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专题 16 函数的图像变换问题
函数图像的变换问题的考查一般难度较大，但关键是要理清图像变换前后的解析式的关系，图像变换的规
律以二次函数为例：
1．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
2．二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变
化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
（2022·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点
．(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x
轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为
直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使
得以B、N、T三点为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若将抛物线 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接
写出拋物线 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；
（3）由 ，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（4）如图，作 且与抛物线只有1个交点，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是等腰
直角三角形，作 于 ，进而求得直线 与 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，
将顶点坐标平移即可求解．
【答案】(1)(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析
(3)存在， 或 ，
(4)最短距离为 ，平移后的顶点坐标为
【详解】（1）解：∵抛物线 与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
（2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
的顶点坐标为
依题意得，
平移后的抛物线解析式为
令 ，解
得
令 ，则 ，即
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
（3）存在， 或 ，理由如下，
， ，是等腰直角三角形
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
联立
解得 ，
， ， 是等腰直角三角形
，
设直线 的解析式为 ,
直线 的解析式为
当 时，设 的解析式为 ，由NT过点
则
解得
的解析式为 ，
令
解得
，
②当 时，则即
解得
综上所述， 或
（4）如图，作 ，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是等腰直角三角形，作
于
直线 的解析式为
设与 平行的且与 只有一个公共点的直线 解析式为
则
整理得：
则
解得
直线 的解析式为，
即拋物线 平移的最短距离为 ，方向为 方向
∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为 ，即
本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，
勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．
（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 经过点
和点 与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．
(1)①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， 的面积记为 ，
的面积记为 ，当 时，求点E的坐标；(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线
为 ，点C的对应点 ，点G的对应点 ，将曲线 ，沿y轴向下平移n个单位长度（ ）．曲线
与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 是平行四边形，直接写出P的坐
标．
（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点 ，则点
， 可得 ，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；
（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为 ，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为
，平移后抛物线剩下部分的解析式为 ，分别求出直线BC和直线
的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点 ，然后分三种情况讨论：
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后
抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图
象上时，即可求解．
【答案】(1)① ；②
(2)（2，-4）或（0，-3）
(3)（1+ ， ）或【详解】（1）解：①把点 和点 代入得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
②令y=0，则 ，
解得： ，
∴点A（-2，0），
设直线AD的解析式为 ，
∴把点 和点A（-2，0）代入得：
，解得： ，
∴直线AD的解析式为 ；
（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，
当x=6时， ，
∴点H（6，-4），即BH=4，
设点 ，则点 ，
∴ ，∵ 的面积记为 ， 的面积记为 ，且 ，
∴BF=2EF，
∵EG⊥x，BH⊥x轴，
∴△EFG∽△BFH，
∴ ，
∴ ，解得： 或0，
∴点E的坐标为（2，-4）或（0，-3）；
（3）解： ，
∴点G的坐标为（2，-4），
当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），
∴点 ，
∴向上翻折部分的图象解析式为 ，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为
，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（6，0），C（0，-3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
同理直线 的解析式为 ，
∴BC∥C′G′，设点P的坐标为 ，
∵点 ，
∴点 C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G′，
∵四边形 是平行四边形，
∴点 ，
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得： （不合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
，解得： 或 （不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得： （舍去，不合题意）或 ，
综上所述，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为（1+ ， ）或（1﹣ ， ）．本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的
判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
（2021·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B
（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线
上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F
的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，
N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．
（1）根据待定系数法将点A（﹣1，0），B（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求出原抛物线解析式；
（2）根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下
移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边
形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答；
（3）由 ，MN＝CE，可知M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，故可设点M坐
标为（a，b），可得点N坐标为（a+4，b-1），由图像可知M在新抛物线、N在原抛物线上，据此列方程
求出点M、N坐标，由直线MN解析式即可求出与y轴交点坐标即K点坐标．
【答案】（1） ；（2）F（-4，3），（3） ．
【详解】解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得：
，
解得： ，
∴原抛物线对应的函数表达式为： ；
（2）由（1）得：原抛物线为： ，故顶点C坐标为
∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，
∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线对应的函数表达式为： ，即：
故新抛物线顶E点坐标为 ，与y轴交点G坐标为 ，
以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：当平行四边形为 时，点F坐标为 ，即 ，根据平移性质可知： 一定在原抛物
线；
当平行四边形为 时，点F坐标为 ，即 ，此时 ；故不在新抛物
线上，
综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是 时，F的坐标为 ；
（3）∵ ，MN＝CE，
∴M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，
设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛
物线，
，
解得： ，
即M点坐标为 ，
∴点N坐标为 ，
设直线MN解析式为 ，∴ ，
解得： ，
即： ，
故直线MN与y轴交点K坐标为 ．
本题主要考查了函数图像的平移、函数图像与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想
把代数和几何图形结合起来，掌握图像平移的性质确定函数解析式和点的坐标是解题关键．
1．（2022·重庆开州·校联考模拟）如图1，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线 直线 ，交抛物线y于另一点D，点P为直线
上方抛物线上一动点．
(1)求线段 的长．
(2)过点P作 轴交 于点Q，交直线 于点F，过点P作 于点E，求 的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线 向右平移3个单位得到新抛物线 ，点M为新抛物线上一点，
点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，
并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
【答案】(1)4
(2)当 时， 有最大值为 ，此时 ；
(3) ， 和
【思路分析】（1）令 ，求解即可；
（2）求直线 的解析式，设点 ，则 ， ，利
用 ，将所求转化为 ，再求解即可；
（3）推出平移后的解析式，设 ， ，分三种情况讨论；再利用平行
四边形的性质结合中点坐标求解即可．
【详解】（1）令 ，
解得 或 ，
∴ ，
；
（2） ，
，设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为 ，
设点 ，则 ， ，
∵点P为直线 上方抛物线上一动点，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ，此时 ；
（3） ，
∴抛物线对称轴为直线 ，∵抛物线 向右平移3个单位得到新抛物线 ，
∴新抛物线 的解析式为 ，
∴ ， ，
①当 为平行四边形的对角线时， ，
∴ ，
∴ ；
②当 为平行四边形的对角线时， ，
∴ ，
∴ ；
③当 为平行四边形的对角线时， ，
∴ ，
∴ ；
综上，N点坐标分别为 ， 和 ．
2．（2021·山东滨州·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 分别交 轴， 轴于点
A， 和点 ，抛物线 与抛物线 关于直线 对称，两条抛物线的交点为 ， （点 在点 的左
侧）．(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 沿 轴正方向平移，使点 与点 重合，求平移的距离；
(3)在（2）的条件下：规定抛物线 和抛物线 在直线 下方的图象所组成的图象为 ，点 ， 和
， 在函数 上（点 在点 的右侧），在（2）的条件下，若 ，且 ，求点 坐标．
【答案】(1)
(2)1
(3)点 坐标为： ， 或 ， 或 ，
【思路分析】（1）由 得抛物线 的顶点坐标为： ，即得抛物线 的顶点为 ，从
而抛物线 的表达式为 ；
（2）由 得 ，设抛物线 向右平移 个单位后 与 重合，即
过 ，可得平移的距离是1；
（3）抛物线 向右平移1个单位得 ，由 ，的 ， ，当 在 左侧图象上时，
， ，可得 ，解得 ， ；当在 、 之间的图象上时，分两种情况：① 在抛物线 上， ，即得
， ；② 在抛物线 上， ，解得 ， ．
【详解】（1）解： ，
抛物线 的顶点坐标为： ，
点 关于直线 对称点为 ，抛物线 与抛物线 关于 对称，
抛物线 的顶点为 ，且抛物线 与抛物线 的形状、大小相同，开口方向相反，
抛物线 的表达式为 ．
（2）解：在 中，令 得 ，
，
设抛物线 向右平移 个单位后 与 重合，即 过 ，
，解得 或 （舍去），
平移的距离是1．
（3）解：由（2）知，抛物线 向右平移1个单位，可得 ，
，
，
， ，
当 在 左侧图象上时，如图：在抛物线 上， 在抛物线 上，
， ，
，
，
解得 （舍去）或 ，
， ；
当 在 、 之间的图象上时，分两种情况：
① 在抛物线 上，如图：
， ，且 ，
，
即得 或 （舍去），
， ；
② 在 、 之间的图象上，如图：， ，且 ，
，
解得 ，
， ，
综上所述，点 坐标为： ， 或 ， 或 ， ．
3．（2022·陕西渭南·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （b、c为常数）与x轴
交于 、 两点．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)将该抛物线 向右平移4个单位长度得到新的抛物线 ，与原抛物线 交于点C，点D是点C关于x轴
的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线 上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点
的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点M的坐标为 或 或
【思路分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）存在，根据题意求得抛物线 的表达式，再与抛物线 联立，求得点C的坐标，进而求得点D的坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在x轴下
方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可．
【详解】(1)解：把 、 代入 中，得
解得
∴抛物线 的函数表达式为 ．
(2)解：存在．理由如下：
∵ ，
∴抛物线 的函数表达式 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
∵点D是点C关于x轴的对称点，
∴点D的坐标为 ．
①当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，
则 ，即 ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
②当M在x轴下方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，
则 ，即 ，
解得 ， ，
∴ ， ．综上，在抛物线 上存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标
为 或 或 ．
4．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线 ： 与 轴交于点 ，
过点 与点 的直线与 交于点 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)如图 ，若点 为直线 下方的 上一点，求点 到直线 的距离的最大值；
(3)如图 ，将直线 绕点 顺时针旋转 后恰好经过 的顶点 ，沿射线 的方向平移抛物线 得
到抛物线 ， 的顶点为 ，两抛物线相交于点 设交点 的横坐标为 若 ，求 的值．
【答案】(1)y=x+2
(2)
(3)
【思路分析】（1）先根据抛物线的函数表达式求出点A的坐标，再将点A的坐标和（1，3）代入
y=kx+b，即可求出直线AB的函数表达式；
（2）过点P作 交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，易证△MPQ为等腰直角三
角形，分别表示出点P和点Q的坐标，求出PQ的最大值，当PQ取最大值时PM也取最大值，（3）过点E作 ，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q，易证△APE～△DEQ，将点D的
坐标用m表示出来，根据 即可求出m的值．
【详解】（1）解：当x=0时， ，
∴A（0，2），
设直线AB的函数表达式为：y=kx+b，
把A（0，2）和（1，3）代入y=kx+b，
，解得： ，
∴直线AB得函数表达式为：y=x+2．
（2）将抛物线的函数表达式整理为一般式为： ，
如图，过点P作 交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，
设点P的坐标为（a， ），
∵ ，
∴点Q的横坐标为a，
∵点Q在直线AB上，
∴点Q的坐标为（a，a+2），
∴ ，整理得： ，
当a= 时，PQ有最大值，最大值为 ，∵直线AB与竖直方向得夹角为45°，
∴∠MQP=45°，
∴△MPQ为等腰直角三角形，
∴PM= ，
当PQ取最大值时，PM也取最大值，
∴PM的最大值为： ，
（3）∵抛物线的函数表达式为： ，
∴顶点C（1，1），
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，将点C和点A的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线AC的函数表达式为：y=-x+2，
设点D的横坐标为b，
∵点D在直线AC上，
∴点D的纵坐标为-b+2，即D（b，-b+2），
∴ 的函数表达式为： ，
E的横坐标为m，
∵点E在抛物线 上，
∴点E的纵坐标为： ，
∵点E也在抛物线 上，
∴点E的纵坐标为： ，
∴ = ，
整理得： 解得：b=2m或b=1（舍），∴D（2m，-2m+2），
过点E作 ，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q，
∵∠AED=90°，∠EPA=90°，
∴∠AEP+∠DEQ=90°，∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠DEQ=∠EAP，
在△APE和△DEQ中，
∠DEQ=∠EAP，∠APE=∠DQE，
∴△APE～△DEQ，
∴ ，
∵A（0，2），E（m， ），D（2m，-2m+2），
∴PE=m，EQ=m，
DQ= ，
AP= ，
∴ ，整理得： ，
解得： 或 （舍）．
5．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
，B两点，其对称轴 与x轴交于点D．图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为第四象限内的抛物线上一动点，连接PB，PC，CD，求四边形PBDC面积的最大值和此
时点P的坐标；
(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，点
F为抛物线y'对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所有使得以点A，E，F，M为顶点的四
边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】(1) ；
(2) 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ， ；
(3)点 的坐标为 或 或 ．
【思路分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法求得直线 的解析式为 ，过点 作 轴交 于点 ，如图1，设
， ，则 ，得出 ，再运用二
次函数的性质即可得出答案；
（3）根据平移的性质可得 ，新抛物线的对称轴为直线 ，设 ， ，
可得 ，又 ，由以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①当 、
为对角线时， 、 的中点重合，②当 、 为对角线时， 、 的中点重合，③当 、为对角线时， 、 的中点重合，分别画出图形，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：（1） 抛物线 经过点 ，其对称轴 ，
，
解得： ，
该抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：如图，连接BC，作PH∥y轴，交BC于H，
点 与点 关于对称轴 对称，
，
， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ， ，则 ，
，
，
，
， ，当 时， 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ， ；
（3）解：将抛物线 向左平移3个单位长度得到抛物线 ，
即 ，
新抛物线的对称轴为直线 ，
设 ， ，
当 时， ，
，又 ；
①当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得： ，
，
；
②当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得： ，
，
；③当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得： ，
，
；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
6．（2022·内蒙古呼和浩特·统考三模）抛物线 与 轴交于点 ， ，直
线 与抛物线交于 ， 两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
(3)若点 为直线 上方的抛物线上的一个动点（不与点 ， 重合），将直线 上方的抛物线部分关
于直线 对称形成爱心图案，动点 关于直线 对称的点为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在， ，理由见详解
(3)
【思路分析】（1）将 ， 代入抛物线 求解即可：
（2）连接BC，BC与对称轴的交点即点P，此时 的周长最小；
（3）过点E作 轴，进而得到 ，由三角函数即可求解；【详解】（1）解：将 ， 代入抛物线 得，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）由 解得： ，
∴ ， ，
设BC的解析式为： ，
将 ， 代入 得，
解得： ，
∴ ，
抛物线的对称轴为： ，
当点P在BC上时， 的周长最小，
∴将 代入 中，
，
∴ ．
（3）设点 ，
由 ， 可求得CD的解析式为： ，
过点E作 轴，∴ ，
将 代入 得， ，
将 代入 得， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 最大，
∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为： ．
7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过 ，
两点，将抛物线 向右平移2个单位得到抛物线 ，平移后点A的对应点为点B．(1)求抛物线 与 的函数表达式；
(2)若点M是抛物线 上一动点，点N是抛物线 上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、
B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在， ， 或 ，
【思路分析】（1）用待定系数法求出b与c的值即可；
（2）先求点B的坐标，再根据平行四边形的性质进行分类讨论．
【详解】（1）解：∵ 的图象经过 ，
∴ ，
将 代入 中，得 ，
解得 ，
∴抛物线 的函数表达式为 ．
∵将抛物线 向右平移2个单位得到抛物线 ，
∴抛物线 的函数表达式为 ．
（2）解：存在．理由如下：∵点 向右平移2个单位得到点B，
∴ ，
∴ ．
由题意知，以AB为边的平行四边形的面积为8，则 ， ，
AB边上的高为4．
易得抛物线 的顶点为 ，而 ，
∴在x轴下方不存在满足条件的点M、N．
在 中，令 ，
即 ，
解得 ， ，
∴ ， ．
在 中，令 ，
即 ，
解得 ， ，
∴ ， ．
综上，存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形，
点M、N的坐标分别为 ， 或 ， ．8．（2022·四川成都·统考二模）如图，抛物线 ： 与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），已知点 的横坐标是2，抛物线 的顶点为 ．
(1)求 的值及顶点 的坐标；
(2)点 是 轴正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 后得到的抛物线 ，记抛物线 的顶点为 ，抛
物线 与 轴的交点为 ， （点 在点 的右侧）．当点 与点 重合时（如图1），求抛物线 的表
达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，从 ， ， 中任取一点， ， ， 中任取两点，若以取出的三点为顶
点能构成直角三角形，我们就称抛物线 为抛物线 的“勾股伴随同类函数”．当抛物线 是抛物线 的
勾股伴随同类函数时，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或
【思路分析】（1）把点 坐标代入抛物线的解析式即可求出 的值，然后利用抛物线的对称轴 求
出点 的横坐标 ，再代入抛物线解析式中可得 ，即可解决问题；（2）由（1）可知，当 时，可求得 ，再根据题意抛物线 绕点 旋转 后得到的抛物线 ，
且点 与点 重合，则在抛物线 中，点 的坐标仍为 ，同时点 的坐标也为 ；根据旋转的性
质可知：点 与点 关于点 对称，点 的坐标为 ，同理点 与点 关于点 对称，设 ，
则点 的坐标为 ，再根据点的坐标的唯一性可确定 和 的值，从而确定点 的坐标，再设
抛物线 的表达式为： ，将点 的坐标代入即可求解；
（3）根据题意可确定，只有 ， 为三角形其中两个顶点，然后再从 ， ， 中任取一点构成直角三
角形的三个顶点，分三种情况利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线 ： 与 轴相交于 ， 两点，点 的横坐标是2，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线 的解析式为： ，
对称轴： ，
∴当 时， ，
∴顶点 的坐标为 ．
∴ ， ．
（2）∵抛物线 与 轴相交于 ， 两点，
∴当 时，得：，即 ，
解得： ， ，
∴
∵点 与点 重合，
∴点 的坐标为 ，
当抛物线 绕点 旋转 后得到的抛物线 ，且点 与点 重合时，
∴在抛物线 中，点 的坐标仍为 ，
∴点 与点 关于点 对称，
∴点 的坐标为 ，
同理点 与点 关于点 对称，设 ，则
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
设抛物线 的表达式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴抛物线 的表达式为： ．
（3）根据题意可知，在构成的直角三角形三个顶点中，有两个顶点是从点 ， ， 中选取，有一个点
是从 ， ， 中任取．由图可知，当点为 ， 或 ， 时，与 ， ， 中任意一点构成的三角形是
钝角三角形，故只有点 ， 为直角三角形其中的两个顶点．
设 ，
又∵抛物线 绕点 旋转 后得到的抛物线 ， ， ， ，
∴ ， ，
①当 为顶点时，
∵在抛物线 中， 是一个锐角，点 在点 的左侧，
∴ ，
∴ ，
∴
解得： ；
②当 为顶点时，
同理可得 ，
∴ ，
∴
解得： ；
③当 为顶点时，
分两种情况：
第一种：
∴ ，
∴ ，解得： ，
第二种：
∴ ，
∴ ，
解得： ．
∴点 的坐标为 或 或 ．
9．（2022·重庆·校联考二模）如图，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，点 为第四象限抛物线上一动点，过点 作 轴，垂足为 ， 交 于点 ，连接 ，
，求四边形 面积的最大值，并求出此时点 的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线 沿直线 平移 个单位长度得到新抛物线 ，
在新抛物线 的对称轴上是否存在一点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形为直角三角形，且 为直角边，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3) ， ， ， ，
【思路分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）设点 ，点 ，当PD最大时四边形 面积最大，即可求解；
（3）根据 ，求出抛物线向左（右）平移的距离，确定点Q的横坐标，分向下和向上两种情况，利
用勾股定理进而求解．
【详解】（1）解：（1）当 时， ；
解得： （舍去），
得 ，
当 时， ，
得 ，
设直线 解析式为 ，
得 ，
解得 ，
；
（2）设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
∴当 时，即 时， ，，
∴当四边形 的面积最大为10；
（3）沿直线AB平移 个单位长度时，因为 ，
故设向右（左）平移 ，向上（下）平移 ，则
，
解得 ，
则 ，
对称轴 也向右平移 为 或向左平移 为 ，
当抛物线沿直线 向上平移时，设 ，则
，
，
，
当 时， ，
即 ，
解得 ，
此时 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
此时 ，
当抛物线沿直线 向下平移时，设 ，则
，
，
，
当 时， ，
即 ，
解得 ，
此时 ，
当 时， ，
即 ，
解得 ，
此时 ，
综上得： ， ， ， ．
10．（2022·江苏泰州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线 （其中为常数，且 <0）关于原点对称得到抛物线 ，抛物线 ， 的顶点分别为M，N．
(1)请直接写出抛物线 的表达式；（用含有 的式子表示）
(2)若抛物线 与 轴的交点从左到右依次为A，B；抛物线 与 轴的交点从左到右依次为C，D．
①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD=3BC，求 的值；
②是否存在这样的 ，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由；
(3)在抛物线 对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与 轴相交于P，Q两点，且
， ，求 的值．
【答案】(1)c 的解析式为： ；
2
(2)①m=-2；②存在m，m=-1；
(3)p-q=-1．
【思路分析】（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y），将点
（-x，-y）代入抛物线 ，即可求解；
（2）①分别求出A（-1+m，0），B（1+m，0），C（-1-m，0），D（1-m，0），再由题意建立方程即可
求m的值；
②由M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，则MN为矩形的对角线，在由勾股定理可得
1+3+（2m-1）2+3=12+4m2，解得m=-1；
（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线 交GI于点K，则GI∥MH，由平行线的性质可得 ，即 ，再由
NK∥y轴，得 ，即t= ，最后
列出等式，可求p-q=-1．
【详解】（1）解：设抛物线c 上任意一点（x，y），
2
则点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y），
将点（-x，-y）代入抛物线 ，
∴抛物线c 的解析式为 ；
2
（2）①对函数 ，
令y=0，解得x=-1+m或x=1+m，
∵m＜0，
∴A（-1+m，0），B（1+m，0），
对函数c： ，
2
令y=0，解得x=1-m或x=-1-m，
∵m＜0，
∴C（-1-m，0），D（1-m，0），
∴AD=2-2m，BC=-2-2m，
∵AD=3BC，
∴2-2m=3（-2-2m），
∴m=-2；
②存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：
∵抛物线c 的对称轴为x=m，
1
∴M（m， ），
∵抛物线c 的对称轴为x=-m，
2
∴N（-m，- ），
∵M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，∴MN为矩形的对角线，
∴AM2+AN2=MN2，
∴1+3+（2m-1）2+3=12+4m2，
解得m=-1；
（3）设G点的横坐标为t，
过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线 交GI
于点K，
∴GI∥MH，
∴ ，
∴ ，
∵GM=pGP，
∴ ，
∴ ，
∵NK∥y轴，
∴ ，
∴ ，
∵GN=qGQ，∴ ，
∴t= ，
∴ ，
∴1+p=q，
∴p-q=-1．
