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期末复习(三) 变量之间的关系
01 知识结构
本章知识是学习函数的基础，要求掌握表示变量之间关系的三种方法，学会分析变量之间的关系，并能进行简单的预
测．
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02 典例精讲
【例1】 下面的表格列出了一个试验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，下面
能表示这种关系的式子是(C)
d 50 80 100 150
b 25 40 50 75
A．b＝d2 B．b＝2d
C．b＝ D．b＝d＋25
【思路点拨】 这是一个用图表表示的关系，可以看出d是b的2倍，即可得关系式．
【方法归纳】 利用表格表示两个变量之间关系，其对应值清晰明了，但它们之间的关系不够明朗，要结合数据加以
分析才能发现潜在的规律．从表示自变量与因变量的表格中辨识自变量与因变量，一般第一栏为自变量，第二栏为因
变量．
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【例2】 下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序(D)
①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系)；②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的
关系)；③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系)；④一杯越来越凉的水(水温与时间的关
系)．
2·1·c·n·j·y
A．①②④③ B．③④②①
C．①④②③ D．③②④①
【思路点拨】 观察图象的走势，并与实际情景相联系是解决此题的关键．
【方法归纳】 解决此类题重在观察图象并对图象上的数量关系和走势进行分析，抓住图象的转折点，这些转折点往
往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．
2-1-c-n-j-y
【例3】 如图所示，圆柱的高为10 cm，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化．
(1)在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量；
(2)请你求出圆柱的体积V(cm3)与圆柱的底面半径R(cm)之间的关系式；
(3)R的值能为负值吗？为什么？
(4)当圆柱的底面半径从2 cm变化到5 cm时，圆柱的体积变化了多少？(最后结果保留π)
【思路点拨】 (1)题目中有两个变量，主动变化的量是圆柱的底面半径，随之变化的是圆柱的体积；在(2)中，根据圆
柱的体积＝底面积×高即可求出V与R之间的关系式；由于R为圆柱的底面半径，所以(3)中R不能为负值；在(4)中，
分别求出R＝2 cm和R＝5 cm时圆柱的体积，其差值即为体积的变化量．
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【解答】 (2)因为圆柱的体积＝底面积×高，所以V＝πR2×10＝10πR2.
(3)因为R为圆柱的底面半径，所以R>0，因此R不能为负值．
(4)因为10πR－10πR＝10π·52－10π·22＝10π·(52－22)＝210π，所以圆柱体积增加了210π cm3.
【方法归纳】 当变量之间的关系以图形形式表示时，可根据图形特点寻找有关变量的等量关系．然后根据等量关系
列出关系式．值得注意的是，为使实际问题有意义，在求出变量之间的关系式后，要根据具体的题目要求，确定自变
量的取值范围．
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03 整合集训
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．小亮以每小时8千米的速度匀速行走时，所走路程s(千米)随时间t(小时)的增大而增大，则下列说法正确的是
(C)
A．8和s，t都是变量 B．8和t都是变量
C．s和t都是变量 D．8和s都是变量
2．已知三角形ABC的面积为2 cm2，则它的底边a(cm)与底边上的高h(cm)之间的关系为(D)
A．a＝4h B．h＝4a
C．a＝ D．a＝
3．对关系式的描述，不正确的是(D)
A．x看作自变量时，y就是因变量
B．x，y之间的关系也可以用表格表示
C．x在非负数范围内，y的最大值为2
D．当y＝0时，x的值为－2
4．如图所示y＝2－x是某市某天的气温随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(C)
A．这天15时气温最高
B．这天3时气温最低
C．这天最高气温与最低气温的差是13℃
D．这天有两个时刻气温是30℃
5．2017年1月4日上午，小华同学接到通知，他的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文
稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加
快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的
大致图象是(C)
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6．已知某山区平均气温与该山区海拔高度的关系如下表所示：
海拔高度/m … 0 100 200 300 400 …
平均气温/℃ … 22 21.5 21 a 20 …
则表中a的值为(B)
A．21.5 B．20.5 C．21 D．19.5
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7．一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流
的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示
浮子的高度，则用来表示变量y与x之间关系的选项是(B)
【来源：21·世纪·教育·网】8．(衡阳中考)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图
描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分钟)之间的关系，根据图象，下列信息错误的是
(A)
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A．小明看报用时8分钟
B．公共阅报栏距小明家200米
C．小明离家最远的距离为400米
D．小明从出发到回家共用时16分钟
9．贝贝利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
那么，当输入数据8时，输出的数据是(C)
A. B. C. D.
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10．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过
时间为t，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则变量S与t的大致图象为(A)
【出处：21教育名师】
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．圆的周长C与圆的半径r之间的关系式为C＝2πr，其中常量是 2 ， π .
12．一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关
系式是 h ＝ 2 0 － 4 t.
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13．如图是某个计算y值的程序，若输入x的值是，则输出的y值是.
14．(义乌中考)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的图象，则
小明回家的速度是每分钟步行80 米．
15．下面由小木棒拼出的系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，请写出第n个图形中小木棒的根数S与n的关
系式 S ＝ 3 n ＋ 1．三、解答题(共50分)
16．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y(元)与印
刷数量x(张)之间关系如表：
印刷数量x(张) … 100 200 300 400 …
收费y(元) … 15 30 45 60 …
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)从上表可知：收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而增大；
(3)若要印制1 000张宣传单，收费多少元？
解：(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系，印刷数量是自变量，收费是因变量．
(3)由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，所以每张的价格是0.15元．
所以收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系式为y＝0.15x.
当x＝1 000时，y＝0.15×1 000＝150(元)．
故要印制1 000张宣传单，收费150元．
17．(10分)青春期男、女生身高变化情况不尽相同，下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况．
(1)上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？
(2)A，B两点表示什么？
(3)小蕊10岁时身高多少？17岁时呢？
(4)比较小军和小蕊青春期的身高情况有何相同与不同．
解：(1)反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高．
(2)A点表示小军和小蕊在11岁时身高都是140厘米，B点表示小军和小蕊在14岁时身高都是155厘米．
(3)小蕊10岁时身高130厘米，17岁时身高160厘米．
(4)相同点：进入青春期，两人随年龄的增长而快速长高，并且在11岁和14岁时两人的身高相同；
不同点：11岁至14岁间小蕊的身高变化比小军的快些，14岁后小军的身高变化比小蕊的快些．
18．(10分)如图所示，在△ABC中，底边BC＝8 cm，高AD＝6 cm，E为AD上一动点，当点E从点D沿DA向点A运动时，
△BEC的面积发生了变化．
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(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
(2)若设DE长为x(cm)，△BEC的面积为y(cm2)，求y与x之间的关系式．
解：(1)ED长度是自变量，△BEC的面积是因变量．
(2)y与x的关系式为y＝4x.
19．(10分)新成药业集团研究开发了一种新药，在试验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血
液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示．当儿童按规定剂量服药后：
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(1)何时血液中含药量最高？是多少微克？
(2)A点表示什么意义？
(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？
解：(1)服药后2小时血液中含药量最高，最高是4微克．
(2)A点表示血液中含药量为0.
(3)有效期为5小时．
20．(10分)如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆
AB的长为x m，菜园的面积为y m2.
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(1)试写出y与x之间的关系式；
(2)当AB的长分别为10 m和20 m时，菜园的面积各是多少？
解：(1)因为与墙平行的篱笆AB的长为x m，
所以长方形的另一边长为 m，
则长方形的面积为·x m2.
所以y与x之间的关系式为：
y＝·x＝－x2＋30x.
(2)当x＝10时，
y＝－×102＋30×10＝250(m2)；
当x＝20时，
y＝－×202＋30×20＝400(m2)．
21．(12分)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x(h)，两车之
间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象解答下列问题：
(1)甲、乙两地之间的距离为900km；
(2)请解释图中点B的实际意义；
(3)求慢车和快车的速度．
解：(2)图中点B的实际意义是：当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇．
(3)由图象可知，慢车12 h行驶的路程为900 km，
所以慢车的速度为＝75(km/h)．
当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为 900 km，所以慢车和快车行驶的速度之和为＝
225(km/h)，所以快车的速度为225－75＝150(km/h).
