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专题 15 一次函数与几何图形综合问题
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目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 一次函数与三角形的综合问题】....................................................................................................1
【考向二 一次函数与菱形的综合问题】......................................................................................................11
【考向三 一次函数与矩形的综合问题】......................................................................................................22
【考向四 一次函数与正方形的综合问题】..................................................................................................30
【考向五 一次函数与圆的综合问题】..........................................................................................................37
【直击中考】
【考向一 一次函数与三角形的综合问题】
例题：（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线 分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线
段 上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作 ，射线 交线段 于点D，将射线
绕点O顺时针旋转 交射线 于点E，连接 ．
(1)证明： ；（用图1）
(2)当 为直角三角形时，求 的长度；（用图2）
(3)点A关于射线 的对称点为F，求 的最小值．（用图3）
【变式训练】1．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，已知一次函数 的图像与 轴交于点
，与 轴交于点 ，以线段 为边在第一象限内作等腰直角三角形 ， ．
(1)求 的值，以及点 的坐标；
(2)求过 ， 两点的直线解析式．
2．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y=kx+3与x
轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
(1)求k的值及 AOB的面积；
(2)点C在x轴上，若 ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；
△
(3)点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当 PBM的面积与 AOB的面积相等时，求
△
点P的坐标．
△ △
3．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）探究与应用：在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模块”化.例如在相似三角形中，“K”字形是非常重要的基本图形 .
(1)如图①，已知：∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，求证：△ABC∽△DCE；
(2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点A（－2，1），点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，则此时点B的坐标为
；
②如图③，过点A（－2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C，D，求点A关于直线CD
的对称点E的坐标.
【考向二 一次函数与菱形的综合问题】
例题：（2022春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知直线y＝﹣
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图①，若点M（x，y）在线段AB上运动（不与端点A、B重合），连接OM，设 的面积为
S，写出S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图②，点C在直线AB上，若四边形OADC是菱形，求菱形对角线OD的长．【变式训练】
1．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，平面直角坐标系中，矩形 的对角线
，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处， 与 相交于点F，求四边形 的面积；
(3)若点M在直线 上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直
接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为 ，它与x轴交
于点B，与y轴交于点A，直线y=-x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度
沿射线CO运动，运动时间为t秒．
(1)求△AOC的面积；
(2)设△PAO的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线OC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点
的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，直线 交 轴于点 ， 边交 轴于点 ，连接 .
(1)填空：菱形 的边长 _________；
(2)求直线 的解析式；
(3)动点 从点 出发，沿折线 方向以3个单位/秒的速度向终点 匀速运动，设 的面积为
，点 的运动时间为 秒，
①当 时，求 与 之间的函数关系式；
②在点 运动过程中，当 ，请直接写出 的值.
【考向三 一次函数与矩形的综合问题】
例题：（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 和
，点C是线段AO上的动点，点D在C的右侧，以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，其中
， ，点C从O出发向终点A运动，速度是每秒1个单位，设运动时间为t秒（ ）．(1)求直线AB的解析式；
(2)①若点F落在直线AB上，则t的值为 ；
②若直线AB平分矩形CDEF的面积，则t的值为 ；
(3)当线段DE与直线AB有交点时，请直接写出t的取值范围．
【变式训练】
1．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知直线l：y＝ 与直线l：y＝﹣2x+16相交于点C，l、l 分
1 2 1 2
别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l、l 上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点
1 2
B重合．
(1)求△ABC的面积；
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；
(3)若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）
秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范
围．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线 分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形
ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．
①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．
②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点 落在线
段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．
【考向四 一次函数与正方形的综合问题】
例题：（2022·辽宁大连·统考一模）平面直角坐标系中，直线l与y轴，x轴分别交于点 和点 ，
点C在直线l上且不与A，B重合，过点O，B，C的抛物线解析式为 ．
(1)求直线l的解析式；(2)当抛物线在△AOB内部的图象从左到右上升时，求a的取值范围；
(3)以OC为边，向射线OC右侧作正方形OCDE，正方形OCDE的面积为 ，正方形OCDE在第一象限内
的面积为 ，当 时，求抛物线的解析式．
【变式训练】
1．（2023秋·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）
(1)【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形 的对角
线 长为 ，则正方形 的周长为______，面积为______（都用含 的代数式表示）．
(2)【拓展·综合】如图1，若点 、 是某个正方形的两个对角顶点，则称 、 互为“正方形关联点”，
这个正方形被称为 、 的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系 中，点 是原点 的“正方形关联点”．若 ，则 、 的“关联正方形”
的周长是______；若点 在直线 上，则 、 的“关联正方形”面积的最小值是______．
5．②如图2，已知点 ，点 在直线 上，正方形 是 、 的“关联正方形”，
顶点 、 到直线 的距离分别记为 和 ，求 的最小值．
【考向五 一次函数与圆的综合问题】例题：（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 分别与x轴，y
轴相交于A、B两点，点 为直线 在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设 的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作 的外接圆 ，延长PC交 于点Q，当 的面积最小时，求 的半径．
【变式训练】
1．（2021·宁夏吴忠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于 、
两点，点 与点 关于 轴对称，点 为线段 上一动点（不与 、 重合）， 的延长线与 交于
点 ，过 、 、 三点的圆与 轴交于点 ．
(1)求 、 、 三点的坐标；
(2)求证： ；(3)若 ，求点 的坐标．
2．（2022·浙江温州·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，
以 为直径的圆交y轴于点C，D为圆上一点， ，直线 交x轴于点E，交y轴于点F，连结
．
(1)求 的值和直线 的函数表达式．
(2)求点D，E的坐标．
(3)动点P，Q分别在线段 ， 上，连结 ．若 ，当 与 的一边平行时，求所有满足
条件的 的长．
