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四川省成都市双流区 2019-2020 学年度上期期末学生学
业质量监测七年级数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数
若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则
1.
-3℃表示气温为( )
A. 零上3℃ B. 零下3℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃
【答案】B
【解析】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，
直接得出结论即可．
此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为
正，则和它意义相反的就为负．
从左面观察如图所示的几何体，所看到的几何体的形状图是( )
2.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：该几何体的左视图为
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1 15故选：A．
根据从正左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正左面看得到的图形是左视图．
2018年以来，我区乡村振兴工作按照《双流区大力实施乡村振兴战略“十大重
点工程”和“五项重点改革”行动方案》有序推进.据了解，我区梳理重大项目
3.
55个，计划总投资86亿元，助推乡村振兴战略在双流落地开花
用科学记数法表示86亿元为( )
A. 86×108元 B. 8.6×108元 C. 8.6×109元 D. 0.86×1010元
【答案】C
【解析】解：用科学记数法表示86亿元为8.6×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当
原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
调查下面的问题，最适合采用抽样调查方式的是( )
A. 了解一沓钞票中有没有假钞
4.
B. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命
C. 了解某校教师的年龄结构
D. 了解你们班同学周末时间是如何安排的
【答案】B
【解析】解：A、了解一沓钞票中有没有假钞，必须普查，故A不符合题意；
B、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，调查范围广适合抽样调查，故B符合题意；
C、了解某校教师的年龄结构，适合普查，故C不符合题意；
D、了解你们班同学周末时间是如何安排的，适合普查，故D不符合题意；
故选：B．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的
调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对
象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用
普查．
七年级1班有女生m人，女生占全班人数的40%，则全班人数是( )
m m
5. A. B. 40%m C. D. (1-40%)m
40% 1-40%
【答案】A
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2 15【解析】解：∵七年级1班有女生m人，女生占全班人数的40%，
m
∴全班人数是 ．
40%
故选：A．
根据全班人数=女生人数÷女生所占百分比即可列式求解．
本题考查了列代数式，列代数式时，要注意语句中的关键字，根据题意找出数据之间
的联系，并准确的用代数式表示出来．
下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
6.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以B、D选项错
误；
当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以C选项错误，A选项正确．
故选：A．
利用棱柱的展开图中两底面的位置对B、D进行判断；根据侧面的个数与底面多边形
的边数相同对A、C进行判断．
本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解
和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否
折叠成给定的立体图形．
下列说法中正确的是( )
A. -a表示负数；
7.
B. 若|x|=x，则x为正数
2x y2
C. 单项式- 的系数为-2
9
D. 多项式-3a2b+7a2b2-2ab+1的次数是4
【答案】D
【解析】解：A、-a不一定表示负数，若a=0，错误；
B、若|x|=x，则x为非负数，错误；
2x y2 2
C、单项式- 的系数为- ，错误；
9 9
D、多项式-3a2b+7a2b2-2ab+1的次数是4，正确；
故选：D．
根据有理数、单项式和多项式的概念解答即可．
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3 15此题考查单项式和多项式问题，关键是根据有理数、单项式和多项式的概念解答．
如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为(
)
8.
A. 90∘
B. 105∘
C. 120∘
D. 135∘
【答案】B
【解析】解：3×30∘+15∘=105∘．
∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105度．
故选：B．
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30∘，钟表上9点30分，时针指向9，
分针指向6，两者之间相隔3.5个数字．
本题考查钟表分针所转过的角度计算.在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关
1
系：分针每转动1∘时针转动( )∘ ，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的
12
图形．
1+△x
小明在解一道方程的题： +1=x，他发现“△”处在印刷时被油墨盖住了，
3
9. 查后面的答案知这个方程的解是x=-4，那么△处应该是数字( )
A. 7 B. 5 C. -4 D. 4
【答案】D
【解析】解：设△=a，把方程去分母得：1+ax+3=3x，3x-ax=4
把x=-4代入方程得：3×(-4)-(-4)a=4，
解得a=4．
故选：D．
要想求x=-4时△处的数的值，思维的出发点是直接把x的值代入方程，这就转化为
解关于△的一元一次方程了，解方程即可．
本题求△的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知
数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，
这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大
量用到这种方法．
如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点.
点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距
10.
离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有( )
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4 15A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
【答案】C
【解析】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA
∴发出警报的可能最多有6个
故选：C．
点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线
段中点.而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多六次．
本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题
最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）
3的倒数是______．
1
1【1答. 案】
3
1
【解析】解：3的倒数是 ．
3
1
故答案为： ．
3
根据倒数的定义可知．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握.需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
若单项式6amb2与-5abn是同类项，则m-n=______．
【答案】-1
12.
【解析】解：∵单项式6amb2与-5abn是同类项，
∴m=1，n=2，
则m-n=1-2=-1．
故答案为：-1．
直接利用同类项的定义得出m，n的值，进而得出答案．
此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合
于点O，则∠AOB+∠DOC=______度.
13.
【答案】180
【解析】解：如右图所示，
∵∠AOD+∠COD=90∘，
∠COD+∠BOC=90∘，
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5 15∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，
∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180∘，
∴∠AOD+2∠COD+∠BOC=180∘，
∴∠AOB+∠COD=180∘．
故答案是180．
先利用∠AOD+∠COD=90∘，∠COD+∠BOC=90∘，可得
∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180∘，而∠BOD=∠COD+∠BOC，
∠AOD+∠BOD=∠AOB，于是有∠AOB+∠COD=180∘．
本题考查了角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．
如图，已知线段AB=7cm，延长线段AB到C，使
BC=2AB，点D是AC的中点，则线段BD的长为______．
14.
【答案】4.5
【解析】解：∵AB=4，BC=2AB，
∴BC=2×7=14．
∵AC=AB+BC，
∴AC=7+14=21，
∵点D是AC的中点，
1
∴AD= AC=11.5．
2
∴BD=AD-AB=4.5，
故答案为：4.5．
根据线段中点的定义先求得AD的长度，然后根据BD=AD-AB求解即可．
本题主要考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图中相关线段之间的和差
关系是解题的关键．
5 12
已知(a+3) 2+|b- |=0，则代数式2a+ b的值是______．
6 5
1【5答. 案】-4
5
【解析】解：由题意可得：a+3=0，b- =0，
6
5
解得：a=-3，b= ，
6
5 12 12 5
把a=-3，b= 代入2a+ b=2×(-3)+ × =-6+2=-4，
6 5 5 6
故答案为：-4．
根据非负数的性质列出算式求出a、b的值，代入代数式计算即可．
本题考查的是非负数的性质和代数式求值问题，掌握当几个非负数相加和为0时，则
其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
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6 15已知一种运算满足：x※y=2xy+1；x★y=x+2y-1，例如：
2※3=2×2×3+1=13；2★3=2+2×3-1=7.若a※(4★5)的值为-51，
16.
则a的值为______．
【答案】-2
【解析】解：根据题意得：
4★5=4+2×5-1=13，
a※(4★5)=a※13=2a×13+1=-51，
即26a+1=-51，
解得：a=-2，
故答案为：-2．
根据“x※y=2xy+1；x★y=x+2y-1”，求出4★5的值，再代入
a※(4★5)中，得到关于a的一元一次方程，解之即可．
本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，正确掌握解一元一次方程的方法和
有理数混合运算的顺序是解题的关键．
11
如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示-2的点与表示5的点重合，则
4
17. 表示的点与______表示的点重合．
1
【答案】
4
【解析】解：5-(-2)=7，
7
7÷2= ，
2
7 3
5- = ，
2 2
11 3 5 11 3 5
- = ，即点 在中点 右边 个单位，
4 2 4 4 2 4
11 3 5 3 5 1
故与 的重合点在中点 左边 个单位，表示数字， - = ，
4 2 4 2 4 4
1
故答案为： ．
4
11
先在数轴上确定点-2和点5的中点，根据重合两点到该中点的距离相等来确定与 的
4
重合点．
本题考查数轴的相关知识.确定点-2与点5之间的中点是解题关键．
已知a<0<c，ab>0，|b|>|c|>|a|，化简|a-c|-|a-b|+|b+c|=
______．
18.
【答案】-2a
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7 15【解析】解：∵a<0<c，ab>0，
∴b<0，
∵|b|>|c|>|a|，
即b、c、a到原点的距离依次减小，
∴b<a<0<c，
∴a-c<0，b+c<0，a-b>0，
∴原式=-a+c-(b+c)-(a-b)=-2a，
故答案为：-2a
根据条件判断a-c、b+c，a-b与0的大小关系．
本题考查有理数的乘法，绝对值的性质，解题关键是根据已知的条件判断出
b<a<0<c，然后根据绝对值的性质化简即可．
有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，
所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一
19.
次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，
-1，9，8，继续依次操作下去.则数串a，b，c进行第2019次操作后所得的新数
串中各数的和是______.(用含a，b，c的式子表示)
【答案】2020c+b-2018a
【解析】解：每进行一次操作，这些数的和就会在a+b+c的基础上增加一个c-a，进
行第2019次操作后所得的新数串中各数的和是
a+b+c+2019(c-a)=2020c+b-2018a．
故答案为2020c+b-2018a．
分析发现，每进行一次操作，这些数的和就会在a+b+c的基础上增加一个c-a，由此
可得结果．
此题主要考查规律求和，发现其规则并进行巧妙运算是解题的关键．
三、计算题（本大题共3小题，共28.0分）
在某中学开展的阳光体育活动中，学校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，
B：篮球，C：跑步，D：跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目，随机
20.
抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图.
请你结合图中信息解答下列问题：
(1)样本中喜欢B项目的人数百分比是______，其所在扇形统计图中的圆心角的度
数是______；
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8 15(2)把条形统计图补充完整；
(3)已知该校有2000人，根据样本估计全校喜欢跳绳的人数是多少？
【答案】20% 72∘
【解析】解：
(1)样本中喜
欢B项目的
人数百分比
=1-44%-8%-28%=20%；其所在扇形统计图中的圆心角的度数=360∘×20%=72∘；
故答案为20%，72∘；
(2)所抽取的学生数=88÷44%=200，
所以喜欢B项目的人数=200×20%=40，
条形统计图为：
(3)2000×28%=560，
所以估计全校喜欢跳绳的人数为560人．
(1)利用扇形统计图，用1分别减去喜欢A、C、D项目的百分比即可得到喜欢B项目
的人数的百分比，然后用这个百分比乘以360∘得到B项目在扇形统计图中的圆心角的
度数；
(2)先利用喜欢A项目的人数和所占的百分比计算出所抽取的学生总数，再所抽取的
学生总数乘以20%得到喜欢B项目的人数，然后补全条形统计图；
(3)用样本估计整体，用2000乘以样本中喜欢跳绳的人数所占的百分比即可估计全校
喜欢跳绳的人数．
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长
短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来.从条形图可以很容易看出数据的
大小，便于比较.也考查了样本估计整体和扇形统计图．
已知：a2+2ab=-2，b2-2ab=6，求下列代数式的值：
21. (1)a2+b2；
(2)3a2-2ab+4b2．
【答案】解：∵a2+2ab=-2，b2-2ab=6，
∴(1)原式=(a2+2ab)+(b2-2ab)=6-2=4；
(2)原式=3(a2+2ab)+4(b2-2ab)=-6+24=18．
【解析】(1)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
(2)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
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9 15此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
以下是两张不同类型火车的车票(“DXXXX次”表示动车，“GXXXX次”表示
高铁)，已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火
22.
车的长度不计．
(1)经过测算，如果两列火车直达终点(即中途都不停靠任何站点)，高铁比动车将
早到1h，求A，B两地之间的距离；
(2)在两列火车直达终点的过程中，设动车行驶的时间为a小时，请用含字母a的
代数式表示出两列火车之间的距离；
(3)在(1)中测算的数据基础上，已知A，B两地途中依次设有5个站点P ，P ，
1 2
P ，P ，P ，且AP =P P =P P =P P =P P =P B，动车每个站点都停
3 4 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
靠，高铁只停靠P ，P 两个站点，两列火车在每个停靠站点都停留5min.求该列
2 4
高铁追上动车的时刻．
【答案】解：(1)设A、B两地之间的距离为xkm，
x x
根据题意得： - =2，
200 300
解得：x=1200．
答：A、B两地之间的距离是1200km．
(2)动车行驶的时间为a小时的时候，高铁行驶的时间为(a-1)小时，
则两列火车之间的距离为|200a-300(a-1)|=|-100a+300|(km)．
(3)每个相邻站点距离为1200÷6=200km，
动车到每一站所花时间为200÷200×60=60(分钟)，
高铁到每一站所花时间为200÷300×60=40(分钟)．
∵60÷(60-40)=3，
∴高铁在P 站、P 站之间追上动车．
2 3
设高铁经过t小时之后追上动车，
5 5
根据题意得：(t- )×300=(t+1- ×2)×200，
60 60
23
解得：t= ，
12
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10 1523
∴7：00+ =8：55．
12
答：该列高铁在8：55追上动车．
【解析】(1)设A、B两地之间的距离为xkm，高铁比动车将早到1h且晚出发1小时，
所以高铁比动车少用2小时，根据时间=路程÷速度即可得出关于x的一元一次方程，
解之即可得出结论；
(2)由动车行驶的时间为a小时的时候，高铁行驶的时间为(a-1)小时，据此知两列火
车之间的距离为|200a-300(a-1)|，整理即可得．
(3)根据AP =P P =P P =P P =P P =P B可求出每个相邻站点距离，利用时
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
间=路程÷速度可求出两车经过每个相邻站点的时间，结合两车出发的时间及停靠站点
休息的时间可得出高铁在P 站、P 站之间追上动车，设高铁经过t小时之后追上动车，
2 3
根据路程=时间×速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，再加上
出发时间即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是①找准等量关系，正确列出一元一次
方程；②通过分析两车的行驶过程，找出高铁追上动车的大致位置．
四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）
1
(1)计算：-13-22×[-3÷ +(-3) 2 ]
5
23. x+3 2x-1
(2)解方程：1- =
2 5
1
【答案】解：(1)-13-22×[-3÷ +(-3) 2 ]
5
1
=-1-4×(-3÷ +9)=-1-4×(-15+9)=-1-4×(-6)=-1-(-24)
5
=23，
(2)去分母得：10-5(x+3)=2(2x-1)，
去括号得：10-5x-15=4x-2，
移项得：-5x-4x=-2-10+15，
合并同类项得：-9x=3，
1
系数化为1得：x=- ．
3
【解析】(1)原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算，有括号的先
算括号里面的，即可得到答案，
(2)依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，解题的关键：(1)正确掌握有理数的
混合运算法则，(2)正确掌握解一元一次方程的方法．
1
先化简，再求值：2(a2b-ab2 )-3(a2b-1)+2ab2+1，其中a=2，b= ．
4
24.
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11 15【答案】解：2(a2b-ab2 )-3(a2b-1)+2ab2+1
=2a2b-2ab2-3a2b+3+2ab2+1
=-a2b+4，
1 1
把a=2，b= 代入上式得：原式=-22× +4=3．
4 4
【解析】直接利用整式的加减运算法则分别化简合并同类项，进而把已知代入即可．
此题主要考查了有理数的混合运算以及整式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解
题关键．
作图：如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画
图．
25.
(1)画直线AB、CD交于E点；
(2)连接DB，并将其反向延长；
(3)在DB上取一点P，连接PA和PB，并使PA+PC的值最
小．
【答案】解：(1)直线AB、CD如图所示，交点为E；
(2)射线BD如图所示；
(3)点P即为所求；
【解析】(1)根据直线的定义画出图形即可；
(2)画出射线BD即可；
(3)连接AC交BD与P，点P即为所求；
本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量(每块饼干的质量都相同，每颗糖
果的质量都相同).第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；
26.
第二次，左盘放10克砝码，右盘放一块饼干和一颗糖果，结果天平平衡：第三次：
左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，此时若要使天平再度平衡，需要在哪边再放
上多少克的砝码？
【答案】解：设饼干的质量为x克，糖果的质量为y克，
根据题意得：
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12 15{ 2x=3y
x+ y= 10 ，
{ x=6
解得： y= 4 ，
即饼干的质量为6克，糖果的质量为4克，
6-4=2(克)
若左盘放一颗4克的糖果，右盘放一块6克的饼干，要使天平平衡，需要在左边再放
上2克的砝码，
答：此时若要使天平再度平衡，需要在左边再放上2克的砝码．
【解析】设饼干的质量为x克，糖果的质量为y克，根据“第一次：左盘放两块饼干，
右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放10克砝码，右盘放一块饼干和一颗
糖果，结果天平平衡”，得到关于x和y的二元一次方程组，解之，再根据“左盘放
一颗糖果，右盘放一块饼干”，列式计算即可．
本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．
已知：点M是线段AB上．
27.
1
(1)如图1，点C在线段AM上，且AC= AM，点D在线段BM上，且
3
2
BD= BM.若AB=18cm，求AC+MD的值．
3
1 2
(2)如图2，若AM= AB，点N是直线AB上一点，且AN-BN= MN，求
4 3
MN
的值．
AB
2
【答案】解：(1)∵BD= BM，
3
1
∴DM= BM，
3
1
∵AC= AM，
3
1 1 1 1 1
∴AC+MD= BM+ AM= (AM+BM)= ×AB= ×18=6cm；
3 3 3 3 3
(2)当点N在线段AB上时，如图2，
2
∵AN-BN= MN，
3
∴3AN-3BN=2MN，
又∵AN-AM=MN
∴3AN-3AM=3MN，
∴BN-AM=MN，
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∴BN=AN= AB，
2
1
∴MN=AN-AM= AB，
4
MN 1
∴ = ；
AB 4
当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
2
∵AN-BN= MN，又∵AN-BN=AB，
3
2 MN 3
∴ MN=AB，即 = ．
3 AB 2
MN 1 3
综上所述 = 或 ．
AB 4 2
1
【解析】(1)根据已知条件得到DM= BM，根据线段的和差即可得到结论；
3
(2)分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，
然后根据数量关系即可求解．
本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系
是十分关键的一点．
已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方
向以每秒2∘的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4∘的速度旋转，
28.
如图2，设旋转时间为t(0秒≤t≤45秒)．
(1)则∠MOA=______，∠NOB=______.(用含t的代数式表示)
(2)在运动过程中，当∠AOB达到60∘时，求t的值．
(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线
ON中的其中两条组成的角(指大于0∘而不超过180∘的角)的平分线？如果存在，直
接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】2t 4t
【解析】解：(1)∠MOA=2t，∠NOB=4t；
故答案为：2t，4t；
(2)如图，
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14 15根据题意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，
当∠AOB第一次达到60∘时，∠AOM+∠BON+60∘=180∘
即2t+4t+60∘=180∘，
∴t=20秒，
故t=20秒时，∠AOB第一次达到60∘；
当∠AOB第二次达到60∘时，∠AOM+∠BON-∠MON=60∘，
即2t+4t-180=60，解得：t=40，
故t=40秒时，∠AOB第二次达到60∘；
(3)射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下
三种情况：
1
①OB平分∠AOM时，∵ ∠AOM=∠BOM，
2
∴t=180-4t，
解得：t=36；
1
②OB平分∠MON时，∵∠BOM= ∠MON，即∠BOM=90∘，
2
∴4t=90，或4t-180=90，
解得：t=22.5，或t=67.5(舍)；
1
③OB平分∠AON时，∵∠BON= ∠AON，
2
1
∴4t= (180-2t)，
2
解得：t=18；
综上，当t的值分别为18、22.5、36秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线
ON中的其中两条组成的角的平分线．
(1)∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠NOB的度数等于OA旋转速
度乘以旋转时间；
(2)当∠AOB第二次达到60∘时，射线OB在OA的左侧，根据
∠AOM+∠BON-∠MON=60∘列方程求解可得；
(3)射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种
情况：
1
①OB两次平分∠AOM时，根据 ∠AOM=∠BOM，列方程求解，
2
1
②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM= ∠MON，列方程求解，
2
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15 151
③OB平分∠AON时，根据∠BON= ∠AON，列方程求解．
2
本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，OB为角平分线时分类讨论是解题的关
键和难点．
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