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专题 15 三角形全等
1. 全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2. 全等三角形的判定方法
（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(简称“SAS”)
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简称“ASA”)
（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简称“AAS”)
（4）有三边对应相等的两个三角形全等.(简称“SSS”)
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)
3. 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边、对应角相等.
（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
（3）全等三角形的周长相等、面积相等.
考点1：全等三角形的概念和性质
【例1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．
【详解】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，
．
故选：B．
【例2】如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝ED，
∴AB﹣AE＝DE﹣AE，
∴EB＝AD，
∵AB＝7，AE＝2，
∴EB＝5，
∴AD＝5．
故选：B．
1．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A． 和 B． 和 C． 和 D．
【答③案】④D ② ③ ① ③ ①②
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解： 、 可以完全重合，因此全等的图形是 、 ．
故选：D． ① ② ① ②
2．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（ ）
A．3 B．4 C．1或3 D．3或5
【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据
EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，
∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，
∵△DEF的周长为奇数，
∴EF的长为奇数，
D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；
A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；
B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；
C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；
故选：D．
3．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，
∠DAC＝10°，则∠DFB为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转
化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM就可以．【详解】解：设AD与BF交于点M，
∵∠ACB＝105，
∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，
∴∠FMD＝∠AMC＝95°，
∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．
故选：D．
4．如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．
【详解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．
故答案为：180°．
ABCD AD BC,AC BD,AC BD
5．（2021·云南）如图，在四边形 中， 与 相交于点E．求证：
DAC CBD．
【答案】见解析【分析】直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明．
【详解】解：在△ACD和△BDC中，
AD BC
AC BD
，
CD DC
∴△ACD≌△BDC（SSS），
∴∠DAC=∠CBD．
考点2：三角形全等的判定
【例3】（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一
块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为 ，提供了下列各组
元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．
【详解】A. ．根据SSS一定符合要求；
B. ．根据SAS一定符合要求；C. ．不一定符合要求；
D. ．根据ASA一定符合要求．故选：C．
【例4】（2022·浙江金华·中考真题）如图， 与 相交于点O， ，不添加辅助线，
判定 的依据是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ， ， 正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中， ，
∴ ，故B正确．故选：B．
【例5】（2022·四川宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上， ， ， ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据 ，可得 ，根据 证明 ，进而可得 ，根据线
段的和差关系即可求解．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
常见全等模型
模型一：平移型
特征：沿同一直线(l)平移可得两三角形重合
模型二：翻折型
特征：所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合.
（1）在三角形中: （2）在正方形中:
模型三 旋转型(手拉手)
特征：此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的.模型四：三垂直型
特征：有三个直角.
（1）一线三垂直型:
（2）三个直角(不在同一直线):
1. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出 的依据是（ ）
A. S．S．S B. S．A．S C. A．S．A D. A．A．S【答案】A
【分析】利用SSS可证得 OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
△
【详解】解：易得OC= C'，OD=O′D'，CD=C′D'，
∴△OCD≌△O′C′D′，
∴∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，
故选：A．
2．（2022·四川成都）如图，在 和 中，点 ， ， ， 在同一直线上， ，
，只添加一个条件，能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、 ，不能判断 ，选项不符合题意；
B、 ，利用SAS定理可以判断 ，选项符合题意；
C、 ，不能判断 ，选项不符合题意；
D、 ，不能判断 ，选项不符合题意；
故选：B．
3. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____．
【答案】AB=DC(答案不唯一)
【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可．
【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB，
∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC，故答案为：AB=DC(答案不唯一)．
4．（2022·贵州铜仁）如图，点C在 上， ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】直接根据一线三垂直模型利用AAS证明 即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
5．（2021·四川南充市）如图， ，AD是 内部一条射线，若 ， 于
点E， 于点F．求证： ．
【答案】见详解【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得 ．
【详解】证明：∵ ，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴ ．
6．（2022·湖南长沙）如图，AC平分 ，垂足分别为B，D．
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析 (2)12
【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出 ，结合已知条件，利用
“AAS”即可求证；
（2）由全等三角形的性质得 ，根据三角形的面积公式求出 ，再根据
四边形ABCD的面积 求解即可．
【详解】(1) AC平分 ，
，
，
；(2) ， ，
，
，
，
四边形ABCD的面积 ．
7．（2021·江苏无锡市）已知：如图， ， 相交于点O， ， ．
求证：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）根据AAS，即可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论．
【详解】证明：（1）在 与 中，
∵ ，
∴ （AAS）；
（2）∵ ，
∴OB=OC，∴ ．
【考点3】三角形全等综合
【例6】如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）
A. 3<AD<13 B. 1.5<AD<6.5 C. 2.5<AD<7.5 D. 10<AD<16
【答案】B
【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三
边关系就可以得出结论．
【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=8，AC=5，∴1.5＜AD＜6.5．
故选：B
【例7】（2022·北京）在 中， ，D为 内一点，连接 ， ，延长 到点 ，
使得
（1）如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，若 ，求证： ；
（2）连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2，若 ，用等式表示线
段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析 (2) ；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明 ，得出 ，推出 ，再由
即可证明 ；
（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证 ，推出 ，通过等
量代换得到 ，利用平行线的性质得出 ，利用直角三角形斜边中线
等于斜边一半即可得到 ．
【详解】(1)证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．(2)
解：补全后的图形如图所示， ，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵ ，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．1．（2022·山东泰安·中考真题）正方形 中，P为 边上任一点， 于E，点F在 的延长
线上，且 ，连接 ， 的平分线交 于G，连接 ．(1)求证： 是等腰直角
三角形；(2)求证： ；(3)若 ，P为 的中点，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即
可；
（2）作CH⊥DP，交DP于H点，证明△ADE≌△DCH（AAS），得到CH=DE，DH=AE=EG，证明CG=
GH，AG= DH，计算即可．
（3）过点 作 交 分别于点 ，则四边形 是矩形，根据 ，得出
， ，设 ，则 ，则 ，进而
根据勾股定理建立方程求得 ，在 中，勾股定理即可求解．
【详解】(1)证明：∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，
∴∠AFD=∠PAE，
∵AG平分∠BAF，
∴∠FAG=∠GAP．
∵∠AFD+∠FAE=90°，
∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°∴2∠GAP+2∠PAE=90°，
即∠GAE=45°，
∴△AGE为等腰直角三角形；
(2)证明：作CH⊥DP，交DP于H点，
∴∠DHC=90°．
∵AE⊥DP，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠DHC．
∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，
∴∠ADE=∠DCH．
∵在△ADE和△DCH中，
，
∴△ADE≌△DCH（AAS），
∴CH=DE，DH=AE=EG．
∴EH+EG=EH+HD，
即GH=ED，
∴GH=CH．
∴CG= GH．
∵AG= EG，∴AG= DH，
∴CG+AG= GH+ HD，
∴CG+AG= （GH+HD），
即CG+AG= DG．
(3)如图，过点 作 交 分别于点 ，则四边形 是矩形，
，
，
为 的中点， ，则 ，
，
，
，
，
设 ，则 ，则 ，
中， ，
，
即 ，
解得 或 （舍去），， ，
中， ．
