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专题 14 角、相交线与平行线（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 角、钟面角、方向角】...........................................................................................................................1
【考点2 对顶角、邻补角】...................................................................................................................................3
【考点3 补角、余角】...........................................................................................................................................3
【考点4 同位角、内错角、同旁内角】...............................................................................................................4
【考点5 角的和差】...............................................................................................................................................5
【考点6 角的大小比较】.......................................................................................................................................7
【考点7 点到直线的距离】...................................................................................................................................8
【考点8 相交线与平行线】...................................................................................................................................9
【考点9 平行公理及其推论】.............................................................................................................................10
【考点10 平行线的判定与性质】.........................................................................................................................12
【要点1 角的概念】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【要点2 角的表示方法】
表示方法 图例 记法 适用范围
用三个大写字母 A AOB 任何情况下都适应.表示端点的字
O
表示
或BOA
母必须写在中间.
B
用一个大写字母
A A 以这个点为顶点的角只有一个.
表示
任何情况下都适用.但必须在靠近
用数字表示 1 顶点处加上弧线表示角的范围，
1
并注上数字或希腊字母.
【要点3 钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时
针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【要点4 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的
方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【考点1 角、钟面角、方向角】
【例1】（2022·河北·统考模拟预测）如图，同时能用三个字母和一个字母表示的角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠A和∠D D．∠A和∠C
【变式1-1】（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的
走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．
【变式1-2】（2022·辽宁抚顺·一模）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，则当时间为4：30时钟面角
为___________°.
【变式1-3】（2022·浙江宁波·统考一模）6×6的方格图中，按要求作格点三角形ABC．
（1）在图1中，作等腰直角 ABC，使得∠BAC=45°；（画出一个即可）
（2）在图2中，作钝角 ABC△，使得∠BAC=45°．
△【考点2 对顶角、邻补角】
【例2】（2022·河北·模拟预测）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·广东·统考中考模拟）∠α与∠β互为补角，同时又是对顶角，则它们两边所在的直线
（ ）
A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直也不平行 D．不能确定
【变式2-2】（2022·上海·校联考模拟预测）已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为
________度．
【变式2-3】（2022·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，
其中∠C=∠F=90∘，∠A=45∘，∠D=30∘，则∠α+∠β等于（ ）
A．180∘ B．210∘ C．360∘ D．270∘
【考点3 补角、余角】
【例3】（2022·陕西西安·统考三模）已知∠1=50°，则∠1的余角的补角的度数是（ ）
A．60° B．140° C．40° D．130°
【变式3-1】（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那
么∠BAC的大小为______【变式3-2】（2022·江苏泰州·统考二模）42°15'的余角是______．
【变式3-3】（2022·山东济南·统考一模）如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则下列说法中正确的是
（ ）
A．∠α的余角只有∠B B．∠α的补角是∠DAC
C．∠α与∠ACF互补 D．∠α与∠ACF互余
【考点4 同位角、内错角、同旁内角】
【例4】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，直线l，l 被直线l 所截，则（ ）
1 2 3
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是内错角
C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是内错角
【变式4-1】（2022·青海·统考中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示
（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【变式4-2】（2022·浙江杭州·模拟预测）下列图中∠1和∠2是同位角的是 （ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②
【变式4-3】（2022·福建三明·统考中考模拟）如图，图中的同位角的对数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【要点5 角的和、差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝
∠AOB-∠2．
【要点6 角平分线】
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是
∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
1
∠AOC＝∠BOC = ∠AOB．
2【考点5 角的和差】
【例5】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，将一幅三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将
含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．
（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．
（2）当OC所在的直线平分∠AOB时，求∠AOD的度数；
（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
【变式5-1】（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=75°，
∠1=25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【变式5-2】（2022·湖南娄底·统考模拟预测）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减
小10°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40° B．减小10° C．减小20° D．不变
【变式5-3】（2022·湖北随州·统考模拟预测）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决
的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度
数为 ；.【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用
含m、n的代数式表示），并说明理由.
【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆
时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋
转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线
夹角的角平分线？
【要点7 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝
∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【考点6 角的大小比较】
【例6】（2022·江苏盐城·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝
γ，则（ ）
A．β＜α＜γ B．β≤γ＜α C．α＜γ＜β D．α＜β＜γ【变式6-1】（2022·广西百色·统考一模）若∠P=25°12′,∠Q=25.12°,∠R=25.2°，则下列结论正确的
是( )
A．∠P=∠Q B．∠P=∠R
C．∠Q=∠R D．∠P=∠Q=∠R
【变式6-2】（2022·山东淄博·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，
那么∠DAC与∠ACB的大小关系为：∠DAC_____∠ACB．
【变式6-3】（2022·陕西西安·校考一模）线段AB与射线AP有一公共端点A．
(1)用直尺和圆规作出AB的中点M；(不写作图方法)
(2)用直尺和圆规作出以点B为顶点的∠ABQ，使∠ABQ=∠PAB，且BQ与AP相交于点C.(不写作图方
法)
(3)联结CM，用量角器测量∠AMC和∠BMC的度数，你认为∠AMC和∠BMC的大小关系如何？
【考点7 点到直线的距离】
【例7】（2022·北京·校考模拟预测）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（ ）
A． B．C． D．
【变式7-1】（2022·吉林松原·校考一模）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后
跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2022·北京·统考中考模拟）点A在直线m外，点B在直线m上，A、B两点的距离记作a，点
A到直线m的距离记作b，则a与b的大小关系是 ( )
A．a>b B．a≤b C．a≥b D．a
