文档内容
专题 16 反比例函数与几何图形综合问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 反比例函数中K值的几何意义】....................................................................................................1
【考向二 反比例函数与三角形的综合问题】................................................................................................8
【考向三 反比例函数与矩形的综合问题】..................................................................................................15
【考向四 反比例函数与菱形的综合问题】..................................................................................................22
【考向五 反比例函数与正方形的综合问题】..............................................................................................32
【考向六 反比例函数与圆的综合问题】......................................................................................................42
【直击中考】
【考向一 反比例函数中K值的几何意义】
例题：（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图，点 、 为反比例函数 图象上的点，过点 、 分
别作 轴， 轴，垂足分别为 、 ，连接 、 、 ，线段 交 于点 ，点 恰好
为 的中点，当 的面积为 时， 的值为____________．
【变式训练】
1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，若反比例函数 的图像经过点A， 轴于B，且
的面积为3，则k的值为______．2．（2023·广东深圳·校考一模）如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数 的图像
上， 交x轴于点C， ， ， 的面积为 ，则 _______．
3．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，在 中， 平分 ， ，反比例函数
图象经过点 、 两点，点 在 轴上，若 的面积为9，则 的值为 ___________．
4．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，点 在 轴的负半轴上，点 在反比例函数
的图象上， 交 轴于点 ，若点 是 的中点， 的面积为 ，则 的值为______．5．（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图像依
次是 和 ，设点 在 上， 轴于点 ，交 于点 ， 轴于点 ，交 于点 ，若四边
形 的面积为5，则 ______．
6．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，矩形 与反比例函数 （ 是非零常数，
）的图像交于点 ，反比例函数 （ 是非零常数， ）的图像交于点 ，连接 ．若
四边形 的面积为3，则 __________．【考向二 反比例函数与三角形的综合问题】
例题：（2022·江西抚州·校考二模）如图，在等腰三角形AOB中，AO=AB，点O是平面直角坐标系原点，
点A在反比例函数 的图象上，已知OA=5，OB=6．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点P，交x轴于点C．
①求直线AC的解析式；
②求点P的坐标．
【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，点A的坐标是（2，0）， ABO是等边三角形，点B在第一象限，
△
反比例函数y＝ 的图像经过点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)坐标平面内有一点D，若以A，O，B，D为顶点的四边形是菱形，请直接写出D的坐标．2．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中， OAB与 ACD是等边三角形，边OA，AC
△ △
在x轴上，点B，D在第一象限．反比例函数y= (x>0)的图像经过边OB的中点M与边AD的中点N，已知
等边 OAB的边长为4．
△
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求等边△ACD的边长．
3．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐
标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝ （x＞0）
的图象上．
(1)求m的值和点D的坐标；
(2)求DF所在直线的表达式；
(3)若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S EFG．
△
【考向三 反比例函数与矩形的综合问题】例题：（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像
和矩形 都在第一象限， 平行于 轴，且 ， ，点A的坐标为 ．
(1)直接写出 ， ， 三点的坐标；
(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点A、 恰好同时落在反比例函数的图像上，请求出矩形的平移距离
和 的值．
【变式训练】
1．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）如图，矩形ABCD的两边BC＝4，CD＝6，E是CD的中点，反
比例函数y＝ 的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B点的坐标为（﹣6，0），求k的值；
（2）连接AE，若AF＝AE，求反比例函数的表达式．
2．（2023春·辽宁大连·九年级专题练习）已知 、 为双曲线 上两点，且其横坐标分别为 ，，分别过 、 作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、 ，交点为 ．
(1)若矩形 的面积为 ，求 的值；
(2)随着a的取值的不同， 两点不断运动，判断 能否为 边的中点，同时 为 中点？请说明
理由；
(3)矩形 能否成为正方形？若能，求出此时 的值及正方形的边长，若不能，说明理由．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为 ，
分别落在x轴和y轴上，将 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到 ， 与
相交于点F，反比例函数 的图象经过点F，交 于点G．
(1)求k的值．
(2)连接 ，则图中是否存在与 相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行
证明；若不存在，请说明理由．
(3)点M在直线 上，N是平面内一点，当四边形 是正方形时，请直接写出点N的坐标．【考向四 反比例函数与菱形的综合问题】
例题：（2022·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原
点O重合，点B在 轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求 的值及AB所在直线的函数表达式；
（2）将这个菱形沿 轴正方向平移，当顶点D落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离．
【变式训练】
1．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在 轴上， ，
两点的坐标分别为 ， ，直线 ： 与反比例函数 的图象交于 ，
两点．
(1)求该反比例函数的解析式及 的值；
(2)判断点 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．2．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，平面直角坐标系 中，四边形 是菱形，点A在y轴正半轴
上，点B的坐标是 ，反比例函数 的图像经过点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点D在边 上，且 ，过点D作 轴，交反比例函数的图像于点E，求点E的坐标．
3．（2022·广东广州·统考二模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交
于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点 ，连接OA、OD、OC、AC，四边形OACD为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)设点P是直线AB上一动点，且 ，求点P的坐标．
4．（2022春·湖北恩施·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y＝ax＋b与双曲线：y＝ 交于C，P 两
1 2
点．
(1)求双曲线y 的函数关系式及m的值；
2
(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
(3)若BA的延长线与双曲线y＝ 交于另一点E，连接CE，DE，请直接写出△CDE的面积．
2
【考向五 反比例函数与正方形的综合问题】
例题：（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x
轴、y轴的正半轴上，反比例函数y= (x>0)的图象经过点C，OA=2，OB=4．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′D′，当点D′在反比例函数的图象上时，请求出点B′
的坐标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
【变式训练】1．（2022春·湖北恩施·九年级专题练习）如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，
2），顶点A、C在坐标轴上，反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象分别交BC、BA于E、F，连接
OE、CF交于M，△OEC的面积等于1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求四边形OAFM的面积．
2．（2022·山东济南·校考一模）如图，四边形OABC为正方形，反比例函数 的图象过AB上一点E，
BE=2， ．
(1)求k的值．
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线
DF的位置关系，并证明．
(3)点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标．
3．（2022·山东济南·统考一模）如图，四边形AOBC是的正方形，D为BC中点，以O为坐标原点，OA，OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标（0，4），过点D的反比例函数y＝ (k≠0)的图象
与边AC交于E点，F是线段OB上的一动点．
备用图
(1)求k的值并直接写出点E的坐标；
(2)若AD平分∠CAF，求出F点的坐标；
(3)若△AFD的面积为S，△AFO的面积为S ．若S：S=3：2，判断四边形AEFO的形状．并说明理由．
1 2 1 2
4．（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方
形，已知点 、 ，点 、 在第二象限内．
(1)点 的坐标_________；
(2)将正方形 以每秒2个单位的速度沿 轴向右平移 秒，若存在某一时刻 ，使在第一象限内点 、
两点的对应点 、 正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时 的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在 轴上的点 和反比例函数图像上的点 ，使得以 、 、 、 四个
点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考向六 反比例函数与圆的综合问题】
例题：（2022春·广东佛山·九年级佛山市华英学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，P(-4，n)是反比例函数 图象上的一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、
B，过点A、B作直线．
(1)求直线AB的表达式；
(2)点M是反比例函数 图象上的一点，连接线段MA，交⊙P于点Q，若 ，求点M
坐标；
(3)直线AB经过平移后，与⊙P相切，直接写出平移后的直线表达式．
【变式训练】
1．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．直线
，且与 的外接圆 相切，与双曲线 在第二象限内的图象交于 、 两点．
（1）求点 ， 的坐标和 的半径；
（2）求直线 所对应的函数表达式；
（3）求 的面积．2．（2021·广东深圳·深圳市罗湖区翠园初级中学校考一模）如图，点P在反比例函数y＝ (x＜0)上，
PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2－16t＋48＝0的两个实数根，且
OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点， ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．
（1）求k的值；
△
（2）当圆心M在y轴上时，请判断四边形PAMB的形状，并说明理由；
（3）当圆心M在y轴上时，设点Q是圆M上一动点，则P、Q两点之间的距离达到最大值时，求点Q的
坐标．
