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专题 15 一次函数与几何图形综合问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 一次函数与三角形的综合问题】....................................................................................................1
【考向二 一次函数与菱形的综合问题】......................................................................................................11
【考向三 一次函数与矩形的综合问题】......................................................................................................22
【考向四 一次函数与正方形的综合问题】..................................................................................................30
【考向五 一次函数与圆的综合问题】..........................................................................................................37
【直击中考】
【考向一 一次函数与三角形的综合问题】
例题：（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线 分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线
段 上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作 ，射线 交线段 于点D，将射线
绕点O顺时针旋转 交射线 于点E，连接 ．
(1)证明： ；（用图1）
(2)当 为直角三角形时，求 的长度；（用图2）
(3)点A关于射线 的对称点为F，求 的最小值．（用图3）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）由条件可证得 ，根据相似三角形对应边成比例得 ，即 ；（2）先根据函数关系式求出 的长度，然后作出对应的图2，可证明 ，从而
得到 ，设 ， ，结合 对应边成比例，得到 ，则
，解方程得到 ，所以 ， ，再由（1）的结论 ，
可计算出 ．
【详解】（1）证明：已知射线 绕点O顺时针旋转 交射线 于点E，
，
，
，
,
，
又 ，
，
；
（2）解：直线 ，当 时， ，
，
，
当 时， ，
，
，
，
如图2， ，，
，
，
，
设 ， ，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
， ，
由（1）知： ，
，
（3）解：如图3，由对称得： ,
则动点F在以O为圆心，以 为半径的半圆 上运动，
当F在y轴上，此时在B的正上方， 的值最小，如图4，此时 ，即 的最小值是2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特
征、圆的性质、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比
列方程求线段长是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，已知一次函数 的图像与 轴交于点
，与 轴交于点 ，以线段 为边在第一象限内作等腰直角三角形 ， ．
(1)求 的值，以及点 的坐标；
(2)求过 ， 两点的直线解析式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）把 代入 ，即可求得k值，从而得到一次函数解析式，再令 ，求得y值，
从而得到B点坐标，即可求得 ，然后作 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出
，由全等三角形的性质可知 ，故可得出C点坐标；
（2）用待定系数法求即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，得
，
解得： ，，
令 ，则 ，
，
，
∵ ，
∴ ，
过点D作CD⊥x轴于点D，如图，
∵ ，
∴ ，
又 ，
，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
则点C的坐标是 ．
（2）解：设直线 的解析式是 ，
把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴直线BC的解析式 ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
2．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y=kx+3与x
轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
(1)求k的值及 AOB的面积；
(2)点C在x轴上，若 ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；
△
(3)点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当 PBM的面积与 AOB的面积相等时，求
△
点P的坐标．
△ △
【答案】(1) ；3
(2) 或 或
(3) 或
【分析】（1）运用待定系数法求得k值，从而得到直线解析式，再根据三角形面积公式求解 AOB的面积．
（2）分AC=AB，BC=AB进行讨论，分别求出每种情况下的C点坐标．
△
（3）点P在x轴下方和点P在x轴上方，两种情况分别求解．
【详解】（1）解：将点A（2，0）代入直线y=kx+3，
得，0=2k+3，
解得 ，
∴ ．
∵直线y=kx+3与y轴交于点B，
∴令x=0，得y=3．
∴B（0，3），OB=3．
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴ ；
（2）解：①如图1，当AC=AB，且C点在A点右侧时，∵A（2，0），B（0，3），
∴ ，
∴ ；
②如图2，当AC=AB，且C点在A点左侧时，
∵ ，
又∵ ，
∴ ；
③如图3，当BC=AB时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上，C点坐标为 或 或 ；（3）解：∵M（0，3），
∴OM=3，
∴AM=3-2=1，
由（1）知，S AOB=3，
∴S PBM=S A△OB=3，
①△如图1，△当点P在x轴下方时，
∵ ，
∴|yP|=3，
∵点P在x轴下方，
∴yP=-3，
当y=-3时，代入 得， ，
解得x=4，
∴P（4，-3）；
②如图2，当点P在x轴上方时，
∵ ，
∴|yP|=9，
∵点P在x轴上方，
∴yP=9，当y=9时，代入 得， ，
解得x=-4．
∴P（-4，9）．
综上，符合条件的P点坐标为（4，-3）或（-4，9）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，包括待定系数法求一次函数解析式，求解相关三角形面积及求
解符合条件的点坐标，充分运用数形结合思想是解题的关键．
3．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）探究与应用：在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，
将几何“模块”化.例如在相似三角形中，“K”字形是非常重要的基本图形 .
(1)如图①，已知：∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，求证：△ABC∽△DCE；
(2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点A（－2，1），点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，则此时点B的坐标为
；
②如图③，过点A（－2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C，D，求点A关于直线CD
的对称点E的坐标.
【答案】(1)见详解
(2)① ；②E（ ， ）
【分析】（1）根据余角的性质就可以求出∠B=∠DCE，再由∠A=∠D=90 ，就可以得出结论；
（2）①作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H，可以得出 ，可以得出 ，设点B的坐
标为（x，-2x+3），建立方程求出其解就可以得出结论；
②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M，设E（x，y），先可以求出C、
D的坐标，进而可以求出DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，DE=AD=6，CE=AC=3．再由条件可以求出
，利用相似三角形的性质建立方程组求出其解就可以得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BCE=90 ，
∴∠ACB+∠DCE=90 ．
∵∠A=90 ，
∴∠ACB+∠B=90 ，∴∠DCE=∠B．
∵∠A=∠D，
∴ ；
（2）解：①作 轴于点G， 轴于点H
∵ ， ， ，
∴ ，
∴△AGO∽△OHB，
∴ ．
∵A（-2，1），
∴AG=1，GO=2．
∵点B在直线y=-2x+3上，
∴设点B的坐标为（x，-2x+3），
∴OH=x，BH=-2x+3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M，∵A（-2，1），
∴C点的纵坐标为1，D点的横坐标为-2，
∴C（x，1），D（-2，y），
∴1=-2x+3，y=-2×（-2）+3，
∴x=1，y=7，
∴C（1，1），D（-2，7）．
设E（x，y），
∴DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，
由对称可知：DE=AD=6，CE=AC=3
∵∠M=∠N=∠DEC=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴解得：
∴E（ ， ）．
【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，
方程组的运用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质．
【考向二 一次函数与菱形的综合问题】
例题：（2022春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图①，若点M（x，y）在线段AB上运动（不与端点A、B重合），连接OM，设 的面积为
S，写出S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图②，点C在直线AB上，若四边形OADC是菱形，求菱形对角线OD的长．
【答案】（1）（3，0），（0，4）；（2）S＝﹣2x+6（0＜x＜3）；（3）菱形对角线OD的长为 ．
【分析】（1）令 求解直线与 轴的交点坐标，令 求解直线与 轴的交点坐标；
（2）由点M（x，y）在直线 上，得到 的纵坐标，再利用三角形的面积公式直接得到函数的
关系式，由 在线段 上得到 的取值范围；
（3）记菱形的对角线的交点为E，由菱形的性质得到OE为AB上的高，利用等面积法先求解OE的长，结
合菱形的性质可得答案．
【详解】解：（1）∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令y＝0，
得：x＝3；
令x＝0，得y＝4，
∴A（3，0），B（0，4）．
故答案为：（3，0），（0，4）；
（2）∵点M（x，y）在直线 上，
∴M（x， ）．
∴ （0＜x＜3）；
（3）由（1）得，A（3，0），B（0，4）．
OA＝3，OB＝4．
∴在Rt AOB中，
△AB＝ ＝ ＝5．
∵四边形OADC是菱形，记菱形的对角线的交点为E，
∴AC⊥OD， ．
∴
AB×OE＝OA×OB，
∴5OE＝3×4，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴菱形对角线OD的长为 ．
【点睛】本题考查的是求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形的面积关系，菱形的性质，掌握以上
知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，平面直角坐标系中，矩形 的对角线
，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处， 与 相交于点F，求四边形 的面积；
(3)若点M在直线 上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直
接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ， ；
(2)
(3) ， ，
【分析】（1）含 角直角三角形的性质及勾股定理得 、 的长度，则可得 、 的坐标；（2）由折叠性质得 ， ，可证明 ，则 ，由矩形可知，四边形
是平行四边形；设 ，则 ，在 中，由勾股定理建立方程可求得 的
值，从而可求得结果；
（3）分三种情况考虑：以 为边； 为边， 为对角线；若 为边， 为对角线；分别利
用菱形的性质及相关知识即可求得点 的坐标．
【详解】（1） ， ，
由勾股定理得：
∴ ， ；
（2）由折叠的性质得： ，
四边形 是矩形
四边形 是平行四边形
设 ，则
∵在 中，
∴
解得：
（3）若以 为边，如图
∵F是 中点
由（1）知，∴
设直线 的解析式为
把点 与点 的坐标分别代入得：
解得：
∴直线 解析式
∵四边形 是菱形
∴
∴ 的解析式
设
∴
解得：
∴
若 为边， 为对角线，如图
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴ 是 的垂直平分线
∵四边形 是菱形
∴ 是 的垂直平分线
∴M与D重合，即设
∵ 与 互相平分
∴
∴ ，
∴
若 为边， 为对角线
如图
∵直线 解析式
∴直线与y轴的交点为
∵ ，
∴
∵四边形 是菱形，
∴
∴M是直线 与y轴的交点
∵四边形 是菱形，
∴ ，且
∴
综上所述 ， ，
【点睛】本题考查了一次函数，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平
分线的判定等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是解题的关键．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为 ，它与x轴交
于点B，与y轴交于点A，直线y=-x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度
沿射线CO运动，运动时间为t秒．(1)求△AOC的面积；
(2)设△PAO的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线OC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请
直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)△AOC的面积=3
(2)
(3)存在， ， ， ，
【分析】（1）由y＝ x+3可求得A（0，3），联立y＝﹣x得C（﹣2，2），根据三角形的面积公式即可
得△AOC的面积；
（2）设点P的坐标为（m，﹣m），由题意得CP＝t，根据两点的距离公式可得m＝ t﹣2，根据三角形
的面积公式得出S＝ OA•PE，根据t的取值范围即可求解；
（3）分两种情况：①当OA为菱形的边时，②当OA为菱形的对角线时，分别根据菱形的性质即可求得
答案．
（1）
解：把x=0代入 中，y=3，
∴ 点A的坐标为（0，3），
即OA =3．
联立解得
∴点C的坐标为（-2，2）．
∴△AOC的面积 ；
（2）
解：如图，过点C作CF⊥y轴于点F，过点P作PE⊥y轴于点E．
∵点C的坐标为（-2，2），
∴∠AOC =45°．
∴ ．
由题意，得CP =t．
当 时，
， ，
∴ ．
∴ ；
同理可得当 时，
．
综上，
（3）
解：∵A（0，3），
∴AO＝3，
①当OA为菱形的边时，如图，∵四边形AOMN是菱形，
∴MN∥OA，MN＝OA＝OM＝3，
∵直线OC：y＝﹣x，
∴∠MOB＝45°，
∴M（﹣ ， ），
∴N（﹣ ， +3）；
同理N′（ ，3﹣ ）；
②当OA为菱形边时，如图
此时菱形AMNO是正方形，
∴OA=ON，
点N的坐标为（-3，0）；
③当OA为菱形的对角线时，如图，连接MN，∵四边形AOMN是菱形，
∴MN⊥OA，MN、OA互相平分，
∴MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标为 ，
∵直线OC：y＝﹣x，M是直线OC上一点，
∴M（﹣ ， ），
∴N（ ， ），
综上所述，存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣ ， +3）或
（ ，3﹣ ）或（ ， ）或（-3，0）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，菱形的性质等，
解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．
3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点
的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，直线 交 轴于点 ， 边交 轴于点 ，连接 .
(1)填空：菱形 的边长 _________；
(2)求直线 的解析式；
(3)动点 从点 出发，沿折线 方向以3个单位/秒的速度向终点 匀速运动，设 的面积为，点 的运动时间为 秒，
①当 时，求 与 之间的函数关系式；
②在点 运动过程中，当 ，请直接写出 的值.
【答案】(1)5
(2)
(3)① ；② 或
【分析】（1）在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）①根据S ABC=S AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AB上和在BC上两种情况
讨论，利用三△角形的面△积公式求解．
②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的t的值．
（1）
解： 点 的坐标为 ，
在Rt△AOH中
，
故答案为：5；
（2）
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图像过点A、C，
得 ，
解得 ，
直线AC的解析式为 ，
（3）
由 ，令 ， ，则 ，则 ，①当0<t＜ 时，
BP=BA-AP=5-3t，HM=OH-OM= ，
，
，
②设M到直线BC的距离为h，
S ABC=S AMB+SBMC
，
△ △
，
解得 ，
当 时， ， ，
，
当 时，代入 ，
解得 ，
代入 ，
解得 ，
综上所述 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、勾股定理、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题
的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．【考向三 一次函数与矩形的综合问题】
例题：（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 和
，点C是线段AO上的动点，点D在C的右侧，以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，其中
， ，点C从O出发向终点A运动，速度是每秒1个单位，设运动时间为t秒（ ）．
(1)求直线AB的解析式；
(2)①若点F落在直线AB上，则t的值为 ；
②若直线AB平分矩形CDEF的面积，则t的值为 ；
(3)当线段DE与直线AB有交点时，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)y= x+3；
(2)①t=2；②t= ；
(3)3≤t≤6；
【分析】（1）将A、B点坐标代入一次函数解析式，即可求出直线AB的解析式；
（2）①由DE=2可知F点的纵坐标为2，将y=2代入一次函数解析式即可得到F点的横坐标，就可以求出
此时的t值；②通过C点的运动规律，设出C点坐标（-t，0），可用t来表示D、F、E点的坐标，再根据
AB平分矩形CDEF的面积，可得到CG+DH=2，代入坐标值即可求出t的值；
（3）由线段DE与直线AB有交点可知道最左边的交点是D，最右边的交点是E，算出两个点对应的t值，
就可以求出t的取值范围；
(1)
将A、B点坐标代入一次函数解析式得：
解得 ，
∴直线AB的解析式为y= x+3；
(2)
①∵CF=DE=2，
∴F点的纵坐标为2，又∵F点在直线AB上，
∴y=2代入y= x+3中得x=-2，
∴F（-2,2），
∴OC=2即t=2；
②如图，当直线AB平分矩形CDEF的面积时，直线AB与矩形CDEF的交点分别为G、H，
由题意可知，梯形CDHG与梯形EFGH的面积是相等的，
∴GC=EH，DH=FG，
令C（-t，0），
∴D（-t+1，0），
∴G点坐标为（-t， ），H点坐标为（-t+1， ），
∴CG= ，DH= ，
∴CG+DH=DE=2，
∴ +（ ）=2，
解得t= ；
(3)
线段DE与直线AB有交点，
当交点在点D时，即DE向左平移，D与A点重合，
∴t=6；
当交点在E点时，D（-t+1，0），则E（-t+1， ），
又∵DE=2，
∴ =2，
解得t=3；
综上所述，t的取值范围为3≤t≤6．【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的解析式、性质和图象是解决本题的关键，也是中
考的常考题型．
【变式训练】
【变式训练】
1．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知直线l：y＝ 与直线l：y＝﹣2x+16相交于点C，l、l 分
1 2 1 2
别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l、l 上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点
1 2
B重合．
(1)求△ABC的面积；
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；
(3)若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）
秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范
围．
【答案】(1)36
(2)DE＝4，EF＝8
(3)当0≤t＜3时，S＝− ；当3≤t＜8时，S＝− ；当8≤t≤12时，S＝ t2−8t＋48
【分析】（1）把y＝0代入l 解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x＝0代入l 的解析式求出点B的
1 2
坐标．然后可求出AB的长．联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积．
（2）已知xD＝xB＝8易求D点坐标．又已知yE＝yD＝8可求出E点坐标．故可求出DE，EF的长．
（3）作CM⊥AB于M，证明Rt△RGB∽Rt△CMB利用线段比求出RG＝2t．又知道S＝
S ABC−S BRG−S AFH，根据三角形面积公式可求出S关于t的函数关系式．
（△ 1） △ △
解：由 ＝0，得x＝−4．
∴A点坐标为（−4，0），
由−2x＋16＝0，
得x＝8．
∴B点坐标为（8，0），
∴AB＝8−（−4）＝12，由 ，解得 ，
∴C点的坐标为（5，6），
∴S ABC＝ AB•yC＝ ×12×6＝36．
△
（2）
∵点D在l 上且xD＝xB＝8，
1
∴yD＝ ×8＋ ＝8，
∴D点坐标为（8，8），
又∵点E在l 上且yE＝yD＝8，
2
∴−2xE＋16＝8，
∴xE＝4，
∴E点坐标为（4，8），
∴DE＝8−4＝4，EF＝8．
（3）
①当0≤t＜3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t＝0时，为四边形CHFG）．
过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB，
∴ ，即 ，
∴RG＝2t，
同理Rt△AFH∽Rt△AMC，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴S＝S ABC−S BRG−S AFH＝36− ×t×2t− （8−t）× （8−t），
△ △ △
即S＝− ．
②当3≤t＜8时，如图2所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，由①知，HF＝ （8−t），
∵Rt△AGR∽Rt△AMC，∴ ，即 ，
∴RG＝ （12−t），
∴S＝ （HF＋RG）×FG＝ ×[ （8−t）＋ （12−t）]×4，
即S＝− ；
③当8≤t≤12时，如图3所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR，
由②知，AG＝12−t，RG＝ （12−t），
∴S＝ AG•RG＝ （12−t）× （12−t）即S＝ （12−t）2，
∴S＝ t2−8t＋48．
【点睛】本题属于大综合题目，主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、
三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系，还要善于分解，化整为零，各个击破．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线 分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形
ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．
①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．
②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点 落在线
段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．【答案】（1）A（6，0），B（0，8）；（2）①4；② 或
【分析】（1）分别令 中x=0、y=0，求出与之对应的y、x值，由此即可得出点A，点B的坐标；
（2）由题意证 ，得出AF＝AD，设BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，即可求出线段
AE的长度； 在线段AB上时：（考虑以F为圆心的圆与AB相交的情况），分情况讨论即可．
【详解】（1）令 中x=0，则y=8，
；
令 中y=0，则x=6，
；
（2）①由BE＝BG，
，
，
∠BDA＝∠BFE＝∠BFG＝∠AFD，可得：AF＝AD，
，
，
又 AB∶BC＝2∶1，
，
，
设BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，
在Rt AEF中： ，
可得△x＝6，AE＝4；
②当 在BD上时，
当P与A重合时，AE最长，即 时，AE最长，
，
，
，
，
，
，
当 时，可把 翻折到BD上；
当 在线段AB上时：
当DP＝ P时， 与A重合，
PF为AD中垂线，PF为 中位线，
AE＝5，
（若此时E再上移，以F为圆心，FD为半径作圆，与AB不会有交点，所以 ）；
当FE＝FD时： 与 E重合，
设 则 ，，
由 ，得： ，
，
，即 ，
当 在AB上时， ．
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是理
解题意，熟练掌握相关性质．
【考向四 一次函数与正方形的综合问题】
例题：（2022·辽宁大连·统考一模）平面直角坐标系中，直线l与y轴，x轴分别交于点 和点 ，
点C在直线l上且不与A，B重合，过点O，B，C的抛物线解析式为 ．
(1)求直线l的解析式；
(2)当抛物线在△AOB内部的图象从左到右上升时，求a的取值范围；
(3)以OC为边，向射线OC右侧作正方形OCDE，正方形OCDE的面积为 ，正方形OCDE在第一象限内
的面积为 ，当 时，求抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据待定系数法代入求解即可；
（2）根据抛物线 经过点 ，和对称轴求得抛物线与直线AB的交点坐标N（2，2），然后分a>0和a<0两种情况分析求解；
（3）作 轴于点G．当点C在第一象限时，先证得 得 ，设 ，则
，由点C在直线AB上，可求点C的坐标为 ．抛物线经过点C，可求抛物线的解析式；当
点C在第三象限时，同样方法可求．
（1）
解：设直线l的解析式为 ，
因为直线l与y轴，x轴分别交于点 和点 ，
∴可列方程组 解方程组，得 ．
∴直线l的解析式为 ．
（2）
解：抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴抛物线的解析式为 ．
配方得 ．则抛物线顶点M的坐标为 ．
抛物线的对称轴与直线AB交于点N，则当 时， ，
∴点
当 时，如图1，点M在点N上方或点N重合时，抛物线在△AOB内部的图象从左到右上升．
此时 ，解得 ．当 时，点M在x轴下方，抛物线在△AOB内部无图象．
综上述，当 时，抛物线在△AOB的内部的图象从左到右上升．
（3）
解：作 轴于点G．
如图2，当点C在第一象限时，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵四边形OCDE是正方形，
∴ ， ．
∵ 轴于点G，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，∴ ．
设 ，则 ，
∴点C的坐标为 ．
∵点C在直线AB上，
∴ ，解得 ．
∴点C的坐标为 ．
抛物线经过点C，则 ，
解得 ．
则此时抛物线的解析式为 ．
如图3，当点C在第三象限时，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∵四边形OCDE是正方形，
∴ ， ．
∵ 轴，
∴ ．又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴点C的坐标为 ．
∵点C在直线AB上，
∴ ，
解得 ．
∴点C的坐标为
抛物线经过点C，则 ，
解得 ．
则此时抛物线的解析式为 ．
综上述，抛物线的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的
关键是根据题意，画出图形，分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）
(1)【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形 的对角
线 长为 ，则正方形 的周长为______，面积为______（都用含 的代数式表示）．
(2)【拓展·综合】如图1，若点 、 是某个正方形的两个对角顶点，则称 、 互为“正方形关联点”，
这个正方形被称为 、 的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系 中，点 是原点 的“正方形关联点”．若 ，则 、 的“关联正方形”
的周长是______；若点 在直线 上，则 、 的“关联正方形”面积的最小值是______．5．②如图2，已知点 ，点 在直线 上，正方形 是 、 的“关联正方形”，
顶点 、 到直线 的距离分别记为 和 ，求 的最小值．
【答案】(1) a； ；
(2) ； ；
(3) ．
【分析】（１）根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可求得边与对角线之间的关系，从而求解．
（２）
①先根据两点间的距离公式求出OP的长度即为对角线的长度，再利用上题的结论进行正确计算即可．
②分别过点P、Q作l的垂线，构造出两个全等的三角形，把两点到直线的距离转移到同一个直角三角形中，
再根据“垂线段最短”得出当AB⊥l时，AB最短，当AB最短时，BP最短，BP2= ，再根据同一直角
坐标系中互相垂直的两条直线斜率乘积得-1求出直线AB的解析式，再求出直线AB与直线
的交点坐标，然后求出两点距离，再除以2即可．
【详解】（1）【答题空1-1】
如图所示，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴AB=BC=CD=AD= = ，
∴正方形ABCD的周长为： ，
故答案为： ；
【答题空1-2】
∵AB=BC=CD=AD= = ，∴面积为： ，
故答案为： ；
（2）【答题空2-1】
∵ ，
∴OP= ，
∴由上题可知，此时的周长为 ，
故答案为： ；
【答题空2-2】
若点 在直线 上，
由“垂线段最短可知，
当OP垂直于直线 时，OP最短，
此时 、 的“关联正方形”的面积最小，
此时P( ， )，OP= ，
∴ 、 的“关联正方形”的面积最小值为 ，
故答案为： ；
（3）如图，过点P作PM⊥l于M，过点Q作QN⊥l于N，
∴∠PMB=∠QNB=90°，
∵∠MPB+∠PBM=90°，∠PBM+∠QBN=90°，
∴∠MPB=∠QBN，
∵PB=QB，
∴△BPM≌△QBN(AAS)，
∴BM=QN，
即PM=a，BM=b，
在Rt△BPM中，BP2=BP2+BM2= ，
在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2=2BP2，
∴当AB最小时，BP最小， 最小，
设直线AB为 ，
∵AB⊥l，∴k= ，将点 代入，可得 ，
联立，得： ，解得， ，
此时两直线交点B为 ， ，AB2= ，
∴BP2= ，
即 = ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及一次函数的性质、勾股定理．熟练运用这些知识点构建相对应的数
学模型是正确解题的关键．
【考向五 一次函数与圆的综合问题】
例题：（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 分别与x轴，y
轴相交于A、B两点，点 为直线 在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；
（2）设 的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作 的外接圆 ，延长PC交 于点Q，当 的面积最小时，求 的半径．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2） ，-8＜ ＜0；（3）4．
【分析】（1）根据一次函数的图像与性质即可求出A、B两点的坐标；
（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；
（3）根据圆周角性质可得 ， ．由等角的三角函数关系可推出
，再根据三角形面积公式得 ，由此
得结论当 最小时， 的面积最小，最后利用圆的性质可得 有最小值，且 为 的直径，进而
求得结果．
【详解】解：（1）当 时， ，解得 ，
∴A（-8，0）．
当 时， ，
∴B（0，4）．
（2）∵A（-8,0），
∴ ．
点P在直线 上，
∴ ，
∴ ．
∵点P在第二象限，
∴ ＞0，且 ＜0．
解得-8＜ ＜0；
（3）∵B（0，4），
∴ ．
∵ 为 的外接圆，
∴ ， ．
∴ ．
设 ，则 ．∴ ．
∴当 最小时， 的面积最小．
∴当 时， 有最小值，且 为 的直径．
∴ ．
即 的半径为4．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数
的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·宁夏吴忠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于 、
两点，点 与点 关于 轴对称，点 为线段 上一动点（不与 、 重合）， 的延长线与 交于
点 ，过 、 、 三点的圆与 轴交于点 ．
(1)求 、 、 三点的坐标；
(2)求证： ；
(3)若 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
【分析】 利用直线 可求得 、 的坐标，再利用对称可求得 点坐标；
连接 ，由△OEA≌△OEC和圆内接四边形对角互补的性质可证得 ∽ ，利用相似三角形
的性质可证得结论；
利用 中三角形相似，结合条件可求得 ，在 中，利用三角函数定义可求得
的长，则可求得 点的坐标．
（1）
解：在 中，令 可得 ，令 可得 ，， ，
点 与 关于 轴对称， ；
（2）
解：连接 ，由 可知 ，
在 和 中
≌ ， ，
， ，
四边形 内接于圆，∴∠ADE+∠AFE=180°，
∵∠ADE+∠BDE=180°， ，
∽ ，
，
；
（3）
解：∵△BED∽△AEF， ，
， ， ，
， ，
，
，
，
， ， ．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质及解直角三角形等知识．在 中注意直线与坐标轴交点的求法，
在 中证得 ∽ 是解题的关键，在 中求得 是解题的关键．本题考查知识点
较多，综合性较强，难度较大．
2．（2022·浙江温州·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，
以 为直径的圆交y轴于点C，D为圆上一点， ，直线 交x轴于点E，交y轴于点F，连结
．
(1)求 的值和直线 的函数表达式．
(2)求点D，E的坐标．
(3)动点P，Q分别在线段 ， 上，连结 ．若 ，当 与 的一边平行时，求所有满足
条件的 的长．
【答案】(1) ，y＝﹣2x+8；
(2)D（﹣ ， ），E（7，0）；
(3) 或 或
【分析】（1）根据圆周角定理及三角函数得tan∠ABC＝ ，然后利用待定系数法可得答案；
（2）过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，连接AC，根据圆周角定理及三角函数得CF＝ ，
， ，设FM＝x，则DM＝2，BM＝4x，利用平行线的性质及点的坐标的性质可得答案；
（3）分三种情况：当PQ∥BD时，如图，延长PQ交DE于G，过A作AN∥PQ交OE于点N，过点A作
AM⊥x轴于点M；当PQ∥DA时；当PQ AB时，延长BA交x轴于点N，分别根据三角函数、勾股定理、
相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥y轴，
∴AC＝xA＝3，OC＝yA＝2，∴BC＝yB﹣OC＝8﹣2＝6，
∴tan∠ABC＝ ，
∵A（3，2），B（0，8），
设lAB：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣2x+8，
∴tan∠ABC＝ ，lAB：y＝﹣2x+8；
（2）解：如图，过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，连接AC，
∵ ，
∴∠DBC＝∠ABC，
∴tan∠DBM＝tan∠ABC＝ ，
∵∠DBC＝∠DAC，∠ACF＝90°，
∴ ，
∴CF＝ ， ， ，，
设FM＝x，则DM＝2，BM＝4x，∵BC＝BM+MF+CF＝4x+x+ ＝5x+ ＝6，
∴x＝ ，
∴DM＝ ，
∴OM＝OC+CF+DM＝2+ ＋ ＝ ，
∴D（﹣ ， ），
∵AC⊥x轴，OE⊥y轴，
∴AC OE，
∴∠FAC＝∠FEO，
∴∠FEO＝ ，
∵OF＝2+ ＝ ，
∴OE＝7，
∴E（7，0），
∴D（﹣ ， ），E（7，0）；
（3）解：当PQ∥BD时，如图，延长PQ交DE于G，过A作AN∥PQ交OE于点N，过点A作AM⊥x轴于
点M，
∵BD∥PQ，
∴BD∥AN，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAN=∠NAE=90°，
∴∠ANE=∠OFE，
∴∠NAM=∠OEF，
∴△NAM∽△FEO，
∴AM：OE=NM：OF=AN：EF，∴NM=1，AN= ，
∴ON=2，
∵PQ∥AN，
∴OP：ON=PQ：AN，即OP：2=2： ，
∴OP＝ ；
当PQ DA时，如图3，
∵AC OE，
∴△FCA∽△FOE，
∴ ，
∵FE2=OF2+OE2，
∴ ，
∴FE＝ ，
∴FA＝ ，
∴AE＝FE﹣FA＝ ，
∵PQ AE，
∴△OQP∽△OAE，
∴∵ ，
∴OP＝ ；
当PQ AB时，如图，延长BA交x轴于点N，∵lAB：y＝﹣2x+8，令y＝0，
∴x＝4，
∴ON＝4，
∵OB＝8，
∴BN＝ ，
∵AB＝ ，
∴AN＝BN﹣AB＝ ，
∵PQ BN，
∴△OPQ∽△ONA，
∴ ，
∴OP＝ ，
综上，OP＝ 或 或 ．
【点睛】此题考查的是圆的有关性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解三角形、平行线的性质、
待定系数法求解析式等知识，正确作出辅助线，进行分类讨论是解决此题的关键．
