ）．曲线
与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 是平行四边形，直接写出P的坐
标．
（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点 ，则点
， 可得 ，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；
（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为 ，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为
，平移后抛物线剩下部分的解析式为 ，分别求出直线BC和直线
的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点 ，然后分三种情况讨论：
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后
抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图
象上时，即可求解．
【答案】(1)① ；②
(2)（2，-4）或（0，-3）
(3)（1+ ， ）或【详解】（1）解：①把点 和点 代入得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
②令y=0，则 ，
解得： ，
∴点A（-2，0），
设直线AD的解析式为 ，
∴把点 和点A（-2，0）代入得：
，解得： ，
∴直线AD的解析式为 ；
（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，
当x=6时， ，
∴点H（6，-4），即BH=4，
设点 ，则点 ，∴ ，
∵ 的面积记为 ， 的面积记为 ，且 ，
∴BF=2EF，
∵EG⊥x，BH⊥x轴，
∴△EFG∽△BFH，
∴ ，
∴ ，解得： 或0，
∴点E的坐标为（2，-4）或（0，-3）；
（3）解： ，
∴点G的坐标为（2，-4），
当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），
∴点 ，
∴向上翻折部分的图象解析式为 ，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为
，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（6，0），C（0，-3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
同理直线 的解析式为 ，∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为 ，
∵点 ，
∴点 C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G′，
∵四边形 是平行四边形，
∴点 ，
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得： （不合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
，解得： 或 （不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得： （舍去，不合题意）或 ，
综上所述，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为（1+ ， ）或（1﹣ ， ）．本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的
判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
（2021·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B
（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线
上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F
的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，
N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．
（1）根据待定系数法将点A（﹣1，0），B（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求出原抛物线解析式；
（2）根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下
移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边
形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答；
（3）由 ，MN＝CE，可知M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，故可设点M坐
标为（a，b），可得点N坐标为（a+4，b-1），由图像可知M在新抛物线、N在原抛物线上，据此列方程
求出点M、N坐标，由直线MN解析式即可求出与y轴交点坐标即K点坐标．
【答案】（1） ；（2）F（-4，3），（3） ．
【详解】解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得：
，
解得： ，
∴原抛物线对应的函数表达式为： ；
（2）由（1）得：原抛物线为： ，故顶点C坐标为
∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，
∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线对应的函数表达式为： ，即：
故新抛物线顶E点坐标为 ，与y轴交点G坐标为 ，
以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：当平行四边形为 时，点F坐标为 ，即 ，根据平移性质可知： 一定在原抛物
线；
当平行四边形为 时，点F坐标为 ，即 ，此时 ；故不在新抛物
线上，
综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是 时，F的坐标为 ；
（3）∵ ，MN＝CE，
∴M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，
设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛
物线，
，
解得： ，
即M点坐标为 ，
∴点N坐标为 ，
设直线MN解析式为 ，∴ ，
解得： ，
即： ，
故直线MN与y轴交点K坐标为 ．
本题主要考查了函数图像的平移、函数图像与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想
把代数和几何图形结合起来，掌握图像平移的性质确定函数解析式和点的坐标是解题关键．
1．（2022·重庆开州·校联考模拟）如图1，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线 直线 ，交抛物线y于另一点D，点P为直线
上方抛物线上一动点．
(1)求线段 的长．
(2)过点P作 轴交 于点Q，交直线 于点F，过点P作 于点E，求 的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线 向右平移3个单位得到新抛物线 ，点M为新抛物线上一点，
点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，
并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
2．（2021·山东滨州·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 分别交 轴， 轴于点
A， 和点 ，抛物线 与抛物线 关于直线 对称，两条抛物线的交点为 ， （点 在点 的左
侧）．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 沿 轴正方向平移，使点 与点 重合，求平移的距离；
(3)在（2）的条件下：规定抛物线 和抛物线 在直线 下方的图象所组成的图象为 ，点 ， 和
， 在函数 上（点 在点 的右侧），在（2）的条件下，若 ，且 ，求点 坐标．
3．（2022·陕西渭南·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （b、c为常数）与x轴
交于 、 两点．(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)将该抛物线 向右平移4个单位长度得到新的抛物线 ，与原抛物线 交于点C，点D是点C关于x轴
的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线 上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点
的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线 ： 与 轴交于点 ，
过点 与点 的直线与 交于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)如图 ，若点 为直线 下方的 上一点，求点 到直线 的距离的最大值；
(3)如图 ，将直线 绕点 顺时针旋转 后恰好经过 的顶点 ，沿射线 的方向平移抛物线 得
到抛物线 ， 的顶点为 ，两抛物线相交于点 设交点 的横坐标为 若 ，求 的值．
5．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
，B两点，其对称轴 与x轴交于点D．图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为第四象限内的抛物线上一动点，连接PB，PC，CD，求四边形PBDC面积的最大值和此
时点P的坐标；
(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，点
F为抛物线y'对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所有使得以点A，E，F，M为顶点的四
边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
6．（2022·内蒙古呼和浩特·统考三模）抛物线 与 轴交于点 ， ，直
线 与抛物线交于 ， 两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
(3)若点 为直线 上方的抛物线上的一个动点（不与点 ， 重合），将直线 上方的抛物线部分关
于直线 对称形成爱心图案，动点 关于直线 对称的点为 ，求 的取值范围．7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过 ，
两点，将抛物线 向右平移2个单位得到抛物线 ，平移后点A的对应点为点B．
(1)求抛物线 与 的函数表达式；
(2)若点M是抛物线 上一动点，点N是抛物线 上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、
B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存
在，请说明理由．
8．（2022·四川成都·统考二模）如图，抛物线 ： 与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），已知点 的横坐标是2，抛物线 的顶点为 ．
(1)求 的值及顶点 的坐标；
(2)点 是 轴正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 后得到的抛物线 ，记抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴的交点为 ， （点 在点 的右侧）．当点 与点 重合时（如图1），求抛物线 的表
达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，从 ， ， 中任取一点， ， ， 中任取两点，若以取出的三点为顶
点能构成直角三角形，我们就称抛物线 为抛物线 的“勾股伴随同类函数”．当抛物线 是抛物线 的
勾股伴随同类函数时，求点 的坐标．
9．（2022·重庆·校联考二模）如图，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，点 为第四象限抛物线上一动点，过点 作 轴，垂足为 ， 交 于点 ，连接 ，
，求四边形 面积的最大值，并求出此时点 的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线 沿直线 平移 个单位长度得到新抛物线 ，
在新抛物线 的对称轴上是否存在一点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形为直角三角形，且 为直角边，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022·江苏泰州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线 （其中
为常数，且 <0）关于原点对称得到抛物线 ，抛物线 ， 的顶点分别为M，N．(1)请直接写出抛物线 的表达式；（用含有 的式子表示）
(2)若抛物线 与 轴的交点从左到右依次为A，B；抛物线 与 轴的交点从左到右依次为C，D．
①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD=3BC，求 的值；
②是否存在这样的 ，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由；
(3)在抛物线 对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与 轴相交于P，Q两点，且
， ，求 的值．
