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专题14 直角三角形、等腰三角形、等边三角形
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是
A．5，12，13 B．9，40，41 C．3，4，5 D．2，3，4
2．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个
三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
3．（2022·黑龙江大庆）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
4．（2022·广西梧州）如图，在 中， 是 的角平分线，过点D分别作
，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖北鄂州）如图，直线l l，点C、A分别在l、l 上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交
1 2 1 2
l 于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
1A．10° B．15° C．20° D．30°
6．（2021·辽宁九年级一模）如图， 是等边三角形， 是 边上的中线，点 在 上，且
，则 （ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
7．（2021·广东九年级一模）如图，在 中， ， 是角平分线， 是中线，则 的长
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，连接OA、OB、OC，并以OC为一边向外作等边三角形OCD，
连接AD．若∠AOB=110°， ∠BOC=150°，则∠OAD的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7 B．9 C．16 D．25
10．（2022·黑龙江）如图， 中， ，AD平分 与BC相交于点D，点E是AB的中点，
点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若 的面积是24， ，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图，点C所表示的数是（ ）
12．（2022·湖南岳阳）如图，在 中， ， 于点 ，若 ，则 ______．
13．已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部
分长2，则三角形的腰长是 ．
14．（2022·湖南永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的
证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正
方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 ______．15．如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ，
， ， ，则 的长为______．
16．（2022·辽宁锦州）如图，在 中， ，点D为 的中点，将 绕点D
逆时针旋转得到 ，当点A的对应点 落在边 上时，点 在 的延长线上，连接 ，若
，则 的面积是____________．
三、简答题（共46分）
17．（7分）如图，点D是 内部的一点， ，过点D作 ， ，垂足分别
为E、F，且
求证： 为等腰三角形．18．（7分）（2022·四川自贡·中考真题）如图，△ 是等边三角形， 在直线 上， ．
求证： ．
19．（8分）（2022·浙江温州·中考真题）如图， 是 的角平分线， ，交 于点E．
（1）求证： ．
（2）当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．20．（12分）已知： ， ， ， ．
（1）试猜想线段 与 的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将 沿 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
（3）若将 沿 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
21．（12分）（2021·重庆）在等边 中， ， ，垂足为D，点E为AB边上一点，
点F为直线BD上一点，连接EF．图1 图2 图3
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证： ；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且 ，点F从BD中点
Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当 最小时，直接
写出 的面积．
