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专题 14 角、相交线与平行线（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 角、钟面角、方向角】
1．（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示
同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用
阿拉伯数字表示．
【详解】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是选项A中的图，选项B，C，D中的
图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的
顶点，这两条射线是角的两条边．角可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处
只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
2．（2022·浙江杭州·模拟预测）在3：30、6：40、9：00、12：20中，时针和分针所成的角度最大的是（
）
A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20
【答案】D
【分析】根据时针的旋转角减去分针的旋转角，可得答案．
【详解】解：
1
A、3：30时时针与分针的夹角是90°− ×30°=75°，
240
B、6：40时时针与分针的夹角是30°×2−30°× =40°，
60
C、9：00时时针与分针的夹角是90°，
20
D、12：20时时针与分针的夹角是30°×4−30°× =110°，
60
所以时针和分针所成的角度最大的是12：20，
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针的夹角是时针的旋转角减去分针的旋转角．
3．（2022·河北邯郸·校联考三模）如图，已知A，B为两座海岛，若一个灯塔在海岛A北偏东65°的方向上，
在海岛B北偏西35°的方向上，则灯塔可以表示为（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
【答案】B
【分析】根据方位角的定义，结合图形分析即可解答．
【详解】解：一个灯塔在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，则灯塔可以表示为：
D点，
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方位角的定义，并结合图形分析是解题的关键．
4．（2022·山东德州·校联考中考模拟）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20-5：26 B．5：26-5：27 C．5：27-5：28 D．5：28-5：29
【答案】C
【详解】分析：解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．
每一小时，分针转动360°，而时针转动30°，依据这一关系列出方程，可以求出．
详解：设：从5:20开始，经过x分钟，时针和分针会出现重合．
此时分针指向4，时针与分针之间的夹角是30+20×0.5=40∘.
则：6x−0.5x=40x≈7.27，
即从5:20开始，经过大约7.27分钟，时针和分针会出现重合，在5:27−5:28时间段内重合.
故选C.
点睛：考查钟面角，钟面角里时针和分针的转动问题本质上就是行程中的追击问题，根据追击问题的解题
思路解方程即可.
5．（2022·河北邯郸·校考三模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【答案】D
【分析】组成角的两边是射线，射线的特点有：①只有一个端点；②直的；③向一边无线延伸．据此可用
直尺去连接OB，看矩形内的哪个点在这条射线上即可．
【详解】解：画出射线OB可知，经过点N．
故选：D．
【点睛】此题考查了角、射线的定义和画法，解题的关键是知道射线是直的．
【考点2 对顶角、邻补角】
6．（2022·河北保定·统考二模）下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的意义求解．
【详解】解：对顶角指的是有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，
所以A两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向长线，不符合题意；
B两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向长线，不符合题意；
C两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意；D两角没有公共顶点，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查对顶角的应用，熟练掌握对顶角的意义是解题关键．
7．（2022·陕西西安·二模）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中
这种现象叫做光的折射．如图，AB⊥液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，
折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1=50°，折射角∠2=36°，则∠EDF的度数为
（ ）
A．14° B．16° C．18° D．25°
【答案】A
【分析】根据对顶角相等，计算角的差即可；
【详解】解：∵F点在CD延长线上，
∴∠1=∠FDB=50°，
∴∠EDF=∠FDB-∠2=14°，
故选： A．
【点睛】本题考查了对顶角的概念：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向
延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
8．（2022·福建漳州·统考模拟预测）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC
的度数为（ ）
A．28° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB=∠ACD=108°，再由邻补角得出∠ACB=∠EAC=72°，结合图形代入求解即可．
【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
180°×(5−2)
∴∠EAB=∠ACD= =108°，
5
∴∠ACB=∠EAC=180°−108°=72°，
∴∠BAC=∠EAB-∠EAC =108°−72°=36°，
故选：B．
【点睛】题目主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边
形内角和的计算公式是解题关键．
9．（2022·广西玉林·校联考一模）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
故选D．
10．（2022·广西河池·统考三模）如图，直线a与b相交，∠1+∠2=240°，∠3=______．
【答案】60°##60度
【分析】先根据∠1=∠2，∠1+∠2=240°，求出∠1的度数，再根据邻补角互补求解即可．
【详解】解：∵∠·1+∠2=240°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=120°，
∴∠3=180°-∠1=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等，邻补角互补，正确求出∠1的度数是解题的关键．
【考点3 补角、余角】
11．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）（1）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于______ ；
（2）已知∠β的补角为120°37′46″，∠β= ______ °．
【答案】 54°41′ 59°22′14″
【分析】（1）根据互余两角之和为90°，可得出答案；
（2）根据互补两角之和为180°，可得出答案．
【详解】解：（1）∠α的余角=90°-∠α=90°-35°19'=54°41′，
故答案为：54°41′；
（2）∠β=180°-120°37′46″=59°22′14″．
故答案为： 59°22′14″．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握：互余两角之和为90°，互补两角之和为
180°．
12．（2022·贵州毕节·统考二模）若两个互补的角的度数之比为1∶2,则这两个角中较小的角是 ______度.
【答案】60
【分析】余角是指如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个
角是另一个角的余角．补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做
另一个角的补角．可用未知数表示出这两个互补角的度数，根据补角的定义，可列出方程求得它们的值，
进而可求出较小角的余角．
【详解】解：依题意，设这两个互补的角的度数为x、2x；则有：
x+2x=180°，解得：x=60°；
∴90°-x=30°；故这两个角中较小角的余角的度数是30°．
故答案是：30°
【点睛】此题综合考查余角与补角，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角
和补角列出代数式和方程求解．
13．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=120°，则
∠2−∠1=______．
【答案】30°##30度【分析】根据余角与补角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，∠3+∠1=90°，
∴180°−∠2=90°−∠3，
即∠2−∠3=90°，
∵∠2+∠3=120°，
∴¿
解得：¿，
∴∠1=75°，
∴∠2−∠1=105°−75°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查余角与补角的定义以及解二元一次方程组，解题的关键是正确理解余角与补角的定义，
本题属于基础题型．
14．（2022·江苏常州·统考一模）如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点， 四边形ABCD是正
方形．
⑴ 求证：△ABE≌△CBF；
⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）CF⊥AE，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出BE=BF，∠EBF=90°，再根据正方形的性质得出AB=BC，
∠ABC=90°，根据余角的性质得到∠EBA=∠CBF，最后根据SAS证明结果；
（2）延长CF，交AE于点G，根据补角的性质得出∠AEB+∠BFG=180°，再根据四边形内角和得出
∠EGF+∠EBF=180°，从而可得∠EGF=90°，即可得到结果.
【详解】解：（1）∵△EBF为等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
则∠EBA+∠FBA=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，则∠ABF+∠CBF=90°，∴∠EBA=∠CBF，
又∵BE=BF，AB=BC，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）延长CF，交AE于点G，
由（1）得：∠CFB=∠AEB，
∵∠CFB+∠BFG=180°，
∴∠AEB+∠BFG=180°，
∴∠EGF+∠EBF=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠EGF=90°，
∴CF⊥AE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，四边形内角和，解题的关键是根据题
意证明△ABE≌△CBF.
15．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考三模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，D为AB的
中点，点E为AC中点，连接DE，过点E作EF∥AB交BC于点F．
(1)如图1，求证：四边形DBFE是菱形；
(2)如图2，连接BE，请直接写出图中与∠ABE互余的所有角．
【答案】(1)过程见解析(2)∠A，∠C，∠CEF，∠AED
1
【分析】对于（1），根据中位线的定义和性质得出DE∥BC，DE= BC，再根据EF∥AB，得出四边
2
1
形DBFE是平行四边形，然后根据DB= AB，可知BD=DE，即可得出结论；
2
对于（2），先根据等腰三角形的性质得出∠ABE+∠A=90°，可知与∠ABE互余的角为∠A，再确定与∠A
相等的角即可．
（1）
∵点D是AB的中点，点E为AC的中点，
1
∴DE是△ABC的中位线，DB= AB，
2
1
∴DE∥BC，DE= BC．
2
∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形．
∵AB=BC，
∴BD=DE，
∴平行四边形DBFE是菱形；
（2）
∠A，∠C，∠CEF，∠AED．
∵AB=BC，点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠A=90°．
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ABE+∠C=90°．
∵EF∥AB，
∴∠A=∠CEF，
∴∠ABE+∠CEF=90°．
∵DE∥BC，∴∠C=∠AED，
∴∠ABE+∠AED=90°．
所以与∠ABE互余的角有∠A，∠C，∠CEF，∠AED．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线的定义和性质，互余的定义等，
灵活的选择判定定理是解题的关键．
【考点4 同位角、内错角、同旁内角】
16．（2022·浙江杭州·校联考中考模拟）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的
内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析；(2) 36°
【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且
在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的
角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分
析即可，进而画出图形即可；
（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
故x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3的度数为36°．
【点睛】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．
17．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，与∠1是内错角的是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间
的两个角，解答即可．
【详解】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是∠4 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义．
18．（2022·山东济宁·统考中考模拟）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1和∠3是同旁内角 B．∠2和∠3是内错角
C．∠2和∠4是同位角 D．∠3和∠5是对顶角
【答案】C
【分析】根据同旁内角的定义、内错角的定义、同位角的定义和对顶角的定义逐一判断即可．
【详解】A．∠1和∠3是同旁内角，故正确，不合题意；
B．∠2和∠3是内错角，故正确，不合题意；
C．∠2和∠4不是同位角，故错误，符合题意；
D．∠3和∠5是对顶角，故正确，不合题意；
故选C．
【点睛】此题考查的是同旁内角、内错角、同位角和对顶角的判断，掌握同旁内角的定义、内错角的定义、
同位角的定义和对顶角的定义是解决此题的关键．
19．（2022·湖北襄阳·统考中考模拟）如图，∠1的同旁内角共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据同旁内角定义即可得解.
【详解】根据同旁内角的定义可得，∠1的同旁内角有：∠ACE,∠D,∠DCE.
故选C
20．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能
与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是_____．
【答案】①②．
【分析】根据同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形进行判定．
【详解】解：①能与∠≝¿构成内错角的角的个数有2个，即∠EFA和∠EDC，故正确；
②能与∠EFB构成同位角的角的个数只有1个：即∠FAE，故正确；
③能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个：即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故错误；
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记“三线八角”中相关的定义和概念，掌握同位
角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形是解答此题的关键．
【考点5 角的和差】
21．（2022·北京平谷·统考中考模拟）如图，射线OB、OC在∠AOD的内部，下列说法：
①若∠AOC＝∠BOD＝90°，则与∠BOC互余的角有2个；②若∠AOD+∠BOC＝180°，则∠AOC+∠BOD＝180°；
1
③若OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD，则∠MON＝ ∠AOB；
2
1 1
④若∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，作∠AOP＝ ∠AOB、∠DOQ＝ ∠COD，则∠POQ＝90°
2 2
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据余角和补角的定义和角平分线的定义进行计算即可得到结论．
④要分两种情况讨论. ∠AOP、∠DOQ是在内部还是外部.
【详解】解：①∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
∴与∠BOC互余的角有2个；正确；
②∵∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BCO＝∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°；故正确；
③如图1，
∵OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD，
1 1
∴∠DOM＝ ∠AOD，∠DON＝ ∠BOD，
2 21
∴∠MON＝∠DOM﹣∠DON＝ （∠AOD﹣∠BOD）＝∠AOB，故正确；
2
④如图2，
∵∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，
∴∠AOB+∠COD＝150°﹣30°＝120°，
1 1
∵∠AOP＝ ∠AOB、∠DOQ＝ ∠COD，
2 2
1
∴∠AOP+∠DOQ＝ （∠AOB+∠COD）＝60°，
2
∴∠POQ＝150°﹣60°＝90°，
如图3，
∵∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，
∴∠AOB+∠COD＝150°﹣30°＝120°，
1 1
∵∠AOP＝ ∠AOB、∠DOQ＝ ∠COD，
2 2
1
∴∠AOP+∠DOQ＝ （∠AOB+∠COD）＝60°，
2
∴∠POQ＝150°+60°＝210°，
综上所述，∠POQ＝90°或210°，故错误．
故选C．【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
22．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△DOE的直角顶点O在边BC
的中点处，其中∠A=∠DOE=90°,∠B=45°，∠D=60°，△DOE绕点O自由旋转，且OD，OE分别
交AB，AC于点M，N，当AN=4，NC=2时，MN的长为______．
【答案】2√5
【分析】连接AO，证明△AOM≌△CON(ASA)，得AM=NC=2，在利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】如图，连接AO，
∵由题意可知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，O是边BC的中点
1
∴∠B=∠C=45°，OA=OB=OC，AO⊥BC，∠BAO=∠CAO= ∠BAC=45°
2
∴∠AON+∠CON=90°，∠BAO=∠C=45°
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠AON=90°，
∴∠AOD=∠CON，
∴△AOM≌△CON(ASA)，
∴AM=NC=2，
∵在Rt△AMN中，由勾股定理得：M N2=AM2+AN2，
∴MN=√AM2+AN2=√22+42=2√5，
故答案为：2√5．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，和勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
23．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在A′处，顶点
D落在D′处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边BD′与边BA′重合，若∠1=30°，求∠2=_______，∠CBE=_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边BD′落在∠1内部，若∠1=40°，设∠A′BD′=α，
∠EBD=β，求a与β之间的数量关系，并直接写出a，β的取值范围．
【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°
1
【分析】（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2= ∠A′BD=60°；
2
（2）由折叠的性质得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的关系，再结合BD在∠1内部，
可得各自的范围．
【详解】解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，
∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
1
∴∠2=∠DBE= ∠A′BD=60°，
2
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（2）由折叠的性质可得：
∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，
∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，
∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，
∴2β-α=100°，
∴α=2β-100°，
∵BD在∠1内部，
∴0°＜α＜40°，∴0°＜2β-100°＜40°，
∴50°＜β＜70°．
【点睛】本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题，
中考常考题型．
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图所示，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线
OM（与射线OB重合）绕点O按逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕点O按
顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM，ON同时运动，运动时间为t(s)．（本题出现的角均指小
于平角的角）
（1）图中一定有________个直角；当t=3时，∠MON的度数为________，∠BON的度数为________
∠MOC的度数为________．
（2）当0”，“=”或“<”）．
【答案】<
【分析】在网格中构建和∠ACB一样大的角，比较即可．
【详解】解：如图所示：∠DBC=∠ACB=45°，AB在∠DBC内部，所以，∠ABC<∠ACB，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了角的比较，等腰三角形的性质，解题关键是通过网格转换，把两个要比较的角放在一
起，直接判断．
28．（2022·湖南邵阳·校联考中考模拟）如图，∠AOB，∠BOC，∠AOC的大小关系用“＞”连接起来：________ ．
【答案】∠AOC＞∠AOB＞∠BOC
【详解】分析：根据所给出的图形可直接得出答案．
详解：根据题意得：
∠AOC＞∠AOB＞∠BOC．
故答案为∠AOC＞∠AOB＞∠BOC．
点睛：此题考查了角的大小比较，根据图形能正确的表示出各角是本题的关键，是一道基础题．
29．（2022·天津河西·统考中考模拟）如图，已知∠AOB是锐角，过点O作射线OD，∠COD=2∠AOD．
（1）当∠BOD=2∠AOC，且射线OD在∠AOC的内部时，找出图中另一对成2倍关系的角，并说明理
由；
（2）当射线OD在∠AOC的外部时，探索∠AOB，∠BOC，∠BOD之间的等量关系；
（3）若∠COD>∠BOC，求∠BOC的取值范围．
【答案】（1）∠BOC=2∠COD，详见解析；（2）∠BOD=2∠AOB−∠BOC；（3）当射线 OD
在 ∠AOC 的内部时，∠BOC<36°；当射线 OD 在 ∠AOC 的外部时，∠BOC<60°
【分析】（1）根据题意，OD在∠AOC 内且将其分为三份，∠AOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD，
再根据∠BOD=2∠AOC，进而得出∠BOC=∠BOD−∠COD=4∠AOD=2∠COD；
（2）根据题意，OD在∠AOC 外部且∠AOC=∠AOD，根据∠BOD=∠AOB+∠AOD即可得出结果；
（3）根据已知∠AOB 是锐角，并找出其与∠BOC的关系，即可找出∠BOC的范围．
【详解】解：（1）根据题意画图如下：由已知，∠COD=2∠AOD可得∠AOC=3∠AOD
又因为∠BOD=2∠AOC，所以∠BOD=6∠AOD
所以∠BOC=∠BOD−∠COD=4∠AOD=2∠COD
（2）根据题意画图如下：
由已知，∠COD=2∠AOD可得∠AOC=∠AOD
又因为∠AOC=∠AOB−∠BOC，所以∠AOD=∠AOB−∠BOC
所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=2∠AOB−∠BOC
（3）当OD在∠AOC内时，图如（1）所示．
此时，有等式∠AOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD成立，
而∠COD>∠BOC，
3
所以2∠AOD>∠BOC，所以∠AOC> ∠BOC．
2
3 5
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC> ∠BOC+∠BOC= ∠BOC．
2 2
又因为∠AOB是锐角，
5
所以 ∠BOC<∠AOB<90°
2
解得，∠BOC<36°；
当OD在∠AOC的外部时，图如（2）所示．
1 1
此时有∠AOC= ∠COD> ∠BOC，
2 2
3
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC> ∠BOC，
2又因为∠AOB是锐角，
3
所以 ∠BOC<∠AOB<90°
2
解得，∠BOC<60°
综上，当OD在∠AOC内时，若∠COD>∠BOC，需要满足∠BOC<36°；当OD在∠AOC的外部时，
若∠COD>∠BOC，需要满足∠BOC<60°．
【点睛】这道题考察的是角的计算和比较．分情况画出OD，看图找出角的关系是解题的关键．
30．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线
段OM，ON同时分别以30°/s，10°/s的速度绕点O逆时针转动，设转动时间为ts．
（1）如图（1），若∠AOB=120°，OM，ON逆时针转动到OM′，ON′处．
①若OM，ON的转动时间t为2，则∠BON′+∠COM′=________；
②若OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，求∠M′ON′的值．
（2）如图（2），若∠AOB=4∠BOC，当OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部转动时，请猜想
∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①40゜；②60゜；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析．
【分析】（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可
得解；
1 1 1
②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′= ∠AOC，∠BON′=∠CON′= ∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′= ∠AOB=
2 2 2
1
×120°=60°，即∠M′ON′=60°；
2
（2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可
得解．
【详解】（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，∵∠AOB=120°，
∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；
故答案为：40°；
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
1 1
∴∠AOM′=∠COM′= ∠AOC，∠BON′=∠CON′= ∠BOC，
2 2
1 1 1 1
∴∠COM′+∠CON′= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB= ×120°=60°，
2 2 2 2
即∠MON=60°；
（2）∠COM=3∠BON，理由如下：
设∠BOC=x，则∠AOB=4x，∠AOC=3x，
∵旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，
∴∠COM=3x -30t=3（x -10t），∠NOB=x -10t，
∴∠COM=3∠BON．
【点睛】本题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关
键．
【考点7 点到直线的距离】
31．（2022·河北·模拟预测）已知直线a//b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直
线a和b之间的距离是（ ）
A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm
【答案】D
【分析】点M可能在两平行直线之间，也可能在两平行直线的同一侧，分两种情况讨论即可．
【详解】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5—3 = 2（cm）；
如图2，直线a和b之间的距离为：5+ 3 = 8（cm）.
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，解决问题的关键是分类讨论，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的1距离．
32．（2022·河北唐山·统考一模）如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是
（）
A．点A到l的距离是线段AB B．点C到点A的距离是线段AC
C．A、C、B三点共线 D．A、C、B三点不一定共线
【答案】C
【分析】逐一进行判断即可．
【详解】A.点A到l的距离是线段AB的长度，故该选项错误；
B.点C到点A的距离是线段AC的长度，故该选项错误；
C.∵AB⊥l，BC⊥l，
∴A、C、B三点共线，故该选项正确；
D.A、C、B三点共线，故该选项错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三点共线和点到直线的距离，点与点的距离，掌握距离的定义是关键．
33．（2022·吉林松原·校考一模）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙
坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由于C点到踏板最近，则C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩．
【详解】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值．由于C点到踏板最近，所以C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离，掌握垂线的定义以及垂线段最短是解题的关键．
34．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，正方形ABCD中，AB=4，点E为边BC上一动点，
将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，则DF的最小值为__________．
【答案】2√2
【分析】AB上截取AG=EC，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，证明△AGE≌△ECF，
△DCH是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．
【详解】如图，AB上截取AG=EC，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，
∵正方形ABCD中，AB=4，将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，
∴BG=BE
∴△BEG是等腰直角三角形
∴∠AEF=90°,∠ABE=∠C=90°,
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=90°
∴∠GAE=∠BAE=∠CEF
∴△AGE≌△ECF
∴∠AGE=∠ECF=135°
∴∠DCF=45°
∴ F在射线CF上运动，
则△DCH是等腰直角三角形，√2
∴ F与H点重合时，DF取得最小值，等于DH= DC
2
∵DC=4
∴DH=2√2
即DF的最小值为2√2
故答案为：2√2
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得F的轨迹是解题的关键．
35．（2022·河北唐山·统考二模）如图1，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA
1
最短，则线段PA 的长度称为点P到图形l的距离．
1
(1)观察：如图2中，线段PA 的长度是点P 到线段AB的距离；线段 的长度是点P 到线段AB的
1 1 2
距离．
(2)如图3，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（2，1）、（3，2）、（5，0），直线AB与
x轴相交于点C．点P（a，0）（a＞0）为x轴上一动点，设点P到线段AB的距离为d．
发现：①∠BCD= °；
②若a=2，求d的值；
(3)尝试：若d=√2，求a的值；
(4)拓展：若点P在线段OD上运动，且d为整数，请直接写出a的值．
【答案】(1)P H
2
(2)①45；②d=1
(3)a的值为1或3
(4)2−√3或2或2√2+1
【分析】（1）根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”分析判断即可；
（2）①利用待定系数法求直线AB的解析式，进而得到点C的坐标，过点A作AE⊥CD于点E，利用等腰
直角三角形的判定与性质可得出结论；②利用新定义解答即可；（3）利用分类讨论的思想，分两种情况：①当点P在点E左侧时，②当点P在点E右侧时，利用新定义
的意义解答即可；
（4）利用分类讨论的思想，分三种情况：①点P在点E左侧时，②点P与点E重合时，③点P在点E右
侧时，利用d为整数，令d=2、d=1、d=2，利用勾股定理求出线段PE、PC的长度，进而求得线段OP
的长，则结论可得．
(1)
解：由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，线段P H的长度是点P 到线段
2 2
AB的距离．
故答案为：P H；
2
(2)
① 设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（2，1）、B（3，2）代入，
可得¿ ，解得¿，
∴直线AB的解析式为y=x−1，
令y=0，则x−1=0，解得x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1，
过点A作AE⊥CD于点E，如图1，则E（2，0），
∴OE=2，AE=1，
∴CE=OE−OC=1，
∴AE=CE，
∴∠BCD=∠CAE=45°．
故答案为：45；
②若a=2，点P与点E重合，
∴线段AE的长度为点P到线段AB的距离d，
∴d=AE=1；(3)
①当点P在点E的左侧时，PA的长为P到线段AB的距离d，
∵AC=√AE2+CE2=√2 ，d =√2 ，
∴点P与点C重合，
∴a=1；
②当点P在点E的右侧时，点P到线段AB的垂线段的长度为P到线段AB的距离d，
过点A作AF⊥AB交x轴于点F，如图2，
∵∠BCD=45°，
∴CF=√2AC=2，AF=AC=√2，
∴点P与点F重合，
∵OF=OC+CF=3，
∴P（3，0），即a＝3．
综上所述，若d=√2，a的值为1或3；
(4)
（4）①当点P在点E的左侧时，PA的长为点P到线段AB的距离d，
∵PA>AE，d为整数，
∴当d=2时，即PA=2，如图3，
∴PE=√PA2−AE2=√3，
∴OP=OE−PE=2−√3，
∴P（2−√3，0），即a=2−√3；
②当点P与点E重合时，PA=d=1，符合题意，
∴P（2，0），即a＝2；
③当点P在点E的右侧时，点P到线段AB的垂线段的长度为P到线段AB的距离d，
过点P作PH⊥AB于点H，如图4，当d=2时，即PH=2，
∵∠BCD=45°，
∴CP=√2PH=2√2，
∴OP=OC+CP=2√2+1，
∴a=2√2+1，
当d=3时，即PH=3，
∵∠BCD=45°，∴CP=√2PH=3√2，
∴OP=OC+CP=3√2+1>5，不合题意．
综上所述，若点P在线段OD上运动，且d为整数，则a的值为2−√3或2或2√2+1．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标的特
征、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题关
键．
【考点8 相交线与平行线】
36．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】根据实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即
可．
【详解】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有：平行和相交（夹角为直角时垂直），故①
不符合题意；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②符合题意；
③在平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意；
④有限小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故④不符合题意；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤不符合题意．
故符合题意的是②，共1个．
故选：D．【点睛】本题考查了实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，解决本题
的关键是掌握平行线的判定与性质．
37．（2022·北京·统考一模）根据语句“直线l 与直线l 相交，点M在直线l 上，直线l 不经过点M．”画
1 2 1 2
出的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直线l 与直线l 相交，点M在直线l 上，直线l 不经过点M进行判断，即可得出结论．
1 2 1 2
【详解】解：A．直线l 经过点M，故本选项不合题意；
2
B．点M不在直线l 上，故本选项不合题意；
1
C．点M不在直线l 上，故本选项不合题意；
1
D．直线l 与直线l 相交，点M在直线l 上，直线l 不经过点M，故本选项符合题意；
1 2 1 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交
线．
38．（2022·贵州毕节·二模）作图题
(1)过点M作直线AB的平行线l；
(2)将三角形ABC平移到三角形A'B'C'，使得点B与点B'重合．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
(1)
如图，连接CM，直线l即为直线CM，
理由，设网格的每个格子的边长为1，则利用勾股定理易求得AB=CM=√5，AM=BC=√10，根据平行四边
形的判定定理可知ABCM是平行四边形，则有AB∥CM，
直线l即为所求；
(2)
如图，B′相对于B点，是将B点向下移动2个单位，再向右移动三个单位，据此将A、C两点也按照如此
的移动轨迹即可找到A′和C′即得到△A′B′C′
【点睛】本题考查作图、平行线的定义、平行四边形的判定、勾股定理以及平移性质的知识，熟练掌握平
行线的定义、平行四边形的判定以及平移的性质是解答本题的关键．
39．（2022·湖北武汉·校联考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做
格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果
用实线表示，按步骤完成下列问题：1
（1）在图1中，①过B作AC边上的高BH（H为垂足）．②在AB边上找一点P，使tan∠ACP＝ ．
2
（2）在图2中，①在BC边上找一点D，使AD平分∠BAC．②AC边上找一点E，使DE∥AB．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）取格点T，作直线BT交AC的延长线于H．取格点W，R，Q，连接WR，AQ交于点J，连
接CJ交AB于点P，点P即为所求；
（2）取格点O，连接AO交BC于点D，取网格线与AC的交点E，D，E即为所求点．
【详解】解：（1）如图，线段BH即为所求，点P即为所求；
（2）如图，点D即为所求，点E即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是学会利用数形结合的
思想解决问题．
40．（2022·浙江杭州·模拟预测）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:
①一条直线把平面分成2部分;
②两条直线可把平面最多分成4部分;
③三条直线可把平面最多分成7部分;
④四条直线可把平面最多分成11部分;
……
把上述探究的结果进行整理,列表分析:
把平面最多
直线条数 写成和的形式
分成的部分数
1 2 1+1
2 4 1+1+2
3 7 1+1+2+3
4 11 1+1+2+3+4
… … …
(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;
(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;
(3)当直线条数为n时,把平面最多分成多少部分?
[n(n+1) ]
【答案】(1) 16； (2) 56； (3) +1 部分
2
【分析】（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分；
（2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n条时，把平面最多分成1+1+2+3+…+n，求和即可．
【详解】（1）16;1+1+2+3+4+5.
（2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.
[n(n+1) ]
（3）当直线条数为n时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n= +1 部分.
2
【点睛】本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，
解决此题关键是写出和的形式．【考点9 平行公理及其推论】
41．（2022·河北·模拟预测）如图，AB∥EF，则α、β、γ的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝360° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ
【答案】B
【分析】如图，作GH∥AB．利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】如图，作GH∥AB．
∵AB∥EF，GH∥AB，
∴GH∥EF，
∴∠BCG+∠CGH＝180°，∠FDG+∠HGD＝180°，
∴∠BCG+∠CGH+∠HGD+∠FDG＝360°，
∴α+β+γ＝360°，
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常
考题型．
42．（2022·河北唐山·统考一模）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故选：C．
43．（2022·四川德阳·统考一模）如图，若AB//EF，AB//CD．则下列各式成立的是（ ）
A．∠2+∠3−∠1=180° B．∠1−∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1+∠2+−∠3=180°
【答案】A
【分析】已知AB//EF，AB//CD，可得EF∥CD，根据平行线的性质，即可得到∠3=∠CGE，
∠2+∠BGE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠3=∠CGE，
∴∠3−∠1=∠CGE−∠1=∠BGE，
∵AB∥EG，
∴∠2+∠BGE=180°
即∠2+∠3−∠1=180°
故选：A
【点睛】本题考查了平行定理，两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；两条直线平行内
错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
44．（2022·河北·模拟预测）如图，在平面内作到直线m距离为5的平行线，可作平行线的条数有（ ）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C
【分析】根据平行公理即可知直线m的上方和下方各有1条直线与直线m的距离为5的平行线．
【详解】如图可知，作出的平行线分别在直线m的上方和下方各1条．
故选：C．
【点睛】本题考查平行公理．掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解答本题的关键．
45．（2022·吉林·吉林省实验校考一模）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在
直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为________
【答案】20°##20度
【分析】过B作BE∥m，则根据平行公理及推论可知l∥BE，然后可证明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此
可求得∠2=20°．
【详解】解：过B作BE∥m，如图所示：
∵l∥m，
∴BE∥l，
∴∠1=∠CBE，∠2=∠ABE，
∵∠CBE+∠ABE=45°，
∴∠2=45°−25°=20°．故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线公理的应用，作出辅助线，熟练掌握两直线平行内错角相
等，是解题的关键．
【考点10 平行线的判定与性质】
46．（2022·广东深圳·模拟预测）平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，
B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G
于点D，连接AD，CD．
(1)求证：AD=CD；
(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM，若
AD=CM，判断直线DE与图形G的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)DE是图形G(⊙O)的切线；理由见解析
【分析】（1）根据题意可知图形G是△ABC的外接圆⊙O，根据圆周角定理的推论即可证明．
（2）连接OD．根据等量代换思想和等腰三角形的性质确定BC是⊙O的直径，根据等边对等角和等量代
换思想确定∠ABD=∠ODB，根据平行线的判定定理和性质，切线的判定定理即可证明．
（1）
证明：如下图所示．
根据题意可知图形G是△ABC的外接圆⊙O．
∵∠ABC的平分线交图形G于点D，∴∠ABD=∠CBD．
∴A´D=C´D．
∴AD=CD．
（2）
解：DE是图形G(⊙O)的切线，理由如下．
如下图所示，连接OD．
∵AD=CM，AD=CD，
∴CD=CM．
∵DF⊥BC，
∴DF=FM．
∴BC垂直平分DM．
∵⊙O的圆心O一定在弦DM的垂直平分线上，
∴点O在BC上．
∴BC是⊙O的直径．
∴OB=OD．
∴∠CBD=∠ODB．
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴AB//OD．
∴∠BED+∠EDO=180°．
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°．∴∠EDO=180°-∠BED=90°．
∴DE⊥OD．
∴DE是图形G(⊙O)的切线．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定定理，综合
应用这些知识点是解题关键．
47．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点
H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD，试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由．
【答案】∠AED+∠D=180°，理由见解析
【分析】根据平行线的判定定理得出CE∥FG，根据平行线的性质得出∠C=∠FGD，求出∠FGD=∠EFG，根据
平行线的判定得出AB∥CD，再根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：∠AED+∠D=180°，
理由是：∵∠CED=∠GHD，
∴CE∥FG，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的
关键．
48．（2022·福建三明·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点F．(1)用尺规在直线BC上求作点E，使AE//BF，不写作法，保留作图痕迹；
(2)若AB=4，BC=5，AC=6，求AF．
【答案】(1)作图见解析
8
(2)AF=
3
【分析】（1）根据平行线的判定以及“平行线+角平分线+等腰三角形”中“知二得三”分三种不同方法
尺规作图即可；
（2）根据（1）中的结论，利用平行线的性质，角平分线的定义，得到BE=AB=4，再根据平行线分线段
成比例定理求出线段长即可．
（1）
解：有三种不同做法，具体如图所示，点E即为所求：
作法一：（内错角相等，两直线平行）
作法二：（同位角相等，两直线平行）
作法三：（等腰三角形外角性质）
（2）
解：由（1）知，如图所示：
∵ BF∥AE，∴∠AEB=∠FBC，∠EAB=∠ABF，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠FBC=∠ABF，
∴∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=4，
AF BE BE 4
根据平行线分线段成比例定理可知 = = = ，
AC EC BE+BC 9
4 4 8
∴AF= AC= ×6= ．
9 9 3
【点睛】本题考查尺规作图与求线段长综合问题，涉及到平行线的判定与性质、外角性质、等腰三角形的
判定与性质、角平分线的定义、平行线分线段成比例定理求线段长，熟练掌握尺规作图的方法以及平行线
分线段成比例定理是解决问题的关键．
49．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB
始终和桌面FG垂直，
（1）当∠EDC=∠DCB=120°时，求∠CBA；
（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数
分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．
【答案】（1）∠CBA=150°，（2）α+β-γ=90°．
【分析】（1）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，依据平行线的性质，即可得到∠CHA=∠PCH=60°，依据
三角形外角性质，即可得到∠CBA的度数；
（2）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，依据平行线的性质，即可得到∠D+∠DCH+∠FHC=360°，再根据三
角形外角性质，即可得到α，β，γ之间的数量关系．
【详解】（1）如图，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，∵DE∥FG，
∴PC∥FG，
∴∠PCD=180°-∠D=60°，∠PCH=120°-∠PCD=60°，
∴∠CHA=∠PCH=60°，
又∵∠CBA是 ABH的外角，AB⊥FG，
∴∠CBA=60°+9△0°=150°，
（2）如图，延长CB交FG于H，
∵DE∥FG，
∴PC∥FG，
∴∠D+∠PCD=180°，∠FHC+∠PCH=180°，
∴∠D+∠DCH+∠FHC=360°，
又∵∠CBA是 ABH的外角，AB⊥FG，
∴∠AHB=∠ABC△-90°，
∴∠FHC=180°-（∠ABC-90°）=270°-∠ABC，
∴∠D+∠DCH+270°-∠ABC=360°，即∠D+∠DCB-∠ABC=90°．
即α+β-γ=90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角
相等．
50．（2022·重庆綦江·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，
2），且|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0．（1）求a、b的值；
1
（2）如图1，点G在y轴上，三角形COG的面积是三角形ABC的面积的 ，求出点G的坐标；
2
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一个动点，连接OP、AC、DB，
2
OE平分∠AOP，OF⊥CE，若∠OPD+k∠DOF＝k（∠FOP+∠AOE），现将四边形ABDC向下平移 k个单位得到
3
5
四边形A B D C ，已知AM+BN = k，求图中阴影部分的面积．
1 1 1 1 3
52
【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）G（0，6）或（0，﹣6）；（3）S ＝ .
阴 9
【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）过点C作CT⊥AB于T．根据面积关系求出OG的长即可解决问题；
（3）设∠AOE=x，则∠AOP=2∠AOE=2x，∠POB=180°-2x，由CD∥AB，推出∠OPD=∠POB=180°-2x，由
∠DOF=∠AOE，推出∠OPD+k∠DOF=k∠FOP+k∠AOE，推出∠OPD=k∠FOP，可得180°-2x=k（90°-x），推出
k=2，即可解决问题.
【详解】（1）∵|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0，
又∵|2a﹣b+8|≥0，（a+b﹣2）2≥0，
∴¿，
解得¿，
∴a＝﹣2，b＝4．
（2）如图1中，过点C作CT⊥AB于T．∵C（﹣1，2），
∴CT＝2，
1
∵S ＝ ×6×2＝6，
ABC 2
△
1
∴S ＝ ×1×OG＝3，
OCG 2
△
∴OG＝6，
∴G（0，6）或（0，﹣6）．
（3）如图2中，
设∠AOE＝x，
∵OE平分∠AOP，
∴∠AOP＝2∠AOE＝2x，
∵∠AOB＝180°，
∴∠POB＝180°﹣2x，
∵CD⊥y轴，AB⊥y轴，∴∠CDO＝∠DOB＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠OPD＝∠POB＝180°﹣2x，
∵OF⊥OE，
∴∠FOP＝90°﹣x，
∵∠AOD＝90°，
∴∠AOE+∠EOD＝∠DOF+∠EOD＝90°，
∴∠DOF＝∠AOE，
∴∠OPD+k∠DOF＝k∠FOP+k∠AOE，
∴∠OPD＝k∠FOP，
∴180°﹣2x＝k（90°﹣x），
∴k＝2，
2 4
∴ k= ，
3 3
5 10
∴AM+BN＝ k= ，
3 3
1 10 4 52
∴S ＝S = ⋅(6+6− )⋅ = ．
阴 四边形MNB1A1 2 3 3 9
【点睛】本题考查四边形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平移变换、平行线的性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.
